1、考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 可导的充要条件为2 设函数 f(x)在 x=0 处连续下列命题错误的是3 设 其中 g(x)是有界函数，则 g(x)在 x=0 处（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续但不可导（D）可导4 设函数 ,f(x)在(-，+)内（A）处处可导（B）恰有一个不可导点（C）恰有两个不可导点（D）至少有三个不可导点5 设函数 f(x)在(-，+) 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有（A）一个极小值点和两个极大值点（B）两
2、个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点6 设 f(x)有二阶连续导数，且 f(0)=0，则（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点7 设函数 f(x)连续，f(0)0，则存存 0，使得（A）f(x)在(0，)内单调增加（B） f(x)存(-，0)内单调减少（C）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（D）对任意的 x(-，0)有 f(x)f(0)8 设函数 f(x)=(x-1)(ex-
3、2)(enx-n)，其中 n 为正整数，则 f(0)=（A）(-1) n-1(n-1)!（B） (-1)n(n-1)!（C） (-1)n-1n!（D）(-1) nn!9 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+丨 sinx 丨)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的（A）充分必要条件（B）充分条件但非必要条件（C）必要条件但非充分条件（D）既非充分条件又非必要条件10 设 f(x)，g(x) 是恒大于零的可导函数， f(x)g(x)-f(x)g(x)f(b)g(x)（B） f(x)g(a)f(a)g(x)（C） f(x)g(x)f(b)g(b)（D）f(x)g(x)f(a)g(
4、a)二、填空题11 设 =_.12 曲线 上对应于 t=/4 的点处的法线斜率为 _.13 已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2-1=0 确定，则 y“(0)=_.14 设函数 y=1/(2x+3)，则 y(n)(0)=_.15 曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为_.16 曲线 sin(xy)+ln(y-x)=x 在点（0,1）处的切线方程是_.17 对数螺线 P=e 在点(，)=(e /2，/2)处的切线的直角坐标方程为_.18 已知一个长方形的长 2 以 2cms 的速率增加，宽 以 3cms 的速率增加则当 l=12cm，=5cm 时，它的对角线增加的速
5、率为_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设函数 y=y(x)在(- ，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数19 试将 x=x(y)所满足的微分方程 (d2x)/(dy2)+(y+sinx)(dx/dy)=0 变换为 y=y(x)满足的微分方程；20 求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)=3/2 的解21 求函数 f(x)=x2ln(1+x)在 x=0 处的 n 阶导数 f(n)(0)(n3)考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B
6、知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学二、填空题11 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案
7、 -2.【试题解析】 方程两边对 x 两次求导得 e yy+6xy+6y+2x=0， eyy“+eyy2+6xy“+12y+2=0 以 x=0 代入原方程得 y=0， 以 x=y=0 代人 得y=0， 再以 x=y=y=0 代人 得 y“(0)=-2【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 (-1) n(2/3)n1/3n!.【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 y=x-1.【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 y=x+1.【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 x+y=e /2.【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 3(cm/s)【知识模块】 一
8、元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 实质上是求反函数的一、二阶导数的问题由反函数求导公式知 dx/dy=1/y,(d2x)/(dy2)=(dx/dy)=(1/y)y=(1/y)xdx/dy=-y“/y3=-y“(dx/dy)3 代入原微分方程，便得常系数的二阶线性微分方程 y“-y=sinx (*)【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 特征方程 r2-1=0 的两个根为 r1.2=1； 由于非齐次项 f(x)=sinx=eaxsinx，=0，=1，=i 不是特征根，则设 (*)的特解 y*=acosx+bsinx， 代入(*)求得 a=0，b=-1/2， 故 y *=-1/2sinx，于是(*) 的通解为 y(x)=C1ex+C2e-x-1/2si【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 f(x)=x 2x-xn+1/2+(-1)xn-2/(n-2)+o(xn-1) =x3-x4/2+(-1)n+1xn/(n-2)+o(xn) (n3) 可得 f (n)(0)/n!=(-1)n+11/(n-2). f(n)(0【知识模块】 一元函数微分学
