1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X1，X 2，X n，相互独立，则 X1，X 2， ，X n，满足辛钦大数定律的条件是( ) （A）X 1，X 2，X n，同分布且有相同的数学期望与方差（B） X1，X 2，X n，同分布且有相同的数学期望（C） X1，X 2，X n，为同分布的离散型随机变量（D）X 1，X 2，X n，为同分布的连续型随机变量 二、填空题2 设随机变量 X 方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P|XE(X)|2)_3 若随机变量 X1，X 2，X n 相互独立同分布于(，2 2)，则
2、根据切比雪夫不等式得 P| 一 |2_4 设总体 XN(，) ，X 1，X 2，X n 是来自总体的简单随机样本，=_5 设 X 为总体，E(X)= ， D(X)=2，X 1，X 2，X n 为来自总体的简单随机样本，S2= ，则 E(S2)=_6 设总体 XN(， 2)，X 1，X 2，X 10 为总体的简单样本，S 2 为样本方差，则D(S2)=_。7 设总体 XN(2，4 2)，从总体中取容量为 16 的简单随机样本，则( 2)2_8 设随机变量 XN(1，2)，YN( 一 1，2)，ZN(0 ，9) 且随机变量 X，Y ，Z 相互独立，已知 a(X+Y)2+bZ2 2(n)，则a=_，
3、b=_，n=_9 若总体 XN(0，3 2)，X 1，X 2，X n 为来自总体样本容量为 9 的简单随机样本，则 Y= Xi2 服从_分布，其自由度为_。10 设 X1，X 2，X 3，X 4，X 5 为来自正态总体 XN(0，4)的简单随机样本，Y=a(X12X2)2+b(3X34X4)2+cX52，且 Y 2(n)，则a=_，b=_，c=_，n=_11 设(X 1，X 2，X n，X n+1，X n+m)为来自总体 XN(0， 2)的简单样本，则统计量 U= 服从_ 分布12 设 UN(，1)，V 2(n)，且 U，V 相互独辛，则 T= 服从_分布。13 设 X 为总体，(X 1，X
4、2，X n)为来自总体 X 的样本，且总体的方差 DX=2，令 S02= ，则 E(S02)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 Xf(x)= ，对 X 进行独立重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 的次数，求 E(Y2)15 设某种零件的长度 LN(18，4)，从一大批这种零件中随机取出 10 件，求这 10件中长度在 1622 之间的零件数 X 的概率分布、数学期望和方差16 一民航班车上有 20 名旅客，自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车次数，求 E(X)(设每位旅客下车是等可能的)17 设某箱装有
5、 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 80 件、10 件和 10 件，现从中随机抽取一件，记 Xi= (i=1，2，3)(1)求(X 1，X 2)的联合分布； (2)求 X1，X 2 的相关系数18 在长为 L 的线段上任取两点，求两点之间距离的数学期望及方差19 设 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2)，YN(0， 2)，令 Z= 求 E(Z)，D(Z)20 设随机变量 X，Y 独立同分布，且 XN(0， 2)，再设 U=aX+bY，V=aX 一bY，其中 a， b 为不相等的常数求： (1)E(U)，E(V)，D(U)，D(V)， UV； (2)设U，V 不相关，求常数 a，
6、b 之间的关系21 设 XU(一 1，1) ，Y=X 2，判断 X，Y 的独立性与相关性22 设随机变量 X 的数学期望和方差分别为 E(X)=，D(X)= 2，用切比雪夫不等式估计 P|X 一 |323 设 X 为一个总体且 E(X)=k，D(X)=1 ，X 1，X 2，X n 为来自总体的简单随机样本，令 ?24 批种子中良种占 之差小于001 的概率25 某保险公司统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20，用 X 表示抽取的100 个索赔户中被盗索赔户的户数 (1)求 X 的概率分布；(2)用拉普拉斯定理求被盗户数不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值考研数学一（概率统计）模
7、拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 根据辛钦大数定律的条件，应选(B)【知识模块】 概率统计二、填空题2 【正确答案】 【试题解析】 P|X E(X)|2)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 【试题解析】 因为 X1，X 2，X n 相互独立同分布于 N(，2 2)，【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 2【试题解析】 则 E(S2)=2【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 2(1)【试题解析】
8、因为 2(1)【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 【试题解析】 由 XN(1，2)，YN( 一 1，2)，ZN(0，9)，得 X+YN(0，4)且【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 2(9)，9【试题解析】 因为 XiN(0，3 2)(i=1，2，9)，所以Xi2 2(9)，自由度为 9【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 【试题解析】 因为 X12X2N(0，20)， 3X 34X4N(0 ，100)，X 5N(0 ，4) ，【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 F(n，m)【试题解析】 【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 Tt(n)【试题解析】 由 UN(，1)，得=
9、Tt(n)【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 【试题解析】 E(S 02)=【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 YB(4，p)，其中 p= ，E(Y 2)=D(Y)+E(Y)2=5【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 显然 XB(10，p)，其中 p=P(16L22)因为 LN(18，4)，因此 E(X)=np=1008185=8185， D(X)=npq=1008185(108185)14856【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 令 Xi= (i=一 1，2，10)，显然X=X1+X2+X10因为任一旅客在第 i 个站不
10、下车的概率为 09，所以 20 位旅客都不在第 i 个站下车的概率为 09 20，从而第 i 个站有人下车的概率为 109 20，即 Xi 的分布律为【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 (1)(X 1， X2)的可能取值为(0，0)， (0，1)，(1，0)，(1，1) P(X1=0，X 2=0)=P(X3=1)=01， P(X 1=0，X 2=1)=P(X2=1)=01， P(X 1=1，X 2=0)=P(X1=1)=0 8， P(X 1=1，X 2=1)=0 (X 1，X 2)的联合分布律为E(X1)=E(X12)=08， E(X2)=E(X22)=01， E(X 2X2)=0，则
11、D(X2)=016，D(X 2)=009 ，Cov(X 2，X 2)=一 008， 于是【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 线段在数轴上的区间为0，L，设 X，Y 为两点在数轴上的坐标，两点之间的距离为 U=|XY|，X ，Y 的边缘密度为【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 因为 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2)，Y N(0 ， 2)，【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 (1)E(U)=E(aE+bY)=0 ，E(V)=E(aX 一 bY)=0， D(U)=D(V)=(a 2+b2)2 Cov(U ， V)=Cov(aX+bY，aX 一 bY)=a2D(X)一 b2
12、D(Y)=(a2 一 b2)2(2)U，V 不相关 UV=0|a|=|b|【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 CoV(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)，E(X)=9 ，E(XY)=E(X 3)=0， 因此 Cov(X，Y)=0 ，X，Y 不相关；判断独立性，可以采用试算法【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 P(|X 一 |3【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 (1)X B(100 ，02)，即 X 的分布律为 P(X=k)=C100k02 k 08 100k(k=0，1，2，100) (2)E(X)=20，D(X)=16，P(14X30)=(25)一 (一 15)=0927【知识模块】 概率统计
