1、考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y 的相关系数等于( )（A）1（B） 0（C）（D）12 设随机变量 XN(0，1)，YN(1 ，4)且相关系数 XY=1，则( )（A）PY= 2X1=1（B） PY=2X1=1（C） PY=一 2X+1=1（D）PY=2X+1=13 将长度为 1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )（A）1（B）（C）（D）14 随机试验 E 有三种两两不相容的结果 A1，
2、A 2，A 3，且三种结果发生的概率均为。将试验 E 独立重复做 2 次，X 表示 2 次试验中结果 A1 发生的次数，Y 表示 2次试验中结果 A2 发生的次数，则 X 和 Y 的相关系数为( )5 设随机变量 xt(n)(n 1)，Y= ，则( )（A）Y 2(n)（B） Y 2(n 一 1)（C） YF(n，1)（D）YF(1，n)6 设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0，1) 的简单随机样本， 为样本均值，S 2为样本方差，则( )7 设随机变量 Xt(n) ，Y F(1，n)，给定 a(0a05)，常数 c 满足 PXc=a，则 PYc 2=( )（A）a（B） 1a（
3、C） 2a（D）12a8 设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(，1)的简单随机样本，记 ，则下列结论中不正确的是( )（A） (Xi)2 服从 2 分布（B） 2(XnX1)2 服从 2 分布（C） 服从 2 分布（D）n( )2 服从 2 分布二、填空题9 设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P|XE(X)|2_。10 设 X1，X 2，X m 为来自二项分布总体 B(n，p)的简单随机样本， 和 S2 分别为样本均值和样本方差。若 X+kS2 为 np2 的无偏估计量，则 k=_。11 设总体 X 的概率密度为 f(x；)= 其中 是未知参数，X1，X 2
4、，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，若 Xi2 是 2 的无偏估计，则c=_。12 已知一批零件的长度 X(单位：cm) 服从正态分布 N(，1)，从中随机地抽取 16个零件，得到长度的平均值为 40(cm)，则 的置信度为 095 的置信区间是_。(注：标准正态分布函数值 (1 96)=0975，(1645)=095。)13 设 X1，X 2，X n 为来自总体 N(， 2)的简单随机样本，样本均值 =95，参数 的置信度为 0 95 的双侧置信区间的置信上限为 108，则 的置信度为095 的双侧置信区间为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设总体 X 服从证
5、态分布 N(， 2)(0)，从该总体中抽取简单随机样本X1，X 2，X 2n(n2)，其样本均值为的数学期望 E(Y)。15 设总体 X 的概率密度为 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本。()求 的矩估计量 ；()求 的方差 D( )。16 设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为 其中 0为未知参数，又设 x1，x 2，x n 是 X 的一组样本观测值，求参数 的最大似然估计值。17 设总体 X 的概率分布为其中 (0 )是未知参数，利用总体 X 的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求 的矩阵估计值和最大似然函数估计值。18 设总体 X 的概率密度为 其中 0 是未知
6、参数。从总体 X 中抽取简单随机样本 X1，X 2，X n，记 = minX1，X 2，X n。() 求总体 X 的分布函数 F(x)；()求统计量 的分布函数 F(x)；()如果用 作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性。19 设总体 X 的分布函数为 其中未知参数1，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本。求： () 的矩估计量；() 的最大似然估计量。20 设总体 X 的概率密度为 其中 是未知参数(01) ，X 1，X 2， Xn 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值x1，x 2，x n 中小于 1 的个数，求 的最大似然估计。21 设总体 X 的概率密度为
7、其中参数(001) 未知。 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值。()求参数 的矩估计量 ；( )判断 是否为 2 的无偏估计量，并说明理由。22 设 X1，X 2，X n 是总体为 N(， 2)的简单随机样本。记()证明 T 是 2 的无偏估计量；() 当 =0，=1 时，求 D(T)。23 设总体 X 的概率密度为 其中参数 (0)未知，X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本。()求参数 的矩估计量；()求参数 的最大似然估计量。24 设总体 X 的概率分布为 其中(0，1) 未知，以 Ni 表示来自总体 X 的简单随机样本(样本容量为 n)中等
