1、考研数学一（微分中值定理及其应用）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且满足 =1，则 x=0（A）是 f(x)的驻点，且为极大值点（B）是 f(x)的驻点，且为极小值点（C）是 f(x)的驻点，但不是极值点（D）不是 f(x)的驻点2 设 f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个：( )f(x) 在 x=0 处三阶可导，且=1； ()f(x)在 x=0 邻域二阶可导，f(0)=0，且 1)f(x)xf(x)=ex1，则下列说法正确的是（A）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)不是曲线
2、y=f(x)的拐点（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)是 f(x)的极大值二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 证明函数恒等式 arctanx= arctan ，x(1，1)4 设函数 f(x)，g(x) 在 x=x0 有连续的二阶导数且 f(x0)=g(x0)，f(x 0)=g(x0)，f(x 0)=g(x0)0，说明这一事实的几何意义5 设 f(x)在(a ，b)内可导，证明： x，x 0(a，b)且 xx0 时，f(x) 在(a ，b)单调减少的充要条件是 f(x0)+f(x0)(xx 0)f(x) (*)6
3、求函数 y=x+ 的单调区间、极值点及其图形的凹凸区间与拐点7 求曲线 y= +ln(1+ex)的渐近线方程8 运用导数的知识作函数 y=x+ 的图形9 在椭圆 =1 内嵌入有最大面积的四边平行于椭圆轴的矩形，求该最大面积10 在半径为 a 的半球外作一外切圆锥体，要使圆锥体体积最小，问高度及底半径应是多少?11 设函数 f(x)在区间0， a上单调增加并有连续的导数，且 f(0)=0，f(a)=b，求证：f(x)dx+ g(x)dx=ab，其中 g(x)是 f(x)的反函数12 设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导且满足 f(0)=0，f(x)0，f(x)f(x)( x 0)，求
4、证： f(x)013 证明函数 f(x)= 在(0，+)单调下降14 设 f(x)在0，a二次可导且 f(0)=0，f(x)0求证： 在(0，a单调下降15 设 f(x)在(a，b)四次可导， x0(a，b)使得 f(x0)= (x0)=0，又设 f(4)(x)0(x(a，b) ，求证 f(x)在(a，b)为凹函数16 设 y=y(x)是由方程 2y32y 2+2xyx 2=1 确定的，求 y=y(x)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?17 求函数 y= (x(0，+)的单调区间与极值点，凹凸区间与拐点及渐近线18 设 a0，求 f(x)= 的最值19 求函数 f(x)= (2t)e t dt
5、 的最值20 在椭圆 =1 的第一象限部分上求一点 P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小21 设 f(x)在0，1连续，在 (0，1)内 f(x)0 且 xf(x)=f(x)+ ax2，又由曲线 y=f(x)与直线=1 ，y=0 围成平面图形的面积为 2，求函数 y=f(x)，问 a 为何值，此图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积最小?22 设 f(x)在0，b可导，f(x)0( x(0，b)，t0，b，问 t 取何值时，图 410中阴影部分的面积最大? 最小 ?23 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且f(x)1，又 f(0)=f(1)，证明：对于 x1，x 2
