1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X，Y 的分布函数分别为 F1(x)，F 2(x)，为使得 F(x)=aF1(x)+bF2(x)为某一随机变量的分布函数，则有( )2 设随机变量 x 的分布函数为 F(x)，则下列函数中可作为某随机变量的分布函数的是( )（A）F(x 2)（B） F(一 x)（C） 1 一 F(x)（D）F(2x 一 1)3 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则随机变量 Y=min(X，2)的分布函数( )（A）是阶梯函数（B）恰有一个间断点（C）至少有两个间断点（D）是
2、连续函数4 设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 FX(x)，F Y(y)，则 Z=min(X，Y)的分布函数为( ) （A）F Z(z)=maxFX(z)，F Y(z)（B） FY(z)=minFX(z)，F Y(z)（C） FY(z)=1 一1 一 FX(z)1 一 FY(z)（D）F Y(z)=FY(z)5 设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 FX(x)，F Y(y)，则 Z=maxX，Y)的分布函数为( ) （A）F Z(z)=maxFX(z)，F Y(z)（B） FZ(z)=FX(z)，F Y(z)（C） FZ(z)=minFX(z)，F Y(z)（D）F Z(
3、z)=FY(z)6 设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是( )（A）X+Y（B） XY（C） max(X，y)（D）rain(X，Y)7 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则( )（A）X+Y 一定服从正态分布（B） (X，Y)一定服从二维正态分布（C） X 与 Y 不相关，则 X，Y 相互独立（D）若 X 与 y 相互独立，则 XY 服从正态分布8 若(X，Y) 服从二维正态分布，则 X，Y 一定相互独立；若 XY=0，则 X，Y一定相互独立；X 和 Y 都服从一维正态分布； X，Y 的任一线性组合服从一维正态分布上
4、述几种说法中正确的是( )（A）（B） （C） （D）9 设随机变量 X，Y 都是正态变量，且 X，Y 不相关，则( )（A）X，Y 一定相互独立（B） (X，Y)一定服从二维正态分布（C） X，Y 不一定相互独立 （D）X+Y 服从一维正态分布10 设随机变量 X，Y 相互独立，且 X ，则与 Z=YX 同分布的随机变量是( ) （A）XY（B） X+Y（C） X2Y（D）Y2X二、填空题11 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，4)，Y 的分布律为Y ，则 P(X+2Y4)=_12 设(X，Y)的联合分布函数为 F(x，y)= ，则 Pmax(X，Y)1=_13 设 X，Y 相互独
5、立且都服从(0，2)上的均匀分布，令 Z=min(X，Y)，则P(0Z1)=_14 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且分布函数为 FX(x)=，令 U=X+Y，则 U 的分布函数为_15 设随机变量(X，Y) 的联合密度为 f(x，y)= ，则 P(X5Y3)= _16 设 X，Y 为两个随机变量，且 P(X0，Y0)= ，则 Pmax(X，Y)0)=_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 有甲、乙两个口袋，两袋中都有 3 个白球 2 个黑球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取 4 个球，设 4 个球中的黑球数用 X 表示，求 X 的分布律18 设一设备在时间长度
6、为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)P(t) (1)求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；(2)求设备在无故障工作 8 小时下，再无故障工作 8 小时的概率19 设一电路由三个电子元件并联而成，且三个元件工作状态相互独立，每个元件的无故障工作时间服从参数为 的指数分布，设电路正常工作的时间为 T，求 T 的分布函数20 设随机变量 X 满足X1，且 P(X=一 1)= ，在 一1X1 发生的情况下，X 在(一 1，1)内任一子区间上的条件概率与该子区间长度成正比(1)求 X 的分布函数； (2)求 P(X0)21 设 X 的密度函数为 fX(x)= 的密度fY(y)22 设随机变量
7、X 的概率密度为 fX(x)= ，求 Y=eX 的概率密度 fY(y)23 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明： Y=1 一 e-2X 在区间(0，1)上服从均匀分布24 设 Y ，求矩阵 A 可对角化的概率25 设随机变量 XE()，令 Y= ，求 P(X+Y=0)及 FY(y)26 设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4，独立同分布，且 Xi的概率分布。27 设随机变量 X，Y 独立同分布，且 P(X=i)= ， i=1，2，3 设随机变量U=maxX，Y)，V=minX，Y (1)求二维随机变量(U，V)的联合分布；(2)求Z=UV 的分布； (3)判断 U，V 是否相互
