1、考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 I1= cos(x2+y2)2d，其中D=(x，y) x 2+y21，则 ( )（A）I 3I2I1。（B） I1I2I3。（C） I2I1I3。（D）I 3I1I3。2 如图 67 所示，正方形(x，y)x1，y1 被其对角线划分为四个区域Dk(k=1，2，3，4)，I k= Ik=( )（A）I 1。（B） I2。（C） I3。（D）I 4。二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 计算二重积分 ，其中 D 是由 y=x，y=1 及 y 轴所围的平面闭域。4
2、 计算二重积分 ，其中 D 是由 y=x，x=1，y=一 1 所围的平面闭区域。5 已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1， y)=0，f(x，1)=0， f(x，y)dxdy=a，其中 D=(x，y) 0x1，0y1，计算二重积分 I= xyfxy(x，y)dxdy。6 计算 xydxdy，其中 D 是由 y=一 x 及 y= 所围成的区域。7 计算二重积分 ，x 2+(y 一 1)2=1 与 y 轴所围区域的右上方部分。8 设 D=(x， y)x 2+y2 ，x0，y0 ，1+x 2+y2表示不超过 1+x2+y2 的最大整数。计算二重积分 xy1+x2+y2dxdy。9 计
3、算二重积分 ，其中 D 是第一象限内由圆 x2+y2=2x 及直线y=0 所围成的区域。10 设区域 D=t(x，y)x 2+y21，x0 ，计算二重积分 I= 。11 求由曲面 z=x2+y2 和 z=2 一 所围成的几何体的体积 V 和表面积 S。12 由曲线 y=ex，x=0，y=0，x=1 所围的平面薄片，其上任一点(x，y)的面密度与该点的横坐标成正比，比例常数为 k(k0)，求薄片的质心。13 设 I=-aadx (x2+y2)dx。()作出 I 的积分域 的图形；()把 I改变为先对 x，次对 y，再对 z 的三次积分；() 把 I 改变为柱坐标系的累次积分；()把 I 改变为球
4、坐标系的累次积分；(V) 任选一种积分顺序计算，的值。14 计算三重积分 (x+z)dv，其中 是由曲面 z= 所围成的区域(如图 69 所示)。15 计算下列三重积分：()I= (x+y+z)dV， 是由 x2+y2z2，0zh 所围的区域；(11)I= (x2+y2)dxdydz，其中 是由曲线 (0yz，a0，a1) 绕 z 轴旋转一周所成的曲面与平面 z=a2 所围成的区域。16 设 =(x，y，z)x 2+y2+z21，则 z2dxdydz=_。17 求 I= (2x+3y+4z)2dV，其中 ：x 2+y2+z2R2(R0)。18 设 =(x，y，z)x 2+y2z1，则 的形心的
5、竖坐标 =_。19 设直线 L 过 A(1，0，0)，8(0 ，1，1)两点，将 L 绕 Z 轴旋转一周得到曲面，与平面 z=0，z=2 所围成的立体为 。()求曲面 的方程；()求 的形心坐标。20 设有一半径为 R 的球体，P 0 是此球的表面上一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P0 的距离的平方成正比(比例常数 k0)，求球体的质心位置。21 计算 I=Lx2+(y+1)2dx，其中 L 为 x2+y2=Rx(R0) 。22 计算 I= (x2+y2)zds，其中 为锥面螺线 x=tcost，y=tsint，z=t 上相应于 t 从 0 变到 1 的一段弧。23 已知曲线 L 的方程
6、为 y=1 一x(x 一 1，1)，起点是(一 1，0)，终点是(1，0)，则曲线积分 Lxydx+x2dy=_。24 计算曲线积分 Lsin2xdx+2(x2 一 1)ydy，其中 L 是曲线 y=sinx 上从点(0，0)到点(，0) 的一段弧。25 求 I=Lexsiny 一 b(x+y)dx+(excosy 一 ax)dy，其中 a、b 为正常数，L 为从点A(2a，0)沿曲线 y= 到点 O(0，0)的弧。26 设 L 是平面单连通有界区域 的正向边界线，且 L 不经过原点。n 0 是 L 上任一点(x， y)处的单位外法线向量。设平面封闭曲线 L 上点(x，y)的矢径r=xi+yj
7、，r=r， 是 n0 与 r 的夹角，试求 。27 计算曲线积分 I= ，其中 L 是以点(1，0)为中心，R 为半径的圆周(R1) ，取逆时针方向。28 设在上半平面 D=(x，y)y0 内，函数 f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t0 都；f(tx，ty)=t -2f(x，y)。证明：对 L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L，都有 Lyf(x， y)dxxf(x，y)dy=0。29 设函数 (y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上，曲线积分 的值恒为同一常数。 ()证明：对右半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C，有 ()求函数 (y)的表达式。30 设