8、于 i 的个数(i=1，2，3)，试求常数 a1，a 2，a 3，使 T= aiNi 为 的无偏估计量，并求 T 的方差。25 设 X1，X 2，X n 为来自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本，其中 0 已知，20 未知， 和 S2 分别表示样本均值和样本方差。()求参数 2 的最大似然估计；( )计算26 设随机变量 X 与 Y 相互独立且分别服从正态分布 N(， 2)与 N(，2 2)，其中 是未知参数且 0，设 Z=XY，()求 Z 的概率密度 f(z； 2)；()设Z1，Z 2，Z n 为来自总体 Z 的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量 ；()证明 为 2 的无偏估计量。2
9、7 设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数且大于零，X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本。()求 的矩估计量；()求 的最大似然估计量。28 设总体 X 的分布函数为 其中 为未知参数且大于零，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本。()求 E(X)，E(X 2)；()求 的最大似然估计量 ；( )是否存在实数 a，使得对任意的 0，都有29 设总体 X 的概率密度为： 其中 为未知参数，x1，x 2，x n 为来自该总体的简单随机样本。()求 的矩估计量；()求 的最大似然估计量。30 设总体 X 的概率密度为 其中 (0，+)为未知参数 X1，X 2，X
10、 n 为来自总体 X 的简单随机样本，T=maxX 1，X 2，X n。()求 T 的概率密度；()确定 a，使得 aT 为 的无偏估计。31 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 n 次测量，该物体的质量 是已知的，设 n 次测量结果 X1，X 2，X n 相互独立且均服从正态分布 N(， 2)。该工程师记录的是 n 次测量的绝对误差 Zi=|Xi|(i=1，2，n)，利用 Z1，Z 2，Z n 估计 。 ()求 Zi 的概率密度； ()利用一阶矩求 的矩估计量； () 求 的最大似然估计量。32 设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考生的成绩，算得平
11、均成绩为 665 分，标准差为 15 分，问在显著性水平 005 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分？并给出检验过程。附表：t 分布表考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以 X+Y=n，从而 Y=nX。由方差的定义：D(X)=E(X 2)一E(X) 2，所以 D(Y)=D(nX)=E(nX)2 一E(nX)2=E(n22nX+X2)n 一 E(X)2=n2 2nE(X) +E(X2)一 n2+ 2nE(X) E(X)
12、2=E(X2)一E(X) 2=D(X)。由协方差的性质：Cov(X，c)=0(c 为常数)；Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)；Cov(X 1+X2，Y) = Cov(X 1，Y) + Cov(X2，Y) ，所以 Cov(X，Y) = Cov(X，nX) = Cov(X，n) Cov(X，X)=0 D(X)=D(X)，由相关系数的定义，得【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 用排除法。 设 Y=aX+b。由 XY=1，知 X、Y 正相关，得 a0。排除 A 和 C。 由 XN(0，1)，YN(1 ，4)，得 E(X)=0 ，E(Y)=1，E(aX+b)=aE(
13、X)+b， 即 1=a0+b，故 b=1。从而排除 B。故应选 D。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 设两段长度分别为 X，Y，显然 X+Y=1，即 y=X+1，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为1。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布律为则随机变量 X、Y 和 XY 的分布律分别为【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 由题设知，X= ，其中 UN(0，1)，V 2(n)，于是其中 U2 2(1)。根据 F 分布的定义知 Y=1/X2F(n，1)。故应选 C。【知
14、识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 因 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本，独立正态分布的线性组合也服从正态分布，故 将其标准化有：故 A 错； t(n 1)，故 C 错；而=(n1)S2 2(n1)，不能断定 B 是正确选项。又 X12 2(1)，Xi2 2(n1)，且 Xi2 与 Xi2 相互独立，于是 F(1，n1)。故应选 D。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 Xt(n) X2F(1，n)，由于 t 分布的概率密度关于 y 轴对称，故P(X一 c)=P(Xc) ，则 PYc 2=PX2c 2=PXc+
