1、考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x0 的邻域内连续可导，g(x) 在 x0 的邻域内连续，且 ，又 ，则( )（A）x0 是 f(x)的极大值点（B） x0 是 f(x)的极小值点（C） (0，f(0)是曲线 y f(x)的拐点（D）x0 不是 f(x)的极值点， (0，f(0) 也不是曲线 yf(x)的拐点2 设 f(x)二阶连续可导，且 ，则( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C） (0，f(0)是曲线 y f(x)的拐点（D）x0 是 f(x)
2、的驻点但不是极值点3 设函数 f(x)满足关系 f“(x)f 2(x)x，且 f(0)0，则( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C） (0，f(0)是 yf(x)的拐点（D）(0 ，f(0) 不是 yf(x)的拐点4 下列说法正确的是( )（A）设 f(x)在 x0 二阶可导，则 f“(x)在 xx 0 处连续（B） f(x)在a，b 上的最大值一定是其极大值（C） f(x)在(a，b) 内的极大值一定是其最大值（D）若 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点5 设 f(x)在a，
3、)上二阶可导，f(a) 0，f(a) 0 ，且 f“(x)k(k0)，则 f(x)在(a，) 内的零点个数为( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个6 设 k0，则函数 f(x)lnx 一 k 的零点个数为 ( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个7 数 ( )（A）只有极大值，没有极小值（B）只有极小值，没有极大值（C）在 x=一 1 处取极大值，x=0 处取极小值（D）在 x=一 1 处取极小值， x=0 处取极大值8 f(x)在 x0 点至少二阶可导，且 则函数 f(x)在 x=x0 处 ( )（A）取得极大值（B）取得极小值（C）无极值（D）不一定有
4、极值9 函数 ，则 ( )（A）在其有定义的任何区间(x 1，x 2)内，f(x) 必是单调减少的（B）在点 x1 及 x2 处有定义，且 x12 时，必有 f(x1)f(x2)（C）在其有定义的任何区间(x 1，x 2)内，f(x) 必是单调增加的（D）在点 x1 及 x2 处有定义，且 x12 时，必有 f(x1)2)10 设 f(x)在点 x=a 处可导，则 等于 ( )（A）f(a)（B） 2f(a)（C） 0（D）f(2a)二、填空题11 曲线 在 t=1 处的曲率 k=_12 如果 f(x)在a，b上连续，无零点，但有使 f(x)取正值的点，则 f(x)在a，b上的符号为_13 设
5、函数 且 1+bx0，则当 f(x)在 x=0 处可导时，f(0)=_.14 曲线 的凹区间是_15 设曲线 y=ax3+bx2+cx+d 经过( 一 2，44)，x=一 2 为驻点，(1，一 10)为拐点，则a，b，c，d 分别为_ 16 若函数 处取得极值，则 a=_17 曲线 的曲率及曲率的最大值分别为_18 曲线 的全部渐近线为_19 p(x)为二次三项式，要使得 ex=p(x)+o(x2)(x0)，则 p(x)=_20 若 则 f(t)=_21 如果 f(x)在a，b上连续，无零点，但有使 f(x)取正值的点，则 f(x)在a，b上的符号为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
6、算步骤。22 设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)1，f(1)0，f(2) 证明：存在(0， 2)，使得 f()223 设 f(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内司导，且 f(a)abf(b).证明：存在 i(a，b)(i 1，2，n)，使得 .24 设函数 yf(x)二阶可导，f(x)0，且与 x(y)互为反函数，求 “(y)25 设 f(x)在 xx 0 的邻域内连续，在 xx 0 的去心邻域内可导，且 证明：f(x 0)M 26 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)f(1) 0证明：存在 (0，1)，使得 f“() .27 设 f(x)在0，1上连续
7、，在 (0，1)内可导，且 f(0)0，f(1)1，证明：对任意的a0，b0，存在 ， (0，1)，使得27 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)f(b)0， 证明：28 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)=1，计算 f(n)(2)29 设曲线 f(x)=xn 在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为(x n，0)，计算30 设 a1a 2a n，且函数 f(x)在a 1，a n上 n 阶可导，c a1，a n且 f(a1)f(a 2)f(a n) 0证明：存在 (a1，a n)，使得31 在区间0 ，a上f(x)M，且 f