6、0，1，有f(x 1)f(x 2)24 设 ae，0xy ，求证 aya x(cosxcosy)a xlna25 证明：当 x1 时 0lnx+ (x1) 326 当 x0，证明 (tt 2)sin2ntdt ，其中 n 为自然数27 求证：当 x0 时不等式(1+x)ln 2(1+x)x 2 成立28 求证：x(0，1)时29 设 f(x)在0，+)可导，且 f(0)=0若 f(x)f(x)， x(0，+) ，求证：f(x)0，x(0，+)考研数学一（微分中值定理及其应用）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】
7、本题应先从 x=0 是否为驻点入手，即求 f(0)是否为 0；若是，再判断是否为极值点由 =1，可知 f(x)=0，从而 f(0)=0，f(0)= =10=0 可知 x=0 是 f(x)的驻点再由极限的局部保号性还知，在 x=0 的某去心邻域内 0；由于1cosx 0，故在此邻域内，当 x0 时 f(x)0=f(0)，而当 x0 时 f(x)0=f(0)，可见 x=0 不是极值点，故选(C)【知识模块】 微分中值定理及其应用2 【正确答案】 C，B【试题解析】 () 由条件 =1 及 f(x)在 x=0 连续即知 f(x)=f(0)=0用洛必达法则得 型未定式极限 J= 因 f(x)=f(0)
8、，若 f(0)0，则 J=，与 J=1 矛盾，故必有 f(0)=0再由 (0)的定义得因此，(0，f(0)是拐点选(C) ()已知 f(0)=0，现考察 f(0)由方程得=3f(x)=3+0=3，由 f(x)在 x=0 连续 f(0)=30因此 f(0)是 f(x)的极小值应选(B)【知识模块】 微分中值定理及其应用二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 【正确答案】 令 f(x)=arctanx， g(x)= ，要证 f(x)=g(x)当 x(1，1)时成立，只需证明：1f(x)，g(x)在( 1，1)可导且当 x(1，1)时 f(x)=g(x)；2x0(1，1)使得 f(x0
9、)=g(x0)由初等函数的性质知 f(x)与 g(x)都在(1，1)内可导，计算可得 即当x(1，1)时 f(x)=g(x)又 f(0)=g(0)=0，因此当 x(1，1)时 f(x)=g(x)，即恒等式成立【知识模块】 微分中值定理及其应用4 【正确答案】 曲线 y=f(x)，y=g(x) 在公共点 M0(x0，f(x 0)即(x 0，g(x 0)处相切，在点 M0 的某邻域有相同的凹凸性因 f(x)，g(x) 在 x0 处连续，f(x 0)=g(x0)0( 或0) x0 的某邻域(x 0 ，x 0+)，当 x(x0 ， x0+)时 f(x)0，g(x)0(或f(x)0，g(x)0)又由曲率
10、计算公式知，这两条曲线在点 N0 处有相同的曲率【知识模块】 微分中值定理及其应用5 【正确答案】 充分性：设(*)成立， x1，x 2(a， b)且 x1x 2 f(x2)f(x 1)+f(x1)(x2x 1)，f(x 1)f(x 2)+f(x2)(x1x 2)两式相加 f(x1)f(x 2)(x2x 1)0 f(x1)f(x 2)，即 f(x)在(a，b)单调减少必要性：设 f(x)在(a，b)单调减少对于x，x 0(a， b)且 xx0，由微分中值定理得 f(x)f(x 0)+f(x0)(xx 0)=f()f(x 0)(xx 0)0，其中 在 x 与 x0 之间，即(*)成立【知识模块】
11、 微分中值定理及其应用6 【正确答案】 () 定义域 x1，间断点 x=1，零点 x=0，且是奇函数()求y，y 和它们的零点 由 y=0 得驻点 x=0，；由 y=0 得 x=0，由这些点及间断点 x=1 把函数的定义域按自然顺序分成(， ，+)由此可列出函数如下分段变化表，并标明每个区间上函数的单调性、凹凸性及相应的极值点与拐点因此，单调增区间是(， ，+) ，单调减区间是；极大值点是 x= ，对应的极大值是 ，极小值点是 x= ，对应的极小值是 ；凸区间是(，1)，(0，1)，凹区间是(1， 0)，(1，+)；拐点是(0，0)【知识模块】 微分中值定理及其应用7 【正确答案】 只有间断点