15、PX一 c=2PXc=2a。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 A 项，因为 Xi 一 N(0，1)，所以 (Xi)2 2(n) 。B 项，因为Xn X1N(0，2)，所以 C 项，因为样本方差 S2= ，且(n 1)S2 2(n1)，所以 2(n1)。D 项，因为 N(0， )，所以 一)N(0，1)，从而 n( )2 2 (1) 。综上所述，选 B。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 根据切比雪夫不等式有【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 1【试题解析】 二项分布 B(n，p)的期望和方差分别为 np，np(1
16、p)。若 +kS2 为np2 的无偏估计，则 E( +kS2)=np2，即 np+knp(1p)=np2，解得 k=1。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 若 Xi2 是 2 的无偏估计，则 E(Xi2)=2，其中【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 (3951，4049)【试题解析】 由题设知，置信度为 1=095，解得 =005，则 PXu/2一PXu0025 =10025=0975=(u /2)，即 u/2=1 96，代入到计算公式有，则 的置信度为 095 的置信区间为 (39 51，40 49)。【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】
17、 (82，108)【试题解析】 置信区间的中心 X=95，则置信下限为 952108=8 2，所以双侧置信区间为(82，108)。【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 因为样本方差 S2= 是总体方差的无偏估计，则 E(S2)=2，即由于 X1，X 2，X 2n(n2)相互独立同分布，则 Xi 与 也独立(i=1，2，n)。而由独立随机变量期望的性质(若随机变量 X，Y 独立，且E(X)，E(Y) 都存在，则 E(XY)= E(X)E(Y)，所以 E(XiXn+i) = E(Xi)E(Xn+i) =2，E(X i)=E(Xi)E =
18、2故有= (2 一 22+2)=0，即=(n1)2+(n1)2=2(n 1)2。令 Yi=Xi+Xn+i，则 Y1，Y 2，Y n 是来自总体N(2，2 2)的简单随机样本。则 Y= (Xi+Xn+i是 Y1，Y 2，Y n 的样本均值。由此可知S2= 是该样本的样本方差。由于样本方差的期望等于总体的方差，可知 =22，从而 E(Y)=2(n1)2。【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 ()E(X)= xf(x)dx=0样本均值 用样本均值估计期望有 E(X)= 解得 的矩估计量【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 似然函数为 L()=L(x1，x 2，x n；)=当
19、xi(i=1，2，n)时，L()0，所以 而 =2n0，所以 L()单调增加。要使得 L()值最大， 是越大越好。又由于 必须满足 xi0(i=1，2，n)，因此当 取 x1，x 2，x n 中的最小值时，x i0(i=1，2，n)恒成立，且此时L()取最大值，所以 的最大似然估计值为 =minx1，x 2，x n。【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 E(X)=0 2+120(1)+22+3(12)=3 4，故 = 3 一E(X)。 的矩估计量为 根据样本观察值可知(3+1+3+0+3+1+2+3)=2。因此可得 的矩估计值为 给定的样本值似然函数为 L()=46(1)2(12)
20、4，lnL()=ln4+6ln+ 2ln(1 )+41n(12)， 令 =0，得方程 122 14+3=0，解得1= 不合题意。于是 的最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 () () = P x=P minX1，X 2，X nx=1 PminX1，X 2，X nx=1 PX1x，X 2x，X nx=1 1F(x)n () 的概率密度为 所以 作为 的估计量不具有无偏性。【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 X 的概率密度为所以参数 的矩估计量为 是样本均值。 () 设 x1，x n 为X1，X n 的观测值，则似然函数xi1(i=1 ，2 ，n) ，取
21、对数可得 lnL()=nln(+1) 两边对 求导，得 令因此 的最大似然估计量为【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 记似然函数为 L()，则两边取对数得 InL()=Nln+(nN)ln(1)，令 为 的最大似然估计，即【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 ()E(x)= xf(x；)dx= 0x/2dx+1x/2(1)dx令 解方程得 的矩估计量为所以 不是 2 的无偏估计量。【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 () 首先 T 是统计量。其次对一切 ， 成立。因此 T 是 2 的无偏估计量。对一切 ， 成立。因此，T 是 2 的无偏估计量。()根据题