8、(x)在(0，a)内取得极大值求证：f(0)+ f(a)Ma考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)0 得 f“(0)0，f“(x)1 一 2f(x)f“(x)，f“(0)10，由极限保号性，存在 0，当 0x 时，f(x)0，再由 f“(0)0，得故(0，f(0)是曲线 yf(x)的拐点，选(C) 【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 D【试题解析】
9、 令 但 不存在，所以(A)不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以(B)不对；(C)显然不对，选(D) 【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(a) 0，且 f“(x)k(k0)，所以 f(x)f(a)f(a)(x 一 a)f(a) (x 一 a)2，其中 介于 a 与 x 之间，而，故 ，再由 f(a)0 得 f(x)在(a，)内至少有一个零点又因为 f(a)0，且 f“(x)k(k 0)，所以 f(x)0(xa)，即 f(x)在a， )单调增加，所以零点是唯一的，选(B)【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 C【试题解析】 函数 f(x)的定义域为(
10、0 ，) ，由 f(x) 0 得 xe ，当0xe 时， f(x)0；当 xe 时，f(x)0，由驻点的唯一性知 xe 为函数 f(x)的最大值点，最大值为 f(e)k 0，又 ，于是 f(x)在(0， )内有且仅有两个零点，选(C)【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)=0，得 x=一 1，且当 x=0 时，f(x)不存在，f(x)在 x=一 1 左侧导数为正，右侧导数为负，因此在 x=一 1 处取极大值；在 x=0 左侧导数为负，右侧导数为正，因此在 x=0 处取极小值【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 A【试题解析】 由于 则 ，当 00 时，
11、由于(xx 0)20，于是 f(x)一 f(x0)0，所以 f(x0)f(x)x 0 为极大值点故选 A【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)的定义域是( 一，3)(3，+)，f(x)在区间( 一，3)及(3，+)上分别是单调减少的【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 B【试题解析】 凑导数定义，【知识模块】 一元函数微分学二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 因为【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 正【试题解析】 利用反证法，假设存在点 x1a，b，使得 f(x1)0又由题意知存在点 x2a，b，x 2x1，使得 f(x2)0由闭区
12、间连续函数介值定理可知，至少存在一点 介于 x1 和 x2 之间，使得 f()=0，显然 a，b，这与已知条件矛盾【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 利用洛必达法则， 由于 f(x)在 x=0 处可导，则在该点处连续，就有 b=f(0)=一 1，再由导数的定义及洛必达法则，有【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 (0，+)【试题解析】 当 x0 时，y0，曲线是凹的；当 x0时，y0，曲线是凸的【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 1，一 3，一 24，16【试题解析】 由条件 解方程可得 a=1，b=一 3，c=一 24，d=16【知识模块】 一
13、元函数微分学16 【正确答案】 2【试题解析】 f(x)=acosx+cos3x ，因a=2这时 f(x)=一 2sinx 一3sin3x， 为极大值点【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【试题解析】 因为 为铅直渐近线【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 【试题解析】 设 p(x)=ax2+bx+c，由题意知，当 x0 时，e x 一 p(x)=o(x2)，由于于是【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 (2t+1)e 2t【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 正【试题解析】
