1、考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则（A）PXY0（B） PX Y1（C） PX Y0（D）PxY12 设 X1 和 X2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f1()和 f2()，分布函数分别为 F1()和 F2()，则（A）f 1() f2()必为某一随机变量的概率密度（B） f1().f2()必为某一随机变量的概率密度（C） F1()F 2()必为某一随机变量的分布函数（D）F 1().
2、F2()必为某一随机变量的分布函数3 设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，对给定的 (0，1) ，数 ua 满足 PXu aa，若 P Xa，则 等于（A）（B）（C）（D）u 1-a4 设二维随机变量(X，Y)的慨率分布为已知随机事件X0与XY1 相互独立，则（A）a0 2，b03（B） a04，b01（C） a03，b02（D）a0 1，b045 设随机变量 X 服从正态分布 N(1， 12)，Y 服从正态分布 N(2， 22)，且 PX 11PY 21 则必有（A） 1 2（B） 1 2（C） 1 2（D） 1 26 设随机变量 X，Y 独立同分布，且 X 的分布函数为 F()，
3、则 ZmaxX，Y)的分布函数为（A）F 2()（B） F()F(y)（C） 11F() 2（D）1 F()1 F(y)7 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N(0，1)，Y 的概率分布为 PY0PY1 记 FZ(z)为随机变量 ZXY 的分布函数，则函数 FZ(z)的间断点个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）38 设随机变量 X 的分布函数 F() ，则 PX1（A）0（B）（C） e -1（D）1e -19 设 f1()为标准正态分布的概率密度，f 2()为 1，3上均匀分布的概率密度，若f() ，(a0，b0)为概率密度，则 a，b 应满足（A）2a3b 4
4、（B） 3a2b4（C） ab1（D）ab 2二、填空题10 设随机变量 X 服从均值为 10，均方差为 002 的正态分布已知 () du(25)0 9938，则 X 落在区间(995，1005)内的概率为_11 设随机变量 在区间(1，6)上服从均匀分布，则方程 10 有实根的概率是_12 已知随机变量 X 的概率密度函数 f() e ， ，则 X 的概率分布函数 F() _13 设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 YX 2 在(0，4)内的概率分布密度 fY(y)_14 互独立的两个随机变量 X 与 Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为 ，则随机变量 ZmaxX，Y
5、的分布律为_15 设 X 和 Y 为两个随机变量，且 PX0，Y0 ，PX0PY0 ，则Pmax(X，Y)0_16 设平面区域 D 由曲线 y 及直线 y0，1，e 2 所围成，二维随机变量(X， Y)在区域 D 上服从均匀分布，则 (X，Y)关于 X 的边缘概率密度在 2 处的值为_17 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y) 联合分布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设随机变量 X，Y 相互独立，其概率密度函数分别为求随机变量Z2X Y 的概率密度函数19 设随
6、机变量 X 的概率密度函数为 fx() ，求随机变量 Y1 的概率密度函数 fY(y)20 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 求随机变量 ZX2Y 的分布函数21 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 服从正态分布 N(， 2)，Y 服从，上均匀分布，试求 ZXY 的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数 表示，其中 ()22 设随机变量 X 的概率密度为 求随机变量 Ye X 的概率密度 fY(y)23 设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 (0) 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p(0p1)_且中途下车与否相互独立，以 Y 表示在中途下车的人数，求(1)在发车时有 n 个乘
7、客的条件下，中途有 m 人下车的概率；(2)二维随机变量 (X，Y)的概率分布24 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 求：( )(X，Y)的边缘概率密度 fx()，f Y(y)； ()Z 2XY 的概率密度 fZ(z)25 设随机变量 X 的概率密度为 令 YX 2，F(，y)为二维随机变量(X，Y) 的分布函数求 ()Y 的概率密度 fY(y)； ()F( ，4)考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题意可知 XYN(1，2)，故 N(0 ，1) 其中XYN(1 ，2
8、) 的理由： EX0，Ey1，DXDY1 F(XY)EXEY 011，D(XY)DXDY1 12 故得之 P(XY1) P(0)(0) 故 B 成立【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 由已知， f1()d f2()d1，故 f1()f 2()d f1()d f2()d21， 所以不选 A，若设 f1()f 2()则 f 1().f2() 这时 f1()f2()d1 即 f1()f2()d 有可能非 1，故不选 B 又由分布函数的性质和 F1()F 2() 1，故 F1()F 2()2，故不选 C 若令 g()F 2().F2()，由 F1() F 2() 0、F 1
9、()F 2() 1，可得 g() 0，g( )1；又由 F1()和 F2()均非降，可得 g()非降(设 1 2，由 0F1(1)F2(2)，0F2(1)F2(2)，可得 g(1)g(2)；再由 F1()和 F2()有连续(本题由于 X1 和 X2 为连续型随机变量，所以 F1()和 F2()是连续的)，可见 g()也是右连续的(本题中g()是连续的) 故证得 g()F 1().F2()是分布函数，故选 D【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 设 ()P(X)为服从标准正态分布的 X 的分布函数，有结果： ()()1， (，) (1) 又由 P( X)P(X )()(
10、 )(显然 0) 由(1)、(2)式得 2( )1， 得 ()1() 1P(X)P(X) 与题目中 P(Xu )比较，注意 ()为严格单调增函数() 0， R1)，这时 P(X)P(X )，故 ，选 C【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 由题意知 04ab011，ab 05而 P(X0)04a，P(X Y1)P(X0，Y1)P(X1，Y 0)ab0 5，P(X0，X Y1)P(X0，Y1)aP(X0，XY1) P(X 0)P(XY1)a (04a)05，得 a04，从而 b01，故选 B【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 这里 () (标
