1、考研数学一（多元函数微分学）历年真题试卷汇编 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1992 年) 在曲线 x=t，y=一 t2，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线（A）只有 1 条（B）只有 2 条（C）至少有 3 条（D）不存在2 (1994 年) 二元函数 f(x， y)在点(x 0，y 0)处两个偏导数 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)存在是f(x，y)在该点连续的（A）充分条件而非必要条件（B）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件义非必要条件3 (1996 年) 已知 为某函数的
2、全微分，则 a 等于（A）一 1（B） 0（C） 1（D）24 (1997 年) 二元函数 在点(0，0)处（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在5 (2002 年) 考虑二元函数的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续； f(x，y) 在点 (x0，y 0)处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微； f(x，y) 在点 (x0，y 0)处的两个偏导数存在 若用“P Q”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有 6 (2003 年) 已知函数 f(x， y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且则（A
3、）点(0 ，0) 不是 f(x，y)的极值点（B）点 (0，0)是 f(x，y)的极大值点（C）点 (0，0)是 f(x，y)的极小值点（D）根据所给条件无法判断点(0，0)是否为 f(x，y)的极值点7 (2005 年) 设有三元方程 xy 一 zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1， 1)的一个邻域，在此邻域内该方程（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z=z(x，y)（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x，z)和 z=z(x，y)（C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 z=z(xy)（D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，
4、z) 和 y=y(x，z) 二、填空题8 (1989 年) 已知曲面 z=4 一 x2 一 y2 上点 P 处的切平面平行于平面 2x+2y+z 一1=0，则点 P 的坐标是_9 (1991 年) 由方程 所确定的函数 z=z(x，y)在点(1，0，一 1)处的全微分 dz=_10 (1992 年) 函数 u=ln(x2+y2+z2)在点 M(1，2，一 2)处的梯度11 (1993 年) 由曲线 绕 y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_12 (1994 年) 曲面 z 一 ez+2xy=3 在点(1，20)处的切平而方程为_13 (1994 年) 设 则 在点 处的值为
5、_14 (1996 年) 函数 在点 A(10，1)处沿点 A 指向点 B(3，一 2，2) 方向的方向导数为_15 (1998 年) 设 f， 具有二阶连续导数，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 (1987 年) 设 f 和 g 为连续可微函数州，u=f(x，xy)，v=g(x+xy)，求17 (1988 年) 设 其中 f 和 g 具有二阶连续导数，求18 (1989 年) 设 z=f(2xy)+g(x，xy)，其中函数 f(t)二阶可导，g(u，v)具有连续二阶偏导数，求19 (1990 年) 设 z=f(2x 一 y，ysinx)，其中 f(u，v) 具有二阶连
6、续偏导数求20 (1991 年) 设 n 是曲面 2x2+3y2+z2=6 在点 P(1，1，1)处的指向外侧的法向量，求函数 u= 在点 P 处沿方向聆的方向导数21 (1992 年) 设 z=f(exsiny， x2+y2)，其中二具有二阶连续偏导数求22 (1995 年) 设 u=f(x，y，z)，(x 2，e y，z)=0y=sinx其中 f， 都具有一阶连续偏导数，且 求23 (1996 年) 设变换 可把方程 简化为求常数 a24 (1997 年) 设直线 l： 在平面 上，而平面 与曲面z=x2+y2 相切于点(1，一 2，5)，求 a，b 之值25 (2001 年) 设函数 z
7、=f(x，y)在点(1，1) 处可微，且 f(1，1)=1 ，(x)=f(x，f(x， x)求25 (2002 年) 设有一小山，取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面，其底部所占的区域为 D=(x， y)|x2+y2 一 xy75，小山的高度函数为 h(x，y)=75 一 x2 一 y2+xy26 设 M(x0，y 0)为区域 D 上的一个点，问 h(x，y)在该点沿平面上沿什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为 g(x0，y 0)，试写出 g(x0，y 0)的表达式27 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点也就是说，要在 D 的边界曲线
8、 x2+y2 一 xy=75 上找出使(1)中的g(x，y)达到最大值的点试确定攀登起点的位置考研数学一（多元函数微分学）历年真题试卷汇编 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 曲线 x=t，y=一 t2，z=t 3 的切线向量为 =1，一 2t，3t 2 而平面x+2y+z=4 的法线向量为 n=1，2，1 由题设知 n，则 n=14t+3t2=0 此方程只有两个实根，所以所求切线只有两条【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 多元函数在一点上连续性与偏导数存在之间没有直接关系，即“连续”未必“偏导
9、数存在”；“偏导数存在”亦未必“连续”所以应选 D.【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 令 由于 Pdx+Qdy 为某个函数的全微分，则 即 (a 一 2)x-ay=一 2y，(a 一 2)x=(a 一 2)y 仅当 a=2时，上式恒成立【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 令 y=kx，则 当 k 不同时， 便不同，故极限 不存在，因而 f(x，y)在(0，0)点处不连续，但根据偏导数的定义知 同理可得 fy(0，0)=0 由此可见，在点(0，0) 处 f(x，y)的偏导数存在【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 由于