14、利用反证法，假设存在点 x1a，b，使得 f(x1)0又由题意知存在点 x2a，b，x 2x1，使得 f(x2)0由闭区间连续函数介值定理可知，至少存在一点 介于 x1 和 x2 之间，使得 f()=0，显然 a，b，这与已知条件矛盾【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 先作一个函数 P(x)ax 3bx 2cxd，使得 P(0)f(0) 1，P(1)f(1)0，P(2)f(2) ，P(1)f(1) 则 P(x)令 g(x)f(x)一 P(x)，则 g(x)在0，2上三阶可导，且 g(0)g(1) g(2)0，所以存在 c1(0，1)
15、，c 2(1，2)，使得 g(c1)g(1)g(c 2)0，又存在 d1(c1，1)，d 2(1，c 2)使得 g“(d1)g“(d 2)0，再由罗尔定理，存在 (d1，d 2) (0，2)，使得 g()0，而 g(x)f(x) 一 2，所以 f()2【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 令 h ，因为 f(x)在a ，b上连续且单调增加，且 f(a)abf(b)，所以 f(a) aaha(n 一 1)hbf(b)，由端点介值定理和函数单调性，存在 ac 1 c2c n1 b，使得 f(c1)ah，f(c 2)a2h， ，f(c n1 )a(n 一 1)h，再由微分中值定理，得 f(c
16、1)一 f(a)f( 1)(c1一 a)， 1(a，c 1)，f(c 2)一 f(c1)f( 2)(c2 一 c1)， 2(c1，c 2)，f(b) 一 f(cn1 )f( n)(b 一 cn1 )， n(cn1 ，b)，从而有。【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以，【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)一 f(x0)f()(xx 0)，其中 介于 x0 与 x之间，则 ，由 得M，即 f(x0)M 【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 令 (x)(x 一 1)2f(x)，显然 (x)在0，
17、1上可导由 f(0)f(1)0，根据罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)0，再由 (c)(1)0，根据罗尔定理，存在 (c，1) (0，1) ，使得 ()0，而 (x)2(x 一 1)f(x)(x 一 1)2f“(x)，所以 2( 一 1)f()( 一 1)2f“()0，整理得 【知识模块】 高等数学部分27 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上连续，f(0) 0，f(1)1，且 f(0) f(1)，所以由端点介值定理，存在 c(0，1)，使得 由微分中值定理，存在(0， c)， (c，1) ，使得【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分28 【正确答案】 由 f(x)
18、=ef(x)两边求导数得 f(x)=e f(x).f(x)=e2f(x)， 两边再求导数得 f(x)=e2f(x)2f(x)=2e3f(x)， 两边再求导数得 f(4)(x)=2e3f(x)3f(x)=3!e4f(x)， 由以上导数规律可得 n 阶导数 f (n)(x)=(n 一 1)!enf(x)， 所以 f(n)(2)=(n1)!en【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 由导数几何意义，曲线 f(x)=xn 在点 (1，1) 处的切线斜率所以切线方程为 y=1+n(x 一 1)，令 y=1+n(x 一 1)=0 解得 因此【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 当 ca
19、i(i1，2，n)时，对任意的 (a1，a n)，结论成立；设c 为异于 a1，a 2，a n 的数，不妨设 a1c a 2 a n 令构造辅助函数 (x)f(x)一 k(xa1)(xa2)(xan)，显然 (x)在a 1，a n上 n 阶可导，且 (a1)(c)(a 2)(a n)0，由罗尔定理，存在 1(1)(a1，c) ， 2(1)(c，a 2)， n(1)(an1 ，a n)，使得 (1(1)( 2(1)( n(1)0，(x) 在(a 1，a n)内至少有 n 个不同零点，重复使用罗尔定理，则(n1) (x)在(a 1，a n)内至少有两个不同零点，设为 c1，c 2(a1，a n)，使得 (n1) (c1) (n1) (c2)0，再由罗尔定理，存在 (c1，c 2) (a1，a 2)，使得 (n)()0而 (n)(x)f (n)(x)一 n!k，所以 f(n)()n!k，从而有【知识模块】 高等数学部分31 【正确答案】 f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设 f( c )=0f(x) 在0，c与c，a之间分别使用拉格朗日中值定理，f( c )一 f(0)=cf(1)， 1(0，c) ，f(a)一 f( c)=(a一 c)f()，(c ，a)，所以 f(0)+f(a)=cf( 1)+(a 一 c)f( 2)cM+(a一 c)M=aM【知识模块】 一元函数微分学
