1、考研数学一（多元函数积分学中的基本公式及其应用、无穷级数）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设常数 2，则级数（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与 有关2 设 a0 为常数，则级数（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与 a 有关二、填空题3 设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在区间( 一 1，1上定义为则 f(x)的傅里叶级数在 x=1 处收敛于_4 设函数 f(x)=x2，0x 1 ，而 S(x)= 一x+ ，其中 bn=201f(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,，则 =_三、解答题解答应写
2、出文字说明、证明过程或演算步骤。5 设 r=(x，y ，z)，r=|r| ，r0 时 f(r)有连续的导数，求下列各量：(I)rotf(r)r； ()div grad f(r)(r0 时 f(r)有二阶连续导数)6 求 ，其中 C+是以 A(1，1)，B(2，2)和 E(1，3)为顶点的三角形的正向边界线7 设曲线 L：x 2+y2+x+y=0，取逆时针方向，证明：I= L 一 ysinx2dx+xcosy2dy8 求 其中 L 是以原点为圆心，R 为半径的圆周，取逆时针方向，R19 求曲面积分 +y2dzdx+z2dxdy，其中 S 是长方体：0xa，0yb，0zc 的表面外侧10 求 其中
3、为上半球 z=的上侧，a 0 为常数11 求曲线积分 I=L(y2+z2)dx+(z2+x2)dy+(x2+y2)dz，其中 L 是球面 x2+y2+z2=2bx 与柱面 x2+y2=2ax(ba 0)的交线(z0) L 的方向规定为沿 L 的方向运动时，从 z 轴正向往下看，曲线 L 所围球面部分总在左边(如图 109)12 设 D0 是单连通区域，点 M0D0，D=D 0M 0(即 D 是单连通区域 D0 除去一个点 M0)，若 P(x，y)，Q(x，y)在 D 有连续的一阶偏导数且 (x，y)D)，问：(I)LPdx+Qdy 是否一定在 D 上与路径无关；()若又存在一条环绕 M0 的分
4、段光滑闭曲线 C0 使得 +Qdy=0,LPdx+Qdy 是否一定在 D 上与路径无关13 判断下列曲线积分在指定区域上是否与路径无关：(I)区域 D：x 2+y2014 设 Pdx+Qdy= ，求 u(u，y)，使 du=Pdx+Qdy15 设 f(s)在(一，+)内有连续的导数，计算其中 L 为从点 I 到 B(1，2)的直线段16 计算曲线积分 其中 L 是以点(1，0)为圆心，R 为半径的圆周(R1)，取逆时针方向17 求曲面积分 (1z2)绕 z 轴旋转而成的旋转面，其法向量与 z 轴正向的夹角为锐角18 求 其中 S 是椭球面 ，取外侧19 求曲线积分 I=L2yzdx+(2z 一
5、 z2)dy+(y2+2xy+3y)dz，其中 L 为闭曲线从原点向 L 看去，L 沿顺时针方向20 下面连续可微的向量函数P(x，y)，Q(x，y)在指定的区域 D 上是否有原函数u(x，y)(du=Pdx+Qdy 或 gradu=P，Q)若有，求出原函数21 选择常数 取的值，使得向量 A(x，y)=2xy(x 4+y2)ix2(x4+y2)j 在如下区域 D为某二元函数 u(x，y) 的梯度：(I)D=(x ，y)|y0，并确定函数 u(x，y)的表达式；()D=(x，y)|x 2+y2022 计算曲线积分 ，其中 L 是从点 A(一 a，0)经上半椭圆(y0)到点 B(a，0) 的弧段
6、23 设 Q(x，y)在 Oxy 平面有一阶连续偏导数，积分 L2xydx+Q(x，y)dy 与路径无关 恒有 (0,0)(t,1)2xydx+Q(x，y)dy= (0,0)(1,t)2xydx+Q(x，y)dy， (*)求 Q(x，y)24 设曲线积分 2x(y)+(y)dx+x2(y)+2xy2 一 2x(y)dy=0，其中 L 为任意一条平面分段光滑闭曲线，(y)，(y)是连续可微的函数 (I)若 (0)=一 2，(0)=1，试确定函数 (y)与 (y)； ()计算沿 L 从点 O(0，0)到 M 的曲线积分25 设有数量函数 u(x，y，z) 及向量函数 F(x，y，z)=P(x，y,