8、独立? (4)求 P(U=V)28 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出二维随机变量(X，Y) 的联合分布律及关于 X 和 Y 的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值填入表中空白处29 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x， y)= (1)求随机变量 X，Y 的边缘密度函数；(2)判断随机变量 X，Y 是否相互独立；(3)求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数和密度函数30 设随机变量(X，Y) 的联合密度函数为 f(x，y)= (1)求P(X2Y)； (2)设 Z=X+Y，求 Z 的概事密度函数31 设随机变量 XN(，) ，YU 一 ，且 X，Y 相互独立，令 Z=X+Y，
9、求fZ(z)32 设随机变量 XU(0，1)，在 X=x(0x1)下，Y U(0 ，x)(1)求 X，Y 的联合密度函数；(2)求 Y 的边缘密度函数考研数学一（概率统计）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 根据性质 F(+)=1，得正确答案为 (D)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 D【试题解析】 函数 (x)可作为某一随机变量的分布函数的充分必要条件是：(1)0(x)1；(2)(x)单调不减；(3)(x)右连续；(4)(一 )=0，(+)=1 显然只有 F(2x 一 1)满足条件，选 (D)【知识模
10、块】 概率统计3 【正确答案】 B【试题解析】 F Y(y)=P(Yy)=Pmin(X，2)y=1 一 Pmin(X，2)y =1 一P(Xy，2 y)=1 一 P(Xy)P(2y) 当 y2时，F Y(y)=1；当 y2 时，F Y(y)=1 一P(Xy)=P(Xy)=F X(y)，F X(x)= ，所以当 0y2 时，F Y(y)=1e-y；当 y0 时，F Y(y)=0，即 FY(y)= ，显然 FY(y)在 y=2 处间断，选(B)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 C【试题解析】 F Z(z)=P(Zz)=Pmin(X，Y)z=1 一 Pmin(X，Y)z =1 一P(Xz，Yz
11、)=1 一 P(Xz)P(Yz) =1 一1 一 P(Xz)1一 P(Yz)=1一1 一FX(z)1 一 FY(z)，选(C)【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 B【试题解析】 F Z(z)=P(Zz)=Pmax(X，Y)z=P(Xz，Yz) =P(Xz)P(Yz)=F X(z)FY(z)，选(B)【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 D【试题解析】 事实上，min(X，Y)的分布函数为 Pmin(X，Y)x=1 一 Pmin(X，Y)x=1 一P(Xx，Y x) =1 一 P(Xxz)P(Y x)=1 一1 一 F(x)2=【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 D【试题解析】 若 X
12、Y 独立且都服从正态分布，则 X，Y 的任意线性组合也服从正态分布，选(D) 【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 B【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 X，Y 都服从一维正态分布，aX+bY 服从一维正态分布，且 X，Y 独立与不相关等价，所以选(B)【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 C【试题解析】 只有当(X，Y)服从二维正态分布时，X，Y 独立才与 X，Y 不相关等价，由 X，Y 仅仅是正态变量且不相关不能推出 X，Y 相互独立，(A)不对；若X，Y 都服从正态分布且相互独立，则(X，Y)服从二维正态分布，但 X，Y 不一定相互独立，(B)不对；当 X，Y 相互
13、独立时才能推出 X+Y 服从一维正态分布，(D)不对，故选(C) 【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 B【试题解析】 Z=Y X N(1，1)，因为 XYN(一 1，1)，X+YN(1，1)，X一 2Y ，所以选 (B)【知识模块】 概率统计二、填空题11 【正确答案】 046587【试题解析】 P(X+2Y4) =P(Y=1)P(X42Y Y=1)+P(Y=2)P(X42Y Y=2) +P(Y=3)P(X42YY=3)【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 e -2+e-3 一 e-5【试题解析】 由 FX(x)=F(x，+)= ，得 XE(2)，同理 YE(3)，且 X，Y 独立
14、Pmax(X，Y)1=P(X 1 或 Y1)=1 P(X1，Y1)=1 一P(X1)P(Y1) =1 一 FX(1)FY(1)=1 一(1 一 e-2)(1 一 e-3)=e-2+e-3 一 e-5【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 【试题解析】 由 X，Y 在(0，2)上服从均匀分布得因为 X，Y 相互独立，所以 fz(z)=P(Zz)=1一 P(Zz)=1 一 Pmin(X，Y)Z=1P(X z ，Y z) =1 一P(Xz)P(Yz)=1 一1 一 P(Xz)1一 P(Yz) =1 一1 一 FX(z)1 一 FY(z) 于是P(0Z1)=F Z(1)一 FZ(0)= 【知识模块】
15、 概率统计14 【正确答案】 【试题解析】 F U(u)=P(Uu)=P(X+Yu)，当 u0 时，F U(u)=0； 当 0u1 时，FU(u)=P(Uu)=P(X+Yu)=P(X=0，Yu) =P(X=0)P(Yu)= 当1u2 时， FU(u)=P(X=0，Yu)+P(X=1，Yu 一 1)【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 【试题解析】 P(X 5Y3)=【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 【试题解析】 令X0=A，Y0=B ，则有 P(AB)= ，故 Pmax(X，Y)0)=1 一 Pmax(X，Y) 0)=1 一 P(X0，Y 0)=1 一【知识模块】 概率统计三、解答