10、 f(x，y) 在点(x 0，y 0，)处的两个偏导数连续是 f(x，y)在点(x0，y 0)处可微的充分条件，而 f(x，y)在点(x 0，y 0)可微是 f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续的充分条件，故应选 A.【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x，y)在点(0 ，0)的连续性及 知 f(0 ，0)=0 且 其中 则 f(x ，y)=xy+(x 2+y2)2+(x2+y2)2 令 y=x，得 f(x，x)=x 2+4x4+4x4=x2+o(x2)令 y=一 x，得 f(x，一 x)=一x2+4x4+4x4=一 x2+o(x2)从而 f(x，y)在(
11、0 ，0)点的邻域内始终可正可负，又 f(0，0)=0，由极值定义可知 f(x，y)在(0，0) 点没有极值，故应选(A) 【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 令 F(x，y， z)=xyzlny+exz 一 1 显然，F(x，y，z) 在点(0 ，1，1)的邻域内有连续一阶偏导数，且 F(0，1，1)=0，F x(0，1，1)=20，f y(0，1，1)= 一10，由隐函数存在定理知方程 xyzlny+exz=1 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 y=(x，z)，故应选(D)【知识模块】 多元函数微分学二、填空题8 【正确答案】 (1，1，2)【
12、试题解析】 设 P 点的坐标为(x 0，y 0，z 0)，则曲面在 P 点的法向量为 n=一 2x0，一 2y0，一 1又因为切平面平行于平面 2x+2y+z 一 1=0，则 从而可得 x0=1，y 0=1代入曲面方程解得 z0=2【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 【试题解析】 解 1 由隐函数求导法求出 解 2 方程 两边求微分得 将 x=1，y=0 ，z=一 1 代入上式得 故 【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 因为 所以 【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 旋转面方程为 3(x2+z2)+2y2=12 令 F(x，y，z)
13、=3(x 2+z2)+2y2 一 12=0 则 F x=6x，F y=4yF z=6z 从而所得旋转面在点 处向外侧的法向量为 将其单位化得 【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 2x+y 一 4=0【试题解析】 令 F(x，y， z)=zez 一 2xy 一 3 则 F x=2y，F z=1 一 ez=，F y=2x 曲面 zez+xy=3 在点(1，20)处的法向量为 n=4 ，2，0 故所求切平面方程为 4(x一 1)4-2(y 一 2)=0 即 2x+y 一 4=0【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 【
14、试题解析】 而 的单位向量为 故 u 沿 的方向导数为 【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 yf“(xy)+(x+y)+y“(z+y)【试题解析】 由复合函数求导法知 【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 根据复合函数求导公式有 则 【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 由复合函数求导公式得 由此可得 【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 由复合函数求导法则得 【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 曲面 2x2+3y2+z2=6 在点 P(1，1
15、，1)处指向外侧的法向量为 n=4i+6j+2k 单位化后得 则 【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 令 exsiny=u，x 2+y2=v，则 【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 故 【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 将上述结果代入原方程并整理得 由题设知 6+aa 2=0，10+15a0 解得 a=3【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 解 1 曲面 z=z2+y2 在点(1，一 2， 5)处的法向量为 n=2，一 4，一1于是切平面方程为 由 得 y=一 x-b z=x-3+a(-x-b)代入(*)式得 2x+4x+4b-x+3+ax+ab
16、-50 因而有 5+a=0， 4b+ab-2=0 由此解得 a=一 5，b=一 2 解 2 由解 1 知， 的方程为 2x-4y 一 z-5=0，过，的平面束为 (x+y+b)+(x+ayz 一 3)=0 即 (+)x+(+a)y 一 z+b 一 3=0 令 则 =，a=一 5，b= 一 2【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 (1)=f(1 ，f(1，1)=f(1，1)=1 【知识模块】 多元函数微分学【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 由梯度的儿何意义知，h(x，y)在点 M(x0，y 0)处沿梯度 方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模，所以 【知识模块】
17、 多元函数微分学27 【正确答案】 令 f(x，y)=g 2(x，y)=5x 2+5y2 一 8xy 由题意，只需求 f(x，y)在约束条件 75 一 x2 一 y2+xy=0 下的最大值点令 L(x，y，)=5x 2+5y2 一 8xy+(75 一x2 一 y2+xy)则 式与 式相加可得 (x+y)(2 一 )=0 从而得 y=一 x 或 =2 若 =2，则由式得 y=x，再由式得 若 y=一 x，则由式得 x=5， 于是得到四个可能的极值点 M 1(5，一 5)，M 2(一 55)，由于 f(M1)=f(M2)=450，f(M 3)=f(M4)=150 故 M1(5，一 5)或 M2(一 5，5)可作为攀登的起点【知识模块】 多元函数微分学