22、意，有 X 2(1)，(n1)S 2 2(n1)，于是=2， D(n 一 1)S2=2(n1)，所以【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 ()E(x)= +xf(x)dx=0+2x2exdx= ，解得 ，则 的矩估计量为 ()设 X1， X2，X n 的观测值为x1，x 2，x n(xi0，i=1，2，n)，则似然函数为 L(x1，x 2，x n；)=取对数可得 令解得 的最大似然估计值为 ，则 的最大似然估计量为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 由题知 N1，N 2，N 3 分别服从二项分布 B(n，1) ，B(n， 一 2)，B(n， 2)，则有 E(N1)=n
23、(1)，E(N 2)=n(2)，E(N 3)=n2，E(T)=E( aiNi)= aiE(Ni)=ain(1)+a2n(2)+a3n2=【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 () 似然函数 L(x1，x 2，x n； 2)令 =0 可得 2 的最大似然估计为(Xi0)2。( )由 XiN( 0， 2)，则【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 () 因为 XN(， 2)，YN( ， 22)，且 X 与 Y 相互独立，故Z=XY 服从正态分布，且 E(Z)=E(X Y)=E(X)E(Y)=0，D(Z)=D(X Y)=D(X)+D(Y)=2+22=32，故 Z=XYN(0 ，
24、3 2)，所以 Z 的概率密度为 f(z； 2)= (一z +)。()设 Z1，Z n 的观测值为 z1，z n，则似然函数解得 2 最大似然估计值为 最大似然估计量为 ()证明：由于从而可知 为 2 的无偏估计量。【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 ()E(X)= 0xf(x) dx=0 令 E(X)=，得到矩估计 ()对于总体 X 的样本观测值为x1，x 2，x n，其似然函数为 l()=f(x1；)f(x 2；)f(x n；)= 2n(x1，x 2，x n)3 L=lnl()=2nln3ln(x1x2xn)一得到 即最大似然估计量为【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确
25、答案】 () 总体 X 的概率密度函数为()似然函数为 当所有的观测值都大于零时，有 lnL()=nln2+ =0，得 的最大似然估计值为 从而 的最大似然估计量为 ()因为X1，X 2，X n 独立同分布，显然对应的 X12，X 22，X n2 也独立同分布，又由()可知 E(Xi2)=，即 Xi2 的数学期望存在。根据辛钦大数定律可得而 E(X2)=，所以存在常数 a=，使得对任意的 0，都有【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 ()E(X) = +xf (x；)dx =1x 解得 =2E(X) 1，令 ，则 的矩估计量为 ()设 x1，x n 为X1，X n 的观测值，构造似
26、然函数 L()= ，则 lnL ()=一nln(1)，故 0，故 L 是关于 的单调递增函数，要使得 L 最大， 应取可能的最大值，由于 xi，i=1，n，可知 的最大似然估计值为=minx1，x n，因此 =minX1，X 2，X n为 的最大似然估计量。【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 () 设 X 的分布函数为 F(x)。当 0x 时，F(x)= ，所以 则 T 的分布函数为 FT(x)=PTx=PX1x，X 2x，X 3x= PX1x=F(x)3，于是 T 的概率密度为 fT(x)=3F(x)2f(x)= () E(aT)=aE(T)=a +xfT(x)dx=a09x9
27、/9dx=9a/10，令 E(aT)=，则 a=10/9。【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 () 因为 XiN( ， 2)，所以 Yi=Xi 一 N(0 ， 2)，则随机变量Yi 的概率密度为 设 Zi 的分布函数为 FZi(z)，则当 z0 时，FZi(z)=0；当 z0 时，F Zi(z)=PZiz=P|Yi|z=PzYiz= 所以Zi 的概率密度为()设 Z1，Z 2，Z n 的观测值为 z1，z 2，z n，则似然函数为L(z1，z 2，z n；)= 取对数得令 故 的最大似然估计量为【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 设该次考试的考生成绩为 X，则 XN
28、(， 2)，设 X 为从总体 X抽取的样本容量为 n 的样本均值，S 为样本标准差，则在显著性水平 =005 下建立检验假设：H 0：= 0=70，H 1：70，由于 2 未知，故用 t 检验。选取检验统计量 在 =0=70 时，X N(70， 2)，Tt(35)。选择拒绝域为 R=|T|，其中 满足：P|T|)=005，即 P|T|A=0975 ，=t 0975 (35)=20301。由 n=36， =66 5， 0=70，s=15，可算得统计量 T 的值 所以接受假设 H0：=70，即在显著性水平为 005 时，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分。【知识模块】 概率论与数理统计
