1、考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 I= (x2+y20)，则( )（A）对于任何不过坐标原点的闭曲线 L，恒有 I=0（B）对积分 在 x2+y20 上与路径无关（C）对于任何不过坐标原点的闭曲线 L，I0（D）当 L 围成区域 D 不包含坐标原点时，I=0，其中 L 为分段光滑的简单闭曲线2 累次积分 f(rcos，rsin)rdr 可以写成( )3 设 g(x)有连续的导数， g(0)=O，g(0)=a0，f(x， y)在点(0，0)的某邻域内连续，则 ( )4 设 f(x)为连续函数，F(t)= 1
2、ldyylf(x)dx，则 F(2)等于 ( )（A）2f(2)（B） f(2)（C）一 f(2)（D）05 已知由线积分 +f(x)一 x2dy 与路径无关，其中 f(x)有连续一阶导数，f(0)=1，则 (0,0)(1,1)yf(x)dx+f(x)一 x2dy 等于( )（A）3e+1 （B） 3e+5（C） 3e+2（D）3e 一 56 设有平面闭区域，D=(x，y) 一 axa，xya，D 1=(x，y)0xa，xya，则 (xy+cosxsiny)dxdy=( )7 累次积分 01dxx1f(x，y)dy+ 12dy02yf(x，y)dx 可写成( )（A） 02dxx2xf(x，y
3、)dy （B） 01dy02yf(x，y)dx（C） 01dxx2xf(x，y)dy（D） 01dyy2yf(x，y)dx 二、填空题8 设 L 为正向圆周 x2+y2=2 在第一象限中的部分，则曲线积分 Lxdy 一 2ydx 的值为_9 设曲线 C 为圆 x2+y2=R2，则曲线积分 C(x2+y2+2xy)ds=_10 已知曲线 L：y=x 2(0x )，则 Lxds=_11 已知曲线 L 为圆 x2+y2=a2 在第一象限的部分，则 Lxyds=_12 设 L 为椭圆等 =1，其周长记为 a，则 L(2xy+3x2+4y2)ds=_。13 已知曲线 L 为曲面 z= 与 x2+y2=1
4、 的交线，则Lx2y2z2ds=_14 已知曲线 L 的方程为 y=1 一x，x 一 1，1，起点是(一 1，0)，终点是(1，0)，则曲线积分 Lxydx+x2dy=_15 设 L 是正向圆周 x2+y2=9，则曲线积分 L(2xy 一 2y)dx+(x24x)dy=_。16 设 c 为椭圆 =_17 设 C 为曲线 y= 的曲线段，则 Ccosy2dx 一2xysiny2dy=_18 设 L 是柱面方程 x2+y2=1 与平面 z=x+y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 Lxzdx+xdy+ =_19 设 从 z 轴正向往 z 轴负向看去为顺时针方向，则I
5、= (zy)dx+(xz)dy+(z 一 y)dz=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设函数 f(x)在区间0， 1上连续，且 01f(x)dx=A，求 01dxx1f(x)f(y)dy21 计算曲面积分 在柱体 x2+y22x 内的部分22 设函数 Q(x，y) 在平面 xOy 上具有一阶连续偏导数，曲线积分 L2xydx+Q(x，y)dy 与路径无关，并且对任意 t 恒有 (0,0)(t,1)2xyydx+Q(x，y)dy= (0,0)(1,t)2xydx+Q(x，y)dy，求 Q(x，y) 23 计算曲面积分 (2x+z)dydz+zdxdy，其中 S 为有向曲面
6、 z=x2+y2(0z1)，其法向量与 z 轴正向的夹角为锐角24 计算二重积分 (y+1)d，其中积分区域 D 由 Y 轴与曲线 y=围成25 (1)计算 I= 绕 z 轴旋转一周所成的曲面与平面 z=8 所围成的区域 (2)计算曲线积分 C(zy)dx+(x 一 z)dy+(x 一 y)dz，其中 C 是曲线 从 z 轴正向往 z 轴负向看，C 的方向是顺时针的 (3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为 N，在 t=0 时刻已掌握新技术的人数为 x0，在任意时刻 t 已掌握新技术的人数为 x(t)将 x(t)视为连续可微变量 )，其变化率与已掌握新技术
7、人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数 k0，求 x(t)26 计算 的上侧。为大于零的常数27 求 I=Lexsiny 一 b(x+y)dx+(excos y 一 ax)dy，其中 a，b 为正的常数，L 为从点A(2a，0)沿曲线 y= 到点 O(0，0)的弧28 设 S 为椭球面 +z2=1 的上半部分，点 P(x，y，z) S， 为 S 在点 P 处的切平面，(x，y，z)为点 O(0，0，0)到平面的距离，求 29 计算曲线积分 I= ，其中 L 是以点(1，0)为中心，R 为半径的圆周(R1) ，取逆时针方向30 设对于半空间 x0 内任意的光滑有向封闭曲面 s，都有 xf(x