8、函数 Q(x，y) 在 xOy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 L2xydx+Q(x，y)dy 与路径无关，并且对任意 t 恒有 (0，0) (t，1) 2xydx+Q(x，y)dy= (0，0) (t，1)2xydx+Q(x，y)dy，求 Q(x，y)。31 设 。() 验证它是某个二元函数 u(x，y)的全微分；()求出 u(x，y)；()计算 。32 计算 xyzdS，其中是由平面 x=0，y=0，z=0 及 x+y+z=1 所围成的四面体的整个边界曲面。33 计算 ，其中为四面体 x+y+z1，x0，y0 及 z0 的边界面。34 计算曲面积分 I= ，其中是曲面 2x2+2y2+
9、z2=4 的外侧。35 计算 ，其中为下半球面 z=一 的上侧，a为大于 0 的常数。考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 在区域 D 上，有 0x2+y21，从而有x2+y2(x2+y2)20。 由于 cosx 在(0， )上为单调减函数，于是0cos cos(x2+y2)cos(x2+y2)2，因此选 A。【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 A【试题解析】 D 2，D 4 两区域关于 x 轴对称，而 f(x，一 y)=一 ycosx=一 f(x，y)，即被积函数是关于
10、y 的奇函数，所以 I2=I4=0。 D 1，D 3 两区域关于 y 轴对称，而 f(一 x，y)=ycos(一 x)=ycosx=f(x，y)，即被积函数是关于 x 的偶函数，所以 所以正确答案为(A) 。【知识模块】 多元函数积分学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 【正确答案】 积分区域如图 61 所示，因此，【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 积分区域 D 所围区域如图 62 所示。因此【知识模块】 多元函数积分学5 【正确答案】 将二重积分 xyfxy(x，y)dxdy，转化为累次积分可得 xyfxy(x，y)dxdy=0xdy0xxyfxy(x，y)dx
11、，首先考虑 0xxyfxy(x，y)dx ，注意这里是把变量 y 看作常数，故有 0xxyfxy(x，y)dx=y 0xxdfy(x，y) =xyfy(x，y) 0x 一 0xyfy(x，y)dx =yf y(1，y)一 0xyfy(x，y)dx。 由 f(1，y)=f(x，1)=0 易知 fy(1，y)=A(x，1)=0故 0xxyfxy(x，y)dx=一 0xyfy(x，y)dx，所以 xyfxy(x，y)dxdy= 0xdy0xxyfxy(x，y)dx=一0xdy0xyfy(x，y)dx ，对该积分交换积分次序可得 一 0xdy0xyfy(x，y)dx=一0xdx0xyfy(x，y)dy
12、 。 再考虑积分 0xyfy(x，y)dy，注意这里是把变量 x 看作常数，故有 0xyfy(x，y)dy= 0xydf(x，y)=yf(x，y) 0x 一 0xf(x，y)dy=一 0xf(x，y)dy，因此 xyfxy(x，y)dxdy=一 0xdx0xyfy(x，y)dy= 0xdx0xf(x，y)dy= f(x，y)dxdy=a。【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 积分区域 D 如图 63 所示。由方程组 解得积分域 D上的交点 按照先对 y 积分后对 x 积分的积分次序，并将积分区域 D分为 D1 与 D2 两部分，其中【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 积分区域
13、 D 如图 64 所示。 选用极坐标求解且极点位于积分区域D 之外。并通过联立方程组求得交点坐标 由于区域是右上方部分，故交点为( )。【知识模块】 多元函数积分学8 【正确答案】 积分区域 D 如图 65 所示。由于被积函数分块表示，因此运用分块积分法，令 D 1=(x，y)0x 2+y21，x0，y0， D2=(x，Y) 1x 2+y2 ，x0，y0 。利用极坐标变换，其中 D：0 ，0r1。【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答案】 积分区域 D 如图 66 所示。选用极坐标进行计算。其中，0 ，且 0r2cos，因此【知识模块】 多元函数积分学10 【正确答案】 积分区域 D 为右半