7、z)，Q(x ，y，z)，R(x，y，z)，其中 P，Q，R，u 在 上有连续的二阶偏导数，证明：(I)divgradu=()div(rotF)=0；()rot(gradu)=26 设 S 是上半空间 z0 中任意光滑闭曲面，S 围成区域 ，函数 u=()(=)在上半空间有连续的二阶偏导数，满足求 (p)27 设平面上有界闭区域 D 由光滑曲线 C 围成，C 取正向(如图 1018) (I)P(x，y)，Q(x ，y)在 D 有连续的一阶偏导数，证明格林公式的另一种形式： 其中n=(cost，cos) 是 C 的单位外法向量 ()设 u(x，y)，v(x，y)在 D 有连续的二阶偏导数，求证：
8、()设 u(x，y)在 D 有连续的二阶偏导数且满足 求证：u(x，y)=0(x，y)D)28 判定下列级数的敛散性：29 判定下列级数的敛散性，当级数收敛时判定是条件收敛还是绝对收敛：30 求下列函数项级数的收敛域：31 求下列幂级数的收敛域：32 求幂级数 的收敛域及其和函数33 判定下列级数的敛散性：34 判别级数 的敛散性，其中x n是单调递增而且有界的正数数列35 判断如下命题是否正确：设无穷小 unv n(n)，若级数 也收敛证明你的判断36 确定下列函数项级数的收敛域：37 求下列幂级数的和函数并指出收敛域：38 求下列级数的和：39 设周期为 2 的函数 f(x)= 的傅里叶级
9、数为(I)求系数 a0，并证明 an=0，(n1)；()求傅里叶级数的和函数 g(x)(-x)，及 g(2)的值40 设函数 f(x)=x2，x 0，将 f(x)展开为以 2 为周期的傅里叶级数，并证明41 设数列na n收敛，级数 n(an 一 an-1)收敛( 不妨设其中 a0=0)，证明：级数收敛42 设函数 f(x)在|x|1 上有定义，在 x=0 的某个邻域内具有二阶连续导数，且43 求级数 的和考研数学一（多元函数积分学中的基本公式及其应用、无穷级数）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于 设常数
10、 p 满足1p1，则有 由正项级数比较判别法的极限形式知级数 收敛，进而知当 2 时 绝对收敛，即(C)正确【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 B【试题解析】 用分解法分解级数的一般项【知识模块】 无穷级数二、填空题3 【正确答案】 3/2【试题解析】 根据收敛定理，f(x)的傅里叶级数在 x=1 处收敛于【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 -1/4【试题解析】 由 S(x)的形式可知：S(x)是奇函数,又 f(x)在 连续，所以【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 (I)()直接由梯度与散度的计算公式得【知识模块】 多元函数积分学中
11、的基本公式及其应用6 【正确答案】 记 D 为三角形区域ABE，则直接由格林公式得 用先 y 后 x 的积分顺序，D=(x，y)|1x2，xy一 x+4，则【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用7 【正确答案】 L 是圆周： ，它围成区域 D用格林公式【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用8 【正确答案】 令 易计算得若 R1(见图 106)，在 L 所围的有界闭区域 D 上，P，Q 有连续的一阶偏导数且 则若R1(见图 107)，在 L 所围的有界闭区域 D 内含点(一 1，0)，P ，Q 在此点无定义，不能在 D 上用格林公式 若以(一 1，0)为圆心， 0 充分小为半
12、径作圆周C(x+1)2+y2=2)，使得 C 在 L 所围的圆内在 L 与 C 所围的区域 D 上利用格林公式得 其中 L 与 C 均是逆时针方向因此【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用9 【正确答案】 直接用高斯公式化三重积分为累次积分：记长方体分别在 yz 平面，zx 平面与 xy 平面上的投影区域为Dyz，D zx，D xy，则【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用10 【正确答案】 添加一块有向曲面 S：z=0 (x2+y2a2)，法向量朝下，S 与所围区域为 (见图 108)，则由高斯公式得(这里 边界取外法向，S在 xy 平面上投影区域 D：x 2+y2a2，