12、 x=0，因 +ln(1+ex)=，故有垂直渐近线x=0又 因此，x+时有斜渐近线 y=x最后， +ln(1+ex)=0+ln1=0，于是x时有水平渐近线 y=0【知识模块】 微分中值定理及其应用8 【正确答案】 求渐近线只有两个间断点 x=1 =，则 x=1 为垂直渐近线又 =，则 x=1 也是垂直渐近线又 所以 y=x 是斜渐近线，无水平渐近线综上所述，作函数图形如图 47 所示【知识模块】 微分中值定理及其应用9 【正确答案】 设椭圆内接矩形在第一象限中的顶点为 M(x，y)，则矩形的面积为S(x)=4xy= (0xa)下面求 S(x)在0，a上的最大值先求 S(x)：令 S(x)=0
13、解得 x= ，因 S(0)=S(a)=0，S( )=2ab，所以 S(x)在0，a 的最大值即内接矩形最大面积为 2ab【知识模块】 微分中值定理及其应用10 【正确答案】 设外切圆锥体的底半径为 r，高为 h见图 48，记ABO=，则 tam= ，于是圆锥体体积为 V=(ar +) 求 V(r)的最小值点等价于求 f(r)= 的最小值点由于因此，当 r=时圆锥体体积最小【知识模块】 微分中值定理及其应用11 【正确答案】 令 F(a)= g(x)dxaf(a)，对 a 求导得 F(a)=f(a)+gf(a)f(a)af(a)f(a) ，由题设 g(x)是 f(x)的反函数知 gf(a)=a，
14、故 F(a)=0，从而 F(a)为常数又 F(0)=0，故 F(a)=0，即原等式成立【试题解析】 即证对 a 有函数恒等式 f(x)dx+ g(x)dx=af(a)成立【知识模块】 微分中值定理及其应用12 【正确答案】 由 f(x)f(x)0 ， 得 e x f(x)f(x)=e x f(x)0又 f(x)ex x=0=0， 则 f(x)ex f(x)ex x=0=0进而 f(x)0(x0，+)，因此 f(x)0( x0，+) 【试题解析】 因 f(x)0，若能证 f(x)0，则 f(x)0因 f(0)=0，若能证 f(x)单调不增或对某正函数 R(x)，R(x)f(x)是单调不增的，这只
15、需证 f(x)0或R(x)f(x)0由所给条件及积分因子法的启发，应采取后一种方法【知识模块】 微分中值定理及其应用13 【正确答案】 f(x)=(1+ ，则下证2xln2x(1+2 x)ln(1+2x)0( x0) 令 t=2x，则 x 0 时 t1，2 xln2x(1+2 x)ln(1+2x)=tlnt(1+t)ln(1+t) g(t)由于 g(t)=lnt ln(1+t)0( t0) g(t)在(0，+) 单调下降，又 g(t)=0 g(t)0 (t0)【知识模块】 微分中值定理及其应用14 【正确答案】 对 F(x)求导得 F(x)=xf(x)0 ( x(0，a)又 F(0)=0，则
16、F(x)0( (0，a)，即 xf(x)f(x)0(0xa)【试题解析】 要证 在(0，a单调下降，只需证明导数0为此令 F(x)=xf(x)f(x) ，则只需证 F(x)0( (0，a)【知识模块】 微分中值定理及其应用15 【正确答案】 由 f(4)(x)0(x(a ，b)，知 (x)在(a，b)单调上升又因 (x0)=0，故 从而 f(x)在x 0，b)单调上升，在(a，x 0单调下降又 f(x0)=0，故 f(x)0(x (a，b)，xx 0)，因此 f(x)在(a，b)为凹函数【知识模块】 微分中值定理及其应用16 【正确答案】 () 先用隐函数求导法求出 y(x)将方程两边对 x
17、求导得6y2y4yy+2xy+2y2x=0 ，整理得 y= ()由 y(x)=0 及原方程确定驻点由 y(x)=0 得 y=x 代入原方程得 2x32x 2+2xxx 2=1 即 x3x 2+x31=0，(x 1)(2x 2+x+1) =0仅有根 x=1当 y=x=1 时，3y22y+x0 因此求得驻点 x=1()判定驻点是否是极值点将式化为(3y22y+x)y=xy 将式两边对 x 在 x=1 求导，注意 y(1)=0，y(1)=1，得2y(1)=1，y(1)= 0故 x=1 是隐函数 y(x)的极小值点【知识模块】 微分中值定理及其应用17 【正确答案】 函数 y= 在定义域(0，+)上处