8、)dydzxyf(x)dzdxe2xzdxdy=0，其中函数 f(x)在(0，+)内具有连续的一阶导数，且=1，求 f(x)31 设有一半径为 R 的球体，P 0 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P0 距离的平方成正比(比例常数 k0)，求球体的重心位置32 计算积分 33 计算 I=L(y2 一 z2)dx+(2z2 一 x2)dy+(3x2 一 y2)dz，其中 L 是平面 x+y+z=2 与柱面x+y =1 的交线，从 z 轴正向看去，L 为逆时针方向考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1
9、 【正确答案】 D【试题解析】 当 L 围成的区域 D 不包含坐标原点时，由格林公式得故选 D【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 由累次积分 f(rcos，rsin)rdr 可知，积分区域 D 为 D=(r，) 0rcos，0 由 r=cos 为圆心在 x 轴上，直径为 1 的圆可作出 D 的图形如图 61 所示该圆的直角坐标方程为可见 A、B、C 均不正确，故选 D【知识模块】 多元函数积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 由积分中值定理知【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 交换累次积分的积分次序，得 F(t)= 1tdyytf(x)dx
10、=1tdx1tf(x)dy =1t(x一 1)f(x)dx 于是 F(t)=(t 一 1)f(t)，从而 F(2)=f(2)故选 B【知识模块】 多元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 由于曲线积分 yf(x)dx+f(x)一 x2dy 与路径无关，则 f(x)=f(x)一2x，即 f(x)一 f(x)=2x f(x)=e dx2xedxdx+C=ex2xexdx+C =ex一 2ex 一 2xex+C， 由 f(0)=1 知，C=3，故 f(x)=3ex 一 2x 一 2 因此 (0,0)(1,1)yf(x)dx+f(x)一 x2dy=01f(1)一 1dy=f(1)一 1=3e 一
11、 5【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 A【试题解析】 将闭区间 D=(x，y)一 axa，cya按照直线 y=一 x 将其分成两部分 D2 和 D3，如图 62 所示，其中 D3 关于 y 轴对称，D 2 关于 x 轴对称，xy 关于 x 和 y 均为奇函数，因此在 D，和 D2 上，均有xydxdy=0 而 cosxsiny 是关于x 的偶函数，关于 y 的奇函数，在 D3 积分不为零，在 D2 积分值为零因此【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 C【试题解析】 原积分域为直线 y=x，x+y=2 ，与 y 轴围成的三角形区域，故选C【知识模块】 多元函数积分学二、填空题
12、8 【正确答案】 【试题解析】 正向圆周 x2+y2=2 在第一象限中的部分，可表示为【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答案】 2R 2【试题解析】 利用奇偶性和对称性可得，2xyds=0则有 C(x2+y2+2xy)ds=C(x2+y2)ds =CR2ds=R2.2R=2R3【知识模块】 多元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学12 【正确答案】 12a【试题解析】 将椭圆方程 =1 化简为 3x2+4y2=12，则有则有 L(2xy+3x2+4y2)ds=L(2xy+12)ds=2Lxyd