13、z=0,S 与 yz 平面，zx 平面均垂直，)【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用11 【正确答案】 记 L 所围的球面部分为 ，按 L 的方向与右手法则，取的法向量朝上，先利用曲线方程简化被积函数，然后用斯托克斯公式，得 I= L(2bx 一 x2)dx+(2bx 一 y2)dy+2axdz 注意，关于 zx 平面对称，被积函数 1 对 y 为偶函数，于是 记在 xy 平面的投影区域为 Dxy：(x 一a)2+y2a2因此【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用12 【正确答案】 (I)这里 D 不是单连通区域，所以不能肯定积分 LPdx+Qdy 在 D 上与路径无关例
14、如：积分则即在全平面除原点外 P(x，y)，Q(x，y) 均有连续的一阶偏导数，且 但若取 L 为 C+即逆时针方向的以原点为圆心的单位圆周，则因此，该积分不是与路径无关 () 能肯定积分在 D 上与路径无关按挖去奇点的思路，我们作以 M0 为心，0 为半径的圆周 C，使 C 在 C0 所围区域内C 和 C0 所围区域记为 D(见图 1010) 在 D 上用格林公式得其中 C0，C 均是逆时针方向所以 因此，0 充分小，只要 C 在 C0 所围区域内，均有 现在我们可证：对 D 内任意分段光滑闭曲线 C，均有 若 C 不包围 M0，在 C 所围的区域上用格林公式，立即可得式成立若 C 包围 M
15、0 点，则可作以 M0 为心， 0 为半径的小圆周 C，使得 C 在 C 所围区域内且成立在 C 与 C 所围的区域上用格林公式同理可证【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用13 【正确答案】 (I)这是单连通区域，只需验证 是否成立依题设有则该积分在 D 上与路径无关()这里 D：R 2(0，0)是非单连通区域，由得不出积分与路径无关但可以计算(在 x2+y21 上用格林公式)因此，该积分与路径无关【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用14 【正确答案】 特殊路径积分法先判断积分是否与路径无关，由可知在全平面积分 LPdx+Qdy 与路径无关u(x ，y)= (0,0)(
16、x,y)Pdx+Qdy=0xP(x，0)dx+ 0yQ(x，y)dy，这里取折线 OAM 为积分路径，O(0 ，0) ，A(x，0)，M(x，y)(见图 1011)代入 P，Q 表达式得这是一个原函数，全体原函数是【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用15 【正确答案】 求出被积表达式的原函数，然后求原函数的改变量因为【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用16 【正确答案】 设 R1，则 设 R1，取0 充分小使椭圆 C(取逆时针方向 ) 4x2+y2=2 含于 L 所围区域 D 内，记 L 与 C围成区域为 D，在 D 上用格林公式得【知识模块】 多元函数积分学中的基本公
17、式及其应用17 【正确答案】 在 SS1S2 围成的区域 上应用高斯公式，因边界取内法向，故其中 为z2+1=x2+y2 与 z=1，z=2 所围，圆 D(z)的半径为 又其中 Si 与 yz 平面垂直(i=1，2)，D i 为 Si 在 xy 平面上的投影区域分别是圆域x2+y25，x 2+y22【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用18 【正确答案】 作以原点为球心，0 为半径的小球面 S，0 充分小使 S 位于 S 所围的椭球内记 S 与 S 所围的区域为 ， S 取 的内法向(即小球的外法向)，见示意图 1014( 用平面图示意立体图)，在 上用高斯公式得由于在 上，P，Q，
18、R 有连续的一阶偏导数且 于是【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用19 【正确答案】 用斯托克斯公式平面 x+y+z= 上 L 围成的平面区域记为，按右手法则，法向量 n 朝上，且 =(cos，cos，cos)，于是其中 是的面积 这里把坐标轴的名称互换， 的方程不变，于是L 是平面 与球面(x 2+y2+z2=1)的交线，它是圆周现求它的半径 r，原点 O 到平面因此【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用20 【正确答案】 先验算 在 D 上是否恒成立则(x，y) D因 D 是单连通区域，则存在原函数现用求不定积分的方法求原函数： (恒等变形，便于积分)对 x 积分，得