16、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 设 A=从甲袋中取出黑球)，X 的可能取值为 0，1，2，3，令X=i=Bi(i=0，1，2，3)，则【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 (1)T 的概率分布函数为 F(t)=P(Tt)； 当 t0 时，F(t)=0； 当 t0时，F(t)=P(Tt)=1 一 P(Tt)=1 一 P(N=0)=1 一 e-t，【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 设三个元件正常工作的时间为 Ti(i=1，2，3)，T 1，T 2，T 3 相互独立且其分布函数都是 当 t0 时，令 A=T1t，B=T 2t，C=T3t，且 A，B，C 独立
17、 则 FT(t)=P(Tt)=P(A+B+C) P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一 P(AB)P(AC)一 P(BC)+P(ABC)， P(A)=P(B)=P(C)=1 一 e-t， F T(t)=3(1 一e-t)一 3(1 一 e-t)2+(1 一 e-t)3 于是 FT(t)=【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 (1)当 x一 1 时，F(x)=0；【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 F Y(y)=P(Yy)=P(exy) 当 y1 时，X0，F Y(y)=0； 当 y1 时，X0，F Y(y)=P(eXy)=P(Xl
18、ny)=-lnyfX(x)dx=0lnye-xdx，f Y(y)=【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以其分布函数为 FX(x)=Y 的分布函数为 FY(y)=P(Yy)=P(1 一 e-2Xy)，当 y0 时，F Y(y)=P(X0)=0；当 y1 时，F Y(y)=P(一X+)=1；所以 Y=1 一e 在区间(0，1)上服从均匀分布【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 由E 一 A= =( 一 1)( 一 2)(Y)=0得矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=Y若 Y1，2 时，矩阵 A 一定可以对角化；当 Y=1 时，A= ，=1
19、 为二重特征值，因为 r(EA)=2，所以 A 不可对角化；当 Y=2 时，A= ，=2 为二重特征值，因为 r(2EA)=1，所以 A 可对角化，故 A 可对角化的概率为 P(Y1，2)+P(Y 一 2)=P(Y=0)+P(Y=2)+P(Y=3)=【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 P(X+Y=0)=P(Y= 一 X)=P(X 1)=P(X1)+P(X一 1) =P(X1)=1 一 P(X1)=1 一 FX(1)=e- FY(y)=P(Yy)=P(Yy，X 1)+P(Yy，X 1) =P(Xy，X1)+P(一 Xy，X 1)+P(一 Xy，X 一 1) =P(Xy，0 X1)+P(X一
20、 y，X1) 当 y一 1 时，F Y(y)=P(X一 y)=ey； 当一1y0 时，F Y(y)=P(X1)=e -； 当 0y1 时，F Y(y)=P(Xy)+P(X1)=1 一 e-y+e-； 当 y1 时，F Y(y)=P(0X1)+P(X1)=1，故 FY(y)=【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 X= =X1X4 一 X2X3，令 U=X1X4，V=X 2X3，且 U，V 独立同分布 P(U=1)=P(X 1=1，X 4=1)=016，P(U=0)=084，X 的可能取值为一1，0，1 P(X= 一 1)=P(U=0，V=1)=P(U=0)P(V=1)=084016=0 13
21、44， P(X=1)=P(U=1，V=0)=P(U=1)P(V=0)=0 16084=01344， P(X=0)=1201344=07312，于是 X 【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 (1)由于 X，Y 相互独立，所以P(U=1，V=2)=P(U=1，V=3)=P(U=2，V=3)=0 所以(U，V)的联合分布律为【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 (1)f X(X)=-+f(x，y)dy 当 x0 时，f X(x)=0； 当 x0 时，f X(x)=-+f(x，y)dy= 0+2e-(x+2y)dy=e-x0+e-2yd(2y)=e-
22、x，则 fX(x)= fY(y)=-+f(x，y)dx，当 y0 时，f Y(y)=0；当 y0 时，f Y(y)=0+2e-(x+2y)dx=2e-2y0+e-xdx=2e-2y，则 fY(y)= (2)因为 f(x，y)=f X(x)fY(y)，所以随机变量X，Y 相互独立(3)F Z(z)=P(Zz)=P(X+2yz)= f(x，y)dxdy， 当 z0 时，F Z(z)=0； 当 z0 时，【知识模块】 概率统计30 【正确答案】 【知识模块】 概率统计31 【正确答案】 因为 XN(， 2)，YU ，所以 X，Y 的密度函数为【知识模块】 概率统计32 【正确答案】 【知识模块】 概率统计