14、单位圆，且关于 x 轴对称，函数 f(x，y)=是变量 y 的偶函数，函数 g(x，y)= 是变量 y 的奇函数。取D1=Dy0，利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，有【知识模块】 多元函数积分学11 【正确答案】 由方程组 解得 z 1=1，z 2=4(舍去)，所以投影区域为 D：x 2+y21，则【知识模块】 多元函数积分学12 【正确答案】 面密度函数 =kx，故其质量【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 () 由已知累次积分的上下限知故在xOy 面上，D xy=(x，y) x 2+y2a；由球面方程及锥面方程知， z 的上限是半径为a 的上半球面， z 的下限是以一 a
15、为顶点的半锥面，如图 68 所示。 ()由积分区域的构成及范围知 I=0adz (x2+y2)dx。( )由()知 Dxy=(x，y)x 2+y2a，故有()I= 02dr4sin3dr(V)由()得出 I=20a3a5。【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 先进行 z 的一次积分，后进行 x，y 的二重积分，即【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 () 由于 关于 yOz 坐标面，xOz 坐标面均对称，且 f(x)=x，f(y)=y 是 x，y 的奇函数，故 =0，于是 I= =02d0hdhzdz =20h(h2 一 2) d=0h(h2 一 3)d= h4。 ()旋转
16、面方程：z= (x2+y24)，因此 I= (x2+y2)dxdydz=02d022d dz=2023(a2a)d【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 利用球面坐标。 z2dxdydz=02d0d012sin2cos2d =02d0cos2d(一 cos)014d = 。【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 由积分区域的对称性和被积函数的奇偶性知I= (4x2+9y2+16z2+12xy+24yz+16xz)dV= (4x2+9y2+16z2)dV，【知识模块】 多元函数积分学18 【正确答案】 形心坐标公式【知识模块】 多元函数积分学19 【正确答案】 () 由已知， =
17、(一 1，1，1)，则直线方程为对任意一点 M(x，y，z) ，对应于 L 上的点 M(x0，y 0，z) ，于是有 x2+y2=x02+y02。 由直线方程表达式得 于是得曲面方程表达式x2+y2=(1 一 z)2+z2，即： x2+y2=2z22z+1。 ()由三的对称性 =0。而其中 Dz=(x，y)x 2+y22z22z+1，故 。【知识模块】 多元函数积分学20 【正确答案】 以球心为原点 O，射线 OP0 为 Oz 轴负向，建立坐标系如图 610所示。 点 P0 的坐标为(0， 0，一 R)，球面的方程为x2+y2+z2=R2。球面所围的区域记为 ，球面及所围区域内任一点与 P0
18、的距离故球体的体密度 =kx 2+y2+(z+R)2，k0。 设 的质心位置(坐标 )为 =0，而利用球面坐标计算上述三重积分，得【知识模块】 多元函数积分学21 【正确答案】 由于 L 关于 y 轴对称，且 f(y)=2y 是 y 的奇函数，故 L2ydx=0。又 x2+y2=Rx，从而有 L(x2+y2)dx=LRxdx，进一步得到 I= L(x2+y2+2y+1)ds=RLxds+R。其中计算积分 Lxds 有以下两种方法：【知识模块】 多元函数积分学22 【正确答案】 由参数方程，【知识模块】 多元函数积分学23 【正确答案】 令 L： ，0t1。则Lxydx+x2dy= xydx+x
19、2dy=-10t(1+t)+t2dt+01t(1 一 t)一 t2dc =0。【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 由 y=sinx 及 x：0，则 Lsin2xdx+2(x2 一 1)ydy =0sin2xdx+2(x2 一 1)sinxcosxdx=0x2sin2xdx 【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 凑成闭合曲线，应用格林公式。 添加从点 O(0，0)沿 y=0 到点A(2a，0)的有向直线段 L，如图 611 所示，则有 I= exsiny 一 b(x+y)dx+(excosy 一 ax)dy 一 exsiny 一 b(x+y)dx+(excosyax)dy