19、【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用21 【正确答案】 记 A=P(x，y)i+Q(x，y)j，先由(P，Q)为某二元函数 u 的梯度(即du=Pdx+Qdy)的必要条件 定出参数 (I)由于 D=(x，y)|y0；是单连通，=一 1 是存在 u(x，y)使 du=Pdx+Qdy 的充要条件，因此仅当 =一 1 时存在 u(x，y)使(P，Q)为 u 的梯度现求 u(x，y)，使得 du(x,y)= 凑微分法()D=(x，y)|x 2+y20是非单连通区域， (x，y)D)不足以保证 Pdx+Qdy存在原函数我们再取环绕(0，0)的闭曲线 C：x 4+y2=1，逆时针方向，求出其中
20、D0 是 C 围成的区域，它关于 y 轴对称于是 LPdx+Qdy 在 D 与路径无关，即Pdx+Qdy 在 D 存在原函数因此，仅当 =一 1 时 A(x，y)=(P，Q) 在 D 为某二元函数 u(x， y)的梯度【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用22 【正确答案】 设 C 是从点 A(一 a，0)经上半圆 x2+y2=a2(y0)到点 B(a，0)的弧段(图 1015)因在上半平面(含 x 轴但不含原点)积分与路径无关，于是得对右端的线积分，可直接用 C的参数方程 x=acost ， y=asint (t0)，来计算：I= 0(costsint)(一 sint)+(cost
21、+sint)costdt=一 【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用23 【正确答案】 首先由单连通区域上曲线与路径无关的充要条件得=2x对 x 积分得 Q(x，y)=x 2+(y)，下面由(*)定出 (y)，为此就要求(*)中的曲线积分，得到 (y)满足的关系式，再求 (y)通过求原函数计算积分： 2xydx+x2+(y)dy=dx2y+0y(s)ds?由(*)式，得x 2y+0y(s)ds|(0,0)(t,1)=x2y+0y(s)ds|(0,0)(1,t)，即 t 2+01(s)ds=t+0t(s)ds 求导得 2t=1+(t) ，即 (t)=2t 一1，易验证它满足上式因此 Q
22、(x，y)=x 2+(y)=x2+2y 一 1【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用24 【正确答案】 (I)由假设条件，该曲线积分与路径无关，将曲线积分记为由单连通区域上曲线积分与路径无关的充要条件知，(y)，(y)满足，即 2x(y)+(y)=2x(y)+2y 2 一 2(y)由此得 x(y) 一 (y)=y2 一(y)一 (y) 由于 x，y 是独立变量，若令 x=0，则 y2 一 (y)一 (y)=0将之代回上式又得 (y)一 (y)=0 将第一个方程 (y)=(y)代入第二个方程得 ”(y)+(y)=y2这是二阶线性常系数非齐次方程，它的通解是 (y)=c1cosy+c2s
23、iny+y22由条件 (0)=一 2，(0)=(0)=1，得c1=0，c 2=1，于是求得 (y)=siny+y2 一 2，(y)=(y)=cosy+2y ()求 u 使得du=Pdx+Qdy把 ， 的关系式代入并整理得 Pdx+Qdy=(y)dx 2+x2d(y)+(y)d(2x)+2xy2(y)dy=dx2(y)+(y)d(2x)+2xd(y)=dx2(y)+2x(y)【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用25 【正确答案】 由梯度，散度及旋度的计算公式得到：【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用26 【正确答案】 即求 u()由高斯公式得【知识模块】 多元函数积分学中
24、的基本公式及其应用27 【正确答案】 (I)将格林公式 中 Q 换成 P，P 换成一 Q，得 由第一、二类曲线积分的关系得 CPdyQdx=CPcos 一 Qcosds，其中 是 C 的单位切向量且沿 C 的方向注意= ， =一于是 CPdyQdx=CPcos|ds=C(Pcos+Qcos)ds 因此证得结论()由方向导数计算公式得 再由格林公式的另一种形式(即题(I)的结论) 得 再移项即得证()因u(x，y)| C=0，要证 u(x，y)0(x，y)D) ，只需证 =0(x，y) D)取 v(x，y)=u(x，y) ，得【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用28 【正确答案】 (