11、准正态分布的分布函数) 同理 PY 212( )1 由已知得 所以 由分布函数的非降性得： 故 1 2【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 Z 的分布函数 FZ()PZPmax(X，Y)PX，YPXPYF 2()，故选 A【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析】 F Z(z)P(Zz)P(XYz) PXYzY 0PY0)PXYzY1PY1 P0zY0 PXzY1 而 P0zY 0P0z PXzY1PXz 故 FZ(z)在 z0 和 z0 上，F Z(z)显然连续；在z0 上，可见 FZ(z)只有 1 个间断点 (z0 处， )，故选 B【知识模块
12、】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 P(X 1)F(1) F(10)(1e -1) e -1，故选 C【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 由题意知： f 1() ， f 2故：1 f()da 0f1()db 0 f2()d 所以 2a3b4，故选 A【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题10 【正确答案】 09876【试题解析】 由如题意，XN(10，002 2)， N(0，1) P998X 1005 (2 5)( 25)2(2 5) 1209938109876【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 的密度为： 而方程 2
13、10 的判别式 24 故该方程有实根的概率为 P(0)P( 24)P(2) 2 【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 F() f(t)dt et dt 当 0 时，F()当 0 时，F()【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 y 2 的反函数有两枝：h 1(y) fX (0，y0) h 2(y)(0，y0) 而 X 的密度为 且 h 1(y)单调减，h 2(y)单调增故 Y 的密度为 f Y(y)f X(h1(y) h1(y)f X(h2(y)h 2(y)故填 【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 由已知知，Z 可能
14、取的值为 0、1 两个 而 PZ0Pmax(X ，Y)0PX 0，Y0PX0).PY 0 PZ11PZ01【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 Pmax(X ， Y)0P(X0) (Y0)PX0PY0PX0，Y0 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 D 的面积(见图 45)S D 2 由题意，(X，Y) 的密度为 则关于 X 的边缘密度 fX() f(，y)dy 当 1 或 e2 时，f X()0， 当 1e 2 时，f X() dy， 故 fX(2)【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 P(Yy 1)P(X 1，
15、Yy 1)P(X 2，Yy 1) 即得 P(X 1，Y y1)P(Y y 1)P(X 2，Yy 1) 又P(X 2)P(Yy 1)P(X 2，Yy 1) (X 与 Y 独立) P(X 2)P(X 1)1P(X 2)1 又P(X 1)P(Yy 2)P(X 1，Yy 2) P(Yy 2)P(Yy 3)1P(Yy 1)P(Y y 2)1P(X 2，Yy 2)P(Y y 2)P(X 1，Yy 2) P(x 2，Yy 3)P(X 3)P(Yy 3) P(X 1，Y y 3)P(X 1)P(Yy 3)【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 由已知
16、，(X，Y)的联合密度为 f(，y)f ()fY(y)而 Z 的分布函数为 F Z(z)P(Zz)P(2XYz) (，y)ddy 当 0 即 z0 时，F Z(z)0 (图 43(a) 当 0 1 即 02时， F Z(z) e-yddy 0ze-ydy d (z0ze-ydy 0zye-ydy) (图 43(b) 当 1即 z2 时， FZ(z) e-yddy 01d0z-2e-ydy 011e 2-zd (e21)e -z (图43(c) 则 Z 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 y1 的反函数 h(y) (1y) 3 单凋 故 fY(y)f X(h(y)h(y
17、)f X(1y 3).3(1y) 2.(1) yR1【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 Z 的分布函数为(见图 44) F()PZzPX2Yz f(，y)ddy z0 时，F()0 z0 时，F(z) (2e-2y2e -z)dy1e -zze -z 故F(z)【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 由题意，Y 的概率密度为 X 的概率密度为：f x() ， 由卷积公式，知 Z 的概率密度为 f Z(z) fX(zy)f Ydy 作积分变量代换：t(指 y 与 t 之间的变换)得其中 (t)(tR1)是标准正态分布的概率密度【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案
18、】 Y 的分布函数 FY(y)P(Yy)P(e Xy) 当 y0 时，F Y(y)0，f Y(y)F Y(y)0 当 y0 时，F Y(y)P(Xlny) lnyfX()d fY(y)F Y(y) 故，综上知【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 由贝努里概型知 (1)所求概率为 P(YmXn)C nmPm(1p) n-m (m0，1，n) (2)P(Xn，Ym) P(Ym X n)P(Xn) C nmPm(1p) n-m.，m0，1，n；n0，1，2，【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 ()f X() f(，y)dy 当 0 或 1 时，f()0； 当 0 1 时，f
19、 X() 02dy2 ，故 fY(y) f(，y)d 当 y0 或 y2 时，fY(y)0； 当 0y2 时，f Y(y) ，故 f Y(y)(积分的讨沦和定限可参考图(a) ()Z 的分布函数为： FZ(z) PZzP2XYz f(，y)(，y)ddy 当 1 即 z2 时，F Z(z)1，f Z(z)F Z(z)0(参见图(b) ： 当 0 即 z 0 时，F Z(z)0，f Z(z)F Z(z)0(参见图 (c)； 当 0 1 即 0z2 时， F Z(z)fZ(z)F Z(z)1 (参见图(d)故【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 ()Y 的分布函数为： FY(y)P(Yy) P(X 2y) y0，F y(y)0，f Y(y)F Y(y)0 y0 时，F y(y)P X 若 1 即 0y1 时，则 fY(y)F Y(y) 若 1 2即 1y4 时， 则 yYF Y(y)若 2 即 y4 时，F Y(y) 1，f Y(y)F Y(y)0，故()F( ，4)P(X ，X 24)P(X ，X2)P(X ，2X2) 【知识模块】 概率论与数理统计