20、=I1 一 I2。 利用格林公式， 其中 D 为 L1+L2 所围成的半圆域。 对于 I2，选择 x 为参数，得 L1： (0x2a)，于是 I2=02a(一 bx)dx=一 2a2b。故 I=I1 一 I2= a。【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 设 0=cosi+cosj 是积分曲线 L 在其上点(x，y)处的单位切向量。因为曲线 L 在其上点(x ， y)处的法向量 n0 与切向量 0 互相垂直，并使闭曲线 L 沿正向。故取 n 0=cosicosj。 根据两矢量内积的定义及 dx=cosds，dy=cosds，得 当 不包含原点时，由格林公式可得 =0。当 包含原点时，取
21、半径为 且包含原点的任意小的圆周 l，l 取逆时针方向，则 l 的参数方程为 x=cos，y=sin，02，由格林公式得【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 以点(1，0)为中心，R 为半径的圆周的参数方程是：x=1+Rcos， y=Rsin，逆时针方向一周，即 t 从 0 到 2。 由于 L 所包围的区域内部有点 O(0，0) ，该点处曲线积分 I= 的分母为 0，导致被积函数不连续，格林公式不能用。 记 P=，(x，y)(0，0) 。作足够小的椭圆 L：4x 2+y2=2，取其顺时针方向，则【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 在方程 f(tx，ty)=t -2(x，y
22、)两边对 t 求导得 xf 1(tx，ty)+yf 2(tx，ty)=一 2t-3f(x，y)，令 t=1，则有 xf 1(x，y)+yf 2(x，y)=一 2f(x，y)。 (*) 设 P(x，y)=yf(x， y)，Q(x，y)=一 xf(x，y)，则 =f(x，y)+yf2(x，y)。根据(*) 式可得 。 故由曲线积分与路径无关的定理可知，对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L，都有 Lyf(x，y)dx 一 xf(x，y)dy=0。【知识模块】 多元函数积分学29 【正确答案】 () 如图 612 所示，将 C 分解为：C=l 1+l2，另作一条曲线 l3 围绕原点且与 C 相接
23、， P，Q 在单连通区域 x0 内，具有一阶连续偏导数，由()知，曲线积分 在该区域内与路径无关，故当 x0 时，总有 。比较(1)、(2)两式的右端，得由(3)得 (y)=一y2+C，将 (y)代入(4)得 2y5 一 4Cy3=2y5。所以 C=0，从而 (y)=一 y2。【知识模块】 多元函数积分学30 【正确答案】 由于曲线积分 LPdx+Qdy 与路径无关，则 (其中 P，Q 有连续偏导数)，即 对 x 积分得 Q(x，y)=x 2+(y)，其中(y)待定。对于任意的 t，则有 (0，0) (t，1) 2xydx+x2+(y)dy=(0，0) (t，1) 2xydx+x2+(y)dy
24、。 (*) 下面由此等式求 (y)。 由于 2xydx+x 2+(y)dy=ydx2+x2dy+(y)dy =d(x2y)+d(0y(s)ds)=d(x2y+0y(s)ds)。 于是由(*) 式得 (x 2y+0y(s)ds) (0，0) (t，1) =(x2y+0y(s)ds) (0，0) (t，1) ，即 t2+01(s)dx=t+0t(s)ds，亦即 t2=t+1t(s)dx。求导得 2t=1+(t)，即 (t)=2t 一 1。 因此 Q(x，y)=x 2+2y 一 1。【知识模块】 多元函数积分学31 【正确答案】 () 根据全微分方程的充要条件，故当 x2+y20 时， 是某个二元函
25、数的全微分。()求解 u(x， y)有三种方法。方法一：不定积分法。方法二：凑全微分法。方法三：曲线积分法。因为 与积分路径无关，取积分路径为 A(1，1)经 C(x，1)到B(x，y) 的折线段。则 根据起点的任意性，故可得 u(x，y)= +C。( )由()( )的结论，则=u(0，4)一 u(3，0)=4 3=1。【知识模块】 多元函数积分学32 【正确答案】 将整个边界曲面在平面 x=0，y=0，z=0 及 x+y+z=1 上的部分依次记为 1， 2， 3 及 4，即 由于在1， 2， 3 上，被积函数 f(x，y，z)=xyz 均为零，所以在 4 上，z=1 一 x 一 y，所以其中
26、 Dxy 是4 在 xOy 面上的投影区域，即由直线 x=0，y=0 及 x+y=1 所围成的闭区域。因此【知识模块】 多元函数积分学33 【正确答案】 设 1：x+y+z=1，dS= dxdy， 2：x=0，dS=dydz， 3：y=0 ，dS=dxdz， 4：z=0 ，dS=dxdy。【知识模块】 多元函数积分学34 【正确答案】 由于由于被积函数及其偏导数在点(0，0，0)处不连续，作封闭曲面(外侧)1：z 2+y2+z2=R2，其中 0R 。由高斯公式【知识模块】 多元函数积分学35 【正确答案】 由积分区域边界曲面的表达式知 x2+y2+z2=a2，则 I= axdydz+(z+a)2dxdy，令曲面 1： 其法向量与 z 轴正向相反，利用高斯公式，从而得【知识模块】 多元函数积分学