25、I)因 发散，故原级数发散( )因发散() 使用比值判别法因 故原级数收敛【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 (I)由于 收敛，利用比较判别法即知收敛，所以此级数绝对收敛()由于当 n 充分大时所以此级数为交错级数，且满足莱布尼兹判别法的两个条件，这说明原级数 所以，级数条件收敛() 注意到 因为是条件收敛的，故原级数条件收敛【知识模块】 无穷级数30 【正确答案】 (I)注意 ，对级数的通项取绝对值，并应用根值判别法，则()使用比值判别法，则有这就说明：当|x|1 时，级数 收敛，而且绝对收敛；然而，当|x|1(x 一 1)时，比值判别法失效但是，当|x|1 时，(n=1，2，)，都不
26、满足级数收敛的必要条件所以，级数 的收敛域为|x|1【知识模块】 无穷级数31 【正确答案】 (I) ，故收敛半径R=13当 x=13 时，原幂级数为 是一个收敛的交错级数；当 x=一 13 时，原幂级数为 的收敛域为(一13，13 ( )使用根值法由于的收敛半径 R=+，即收敛区间也是收敛域为(一，+)【知识模块】 无穷级数32 【正确答案】 容易求得其收敛域为一 1，1)为求其和函数 S(x)，在它的收敛区间(一 1，1)内先进行逐项求导，即得又因为 S(0)=0，因此注意原级数在 x=一 1 处收敛，又 ln(1一 x)在 x=一 1 处连续，所以 S(x)=一 ln(1 一 x)，x
27、一 1，1)【知识模块】 无穷级数33 【正确答案】 (I)本题可采用比值判别法由于所以，当 pe 时，级数收敛；当 pe 时，该级数发散；当 p=e 时，比值判别法失效注意到数列 是单调递增趋于 e 的，所以当 p=e 时， ，即un单调递增不是无穷小量，所以该级数也是发散的总之，级数 当pe 时收敛， pe 时发散( )本题适宜采用根值判别法由于所以原级数收敛这里用到【知识模块】 无穷级数34 【正确答案】 首先因为x n是单调递增的有界正数数列，所以现考察原级数的部分和数列S n，由于又x n有界，即|xn|M(M0 为常数)，故 所以Sn也是有界的由正项级数收敛的充要条件知原级数收敛【
28、知识模块】 无穷级数35 【正确答案】 对于正项级数，比较判别法的极限形式就是：同时收敛或同时发散本题未限定一定收敛比如，取即unv n(n)级数 是收敛的，然而级数 是不收敛的【知识模块】 无穷级数36 【正确答案】 (I)使用比较判别法()当 x0 时，由于 满足莱布尼兹判别法的两个条件，因此是收敛的而当 x0 时，因该级数通项不趋于零，所以是发散的故级数 的收敛域为(0，+)【知识模块】 无穷级数37 【正确答案】 (I)为求其和函数，先进行代数运算，使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数求和设当 x=0 时，上面的运算不能进行，然而从原级数看 S(0)=a0=1，同时，也容易
29、看出这就说明 S(x)在 x=0 处还是连续的，这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质【知识模块】 无穷级数38 【正确答案】 S2 为几何级数，其和为 23S 1 可看作幂级数 (一 1)nn(n 一 1)xn 在 x=12 处的值记直接利用 ln(1+x)的展开式得【知识模块】 无穷级数39 【正确答案】 (I)根据定义注意：奇函数 xcosnx 在对称区间上的积分值为零从另一个角度看，(ancosnx+bnsinnx)实际上就是 f(x)一 a02 的傅里叶级数，所以 an=0 ()根据收敛定理，和函数 g(x)=另外，g(2)=g(0)=【知识模块】 无穷级数40 【正确答案】 作奇
30、延拓，展开为正弦级数令 g1(x)= 则an=0， n=0，1，2，故由狄利克雷定理，可知而当 x= 时，该级数收敛于零【知识模块】 无穷级数41 【正确答案】 题设数列na n收敛，即知：存在常数 A，使(an 一 an-1)收敛，所以即其部分和的极限存在，记其为 S由此即得这说明级数 收敛，其和为 A 一 5【知识模块】 无穷级数42 【正确答案】 利用泰勒公式首先由 =f(0)=0，而且这样，利用函数 f(x)的一阶泰勒公式，就有 而且，因为 f(x)在 x=0的某一邻域内有连续的二阶导数，因此存在正数 M，使|f“(x)|M 在此邻域内成立，并且当 n 充分大时 注意到级数 收敛，由比较判别法即知 绝对收敛【知识模块】 无穷级数43 【正确答案】 考虑幂级数 易求它的收敛域为(一 ，+)逐项求导后虽未得到 S(x)的和函数，但得到 S(x)满足的一阶方程，又 S(0)=0，解初值问题 令 x=1 得原级数的和为【知识模块】 无穷级数