13、s+12a，由于 L 关于 x 轴对称，且 xy 关于 y 是奇函数，所以第一个积分 Lxyds=0 因此，原式 =12a【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 0【试题解析】 令【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 一 18【试题解析】 由格林公式知，【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 一 1【试题解析】 因为 (一 2xysiny2)=一 2ysiny2，则该曲线积分与路径无关 又 cosy2dx 一 2xysiny2dy=d(xcos
14、y2)，则 Ccosy2dx2xysiny2dy=xcosy2 =一 1【知识模块】 多元函数积分学18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学19 【正确答案】 一 2【试题解析】 原曲线参数方程为： x=cost，y=sint，z=2 一 cost+sint 故 I= 20(2一 cost)(一 sint)+(2cost 一 2 一 sint)cost+cost 一 sint)Sint+cost)dt =一 2【知识模块】 多元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 交换积分次序可得【知识模块】 多元函数积分学21 【正确答案】 【
15、知识模块】 多元函数积分学22 【正确答案】 根据曲线积分和路径无关的条件，可知 因此有 Q(x,y)=x2+C(y)成立，其中 C(y)为待定函数又因为 (0,0)(t,1)2xydx+Q(x,y)dy=01t2+C(y)dy=t2+01C(y)dy， (0,0)(1,t)2xydx+Q(x,y)dy=0tt2+C(y)dy=t2+0tC(y)dy， 由已知可知 t 2+01C(y)dy=t+0tC(y)dy， 两边对 t 求导可得 2t=1+C(t)，即 C(y)=2y 一1，因此有 Q(x，y)=x 2+2y 一 1【知识模块】 多元函数积分学23 【正确答案】 用高斯公式，以 S1 表
16、示法向量指向 z 轴负向的有向平面z=1(x2+y21)，D 为 S1 在 xOy 平面上的投影区域，则【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 引入极坐标(r，) 满足 x=rcos， y=rsin，在极坐标(r，)中积分区域 D 可表示为【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 (1)利用柱面坐标，积分区域可以表示为(2)令 x=cos，y=sin ，则有 z=2 一 x+y=2 一 cos+sin 由于曲线 C 是顺时针方向的，其起点和终点所对应的 值分别为 =2 和 =0因此 C(xy)dx+(x 一 z)dy+(x 一y)dz =20 一2(sin+cos)一 2cos2
17、 一 1d =一2(一 cos+sin)一 sin2 20=一2【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 令【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 添加从点 D(0，0)沿 y=0 到点 A(2a，0)的有向直线 L1，则其中 D 为 L+L1 所围成的半圆域 后一积分选择 x 为参数，得 L1： y=0(0x2a)，可直接积分 I2=02a(一 bx)dx=一 2a2b因此 I=I 1 一 I2= 【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 令 F(x，y，z)= +z2 一 1，设(X，Y，Z)为上任意一点，则的方程为 F x(X 一 x)+Fy(Yy)+Fz(Zz)=0
18、， 即【知识模块】 多元函数积分学29 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学30 【正确答案】 由题设和高斯公式得【知识模块】 多元函数积分学31 【正确答案】 如图 67 所示，以 表示球体，以 的球心表示原点 O，射线OP0 为正 x 轴建立直角坐标系，则点 P0 的坐标为(R，0，0)，球面方程为 x2+y2+z2=R2【知识模块】 多元函数积分学32 【正确答案】 设二重积分区域为 D，D 1 是 D 的第一象限部分，由对称性，得【知识模块】 多元函数积分学33 【正确答案】 记 s 为平面 x+y+z=2 上 L 所围部分由 L 的定向，按右手法则知S 取上侧，S 的单位法向量其中 D 为 S 在 xy 平面上的投影区域x+y1(如图 68 所示)由 D 关于x，y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得【知识模块】 多元函数积分学