18、处连续，先求 y，y和它们的零点及不存在的点由 y=0 得 x=1；x= 时 y不存在；x= 时 y不存在；无 y=0 的点现列下表：因此得 y= 单调减少区间是(0，1) ，单调增加区间是(1，+)，x=1 是极小值点，凹区间是(0， )，凸区间是 是拐点最后求渐近线因y= 在 (0，+)连续，且 y=0，所以无垂直渐近线由于因此只有斜渐近线 y=x【知识模块】 微分中值定理及其应用18 【正确答案】 f(x)在( ，+)上连续且可写成如下分段函数由此得 x(，0)时 f(x)0，故 f(x)在(，0单调增加；x(0，+) 时 f(x)0，故 f(x)在a，+)单调减少从而 f(x)在0，a
19、上的最大值就是 f(x)在(， +)上的最大值在(0，a) 上解 f(x)=0，即(1+ax) 2(1+x) 2=0，得x= 又 =f(0)=f(a)，因此 f(x)在0，a即在( ，+)的最大值是 由于 f(x)在( ，0)单调增加，在(a，+)单调减少，又 f(x)在0，a的最小值 f(x)=0，因此 f(x)在 ( ，+)上无最小值【知识模块】 微分中值定理及其应用19 【正确答案】 由于 f(x)是偶函数，我们只需考察 x0，+)由变限积分求导公式得 f(x)=2x(2x 2)ex2 解 f(x)=0 得 x=0 与 x= ，于是从而，f(x)的最大值是 f( )=et dt=2+et
20、 =1+e2 由上述单调性分析，为求最小值，只需比较 f(0)与 f(x)的大小由于=1f(0)=0 ，因此 f(0)=0 是最小值【试题解析】 f(x)的定义域是( ，+) ，由于它是偶函数，故只需考虑x0，+)求 f(x)和驻点并考察驻点两侧的单调性由于需要考察 f(0)是否为最值，还需讨论极限值 f(x)【知识模块】 微分中值定理及其应用20 【正确答案】 过椭圆上任意点(x 0，y 0)的切线的斜率 y(x0)满足切线方程为yy 0= (xx 0)分别令 y=0 与 x=0，得 x， y 轴上的截距：于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积(图 49)为S(x0)= ab问题是求：S(
21、x)= ab(0xa) 的最小值点，其中 y= ，将其代入 S(x)中，问题可进一步化为求函数 f(x)=x2(a2x 2)在闭区间0，a上的最大值点由 f(x)=2x(a22x 2)=0(x(0，a) 得 a22x 2=0，x=x 0= a注意 f(0)=f(a)=0，f(x 0)0，故x0= 是 f(x)在0，a的最大值点因此 P( )为所求的点【知识模块】 微分中值定理及其应用21 【正确答案】 () 首先由 xf(x)=f(x)+ ax2，f(x)0(x(0，1)求出 f(x)这是求解一阶线性方程 f(x) ax两边乘积分因子 = (取其中一个)，得 a，于是 f(x)= ax2+Cx
22、，x0，1，其中 C 为任意常数使得f(x)0(x (0，1)( )确定 C 与 a 的关系使得由 y=f(x)与 x=1，y=0 围成平面图形的面积为 2由已知条件得 2= 则 C=4a因此，f(x)= ax2+(4a)x，其中 a 为任意常数使得 f(x)0(x(0，1) a,有 f(0)=0，f(1)=又 f(x)=3ax+4a ，由此易知8a4 时 f(x)0(x (0，1)()求旋转体的体积()求 V(a)的最小值点由于 则当 a=5 时 f(x)0(x(0，1)，旋转体体积取最小值【知识模块】 微分中值定理及其应用22 【正确答案】 由于 S(t)= f(t)f(x)dx+ f(x
23、)f(t)dx =tf(t) f(x)dx+(tb)f(t) 在0 ，b可导，且 S(t)=tf(t)+f(t)f(t)f(t)+f(t)+(tb)f(t) 则 S(t)在0，时，S(t)取最小值S(t)在0，b连续，也一定有最大值，且只能在 t=0 或 t=b 处取得【试题解析】 先写出面积函数 S(t)，它由两块面积相加，然后求 S(t)的最大、最小值点【知识模块】 微分中值定理及其应用23 【正确答案】 联系 f(x1)f(x 2)与 f(x)的是拉格朗日中值定理不妨设0x1x21分两种情形：1)若 x2x 1 ，直接用拉格朗日中值定理得f(x 1)f(x 2)=f()(x 2x 1)=
24、f()x 2x 1 2)若 x2x 1 ，当0x 1x 21 时，利用条件 f(0)=f(1)分别在0，x 1与x 2，1上用拉格朗日中值定理知存在 (0，x 1)，(x 2，1)使得f(x 1)f(x 2)=f(x 1)f(0)f(x 2)f(1) f(x 1)f(0) + f(1)f(x 2) =f()x 1+ f()(1x 2) x 1+(1x 2)=1(x 2x 1) ，当 x1=0 且 x2 时，有 f(x 1)f(x 2)= f(0)f(x 2)=f(1)f(x 2)=f()(1x 2) 当 x1 且 x2=1 时，同样有 f(x 1)f(x 2)=f(x 1)f(1)=f(x 1
25、)f(0) =f()(x 10) 因此对于任何x1，x 20，1总有 f(x 1)f(x 2) 【知识模块】 微分中值定理及其应用24 【正确答案】 令 f(t)=at，g(t)=cost，在区间x， y上应用柯西中值定理，即知存在满足 0xy 的 ，使得由于axa ， 0sin1，故由上式可得 aya x(cosxcosy)a xlna【试题解析】 把不等式改写成 注意到(a x)=axlna，(cosx)=sinx，而sinx1对 f(t)=at，g(t)=cost，应用柯西中值定理即可【知识模块】 微分中值定理及其应用25 【正确答案】 对 x1 引入函数 f(x)=lnx+ 2，则 f
26、(x)在1，+)可导，且当x1 时 从而 f(x)在1，+)单调增加，又f(1)=0，所以当 x1 时，f(x)f(1)=0，即 lnx+ 20令 g(x)=lnx+(x1) 3，则 g(x)在1，+)可导，且当 x1 时故 g(x)在区间1，+) 上单调减少，又 g(1)=0，所以当 x1 时 g(x)g(1)=0 ，即 lnx+ 2(x 1)3 当 x1 时成立【知识模块】 微分中值定理及其应用26 【正确答案】 令 f(x)= (tt 2)sin2ntdt，则 f(x)=(xx 2)sin2nx当 0x1 时，f(x)0；当 x1 时，除 x=k(k=1，2，3，)的点外，f(x)0，则
27、 f(x)在 0x1单调上升，在 x1 单调减小，因此 f(x)在0，+)上取最大值 f(1)又当 t0 时sintt，于是当 x0 时有【知识模块】 微分中值定理及其应用27 【正确答案】 令 f(x)=x2(1+x)ln 2(1+x)，则有 f(0)=0，f(x)=2xln 2(1+x)2ln(1+x)，f(0)=0 ，于是 f(x)当 x0时单调增加，又 f(0)=0，所以当 x0 时 f(x)f(0)=0 从而 f(x)当 x0 时单调增加，又 f(0)=0，故当 x0 时 f(x)f(0)=0因此 f(x)当 x0 时单调增加，又 f(0)=0，所以当 x0 时 f(x)f(0)=0
28、原不等式得证【知识模块】 微分中值定理及其应用28 【正确答案】 令 g(x)= ，则由题知当 x0 时有故 g(x)在(0，1)内单调下降又 g(x)在(0，1 连续，且 g(1)= 1， g(x)在 x=0 无定义，但若补充定义 g(0)= ，则 g(x)在0 ，1上连续又 g(x)0,0x1 ，因此 g(x)在0，1单调下降所以，当 0x1 时 g(1)g(x) g(0)，即 成立【知识模块】 微分中值定理及其应用29 【正确答案】 要证 f(x)0 exf(x)0 (x0)由e xf(x)=exf(x)+f(x)0 (x0) exf(x)在0，+)单调上升 exf(x)e xf(x) x=0=0(x0) f(x)0(x0)【知识模块】 微分中值定理及其应用
