1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 75 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 一种零件的加工由相互独立的两道工序组成，第一道工序的废品率为 p1，第二道工序的废品率为 p2，则该零件加工的成品率为 ( )（A）1p 1p 2（B） 1p 1p2（C） 1p 1p 2+p1p2（D）(1 p 1)+(1p 2)2 现有 10 张奖券，其中 18 张为 2 元的，2 张为 5 元的今从中任取 3 张，则奖金的数学期望为( )（A）6（B） 78（C） 9（D）1123 设 x1，x 2，x n 是来自总体 XN(， 2)(， 2 都未知)的简单随机样本
2、的观察值，则 2 的最大似然估计值为 ( )4 以下结论，错误的是 ( )（A）若 0P(B)1，P(AB)+ =1，则 A，B 相互独立（B）若 A，B 满足 P(B A)=1，则 P(AB)=0（C）设 A，B ，C 是三个事件，则 (AB) B=AB（D）若当事件 A，B 同时发生时，事件 C 必发生，则 P(C)P(A)+P(B)15 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XN(0，1)，Y B(n，p)(0P1)，则 X+Y的分布函数( )（A）为连续函数（B）恰有 n+1 个间断点（C）恰有 1 个间断点（D）有无穷多个间断点6 设总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(0， 2)，
3、已知 X1，X 2，X n 与Y1，Y 2，Y n 是分别来自总体 X 与 Y 的两个相互独立的简单随机样本，统计量服从 t(n)分布，则 =( )7 设总体 XN(， 2)，来自 X 的一个样本为 X1， X2，X 2n 记当 已知时，基于 T构造估计 2 的置信水平为 1 的置信区间为( )二、填空题8 设二维随机变量(X，Y)在区域 上服从均匀分布，则(X，Y) 关于 X 的边缘概率密度 fX(z)在点 x=e 处的值为_9 设相互独立的两个随机变量 X，Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为则随机变量 Z=max(X，Y)的分布律为_10 设 X 服从参数为 的指数分布，对 X 作三次
4、独立重复观察，至少有一次观测值大于 2 的概率为 ，则 =_11 若 X1，X 2，X 3 两两不相关，且 DXi=1(i=1，2，3)，则 D(X1+X2+X3)=_12 设总体 X 的概率密度为 其中 0 为未知参数，又设 x1，x 2，x n 是 X 的一组样本值，则参数 的最大似然估计值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的某彩民每周买一次彩票，坚持十年(每年 52 周)，那么他从未中奖的可能性是多少?13 设电子管寿命 X 的概率密度为 若一台收音机上装有三个这种电子管，求：14 使用的最初
5、 150 小时内，至少有两个电子管被烧坏的概率；15 在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数 Y 的分布律；16 Y 的分布函数17 设 X 关于 Y 的条件概率密度为 而 Y 的概率密度为18 用切比雪夫不等式确定，掷一均质硬币时，需掷多少次，才能保证“正面” 出现的频率在 04 至 06 之间的概率不小于 0919 设 X1，X 2，X n 为总体 X 的一个样本，设 EX=，DX= 2，试确定常数C，使 CS 2 为 2 的无偏估计20 设随机变量(X，Y) 的概率密度为 求随机变量 Z=XY 的概率密度 fZ(z)21 设(X，Y)的概率密度为 求的数学期望21 ABC 边 AB
6、上的高 CD 长度为 h向ABC 中随机投掷一点 P，求22 点 P 到边 AB 的距离 X 的概率密度；23 X 的期望与方差24 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求：(1)方差 D(XY)；(2)协方差 Cov(3X+Y，X2Y)25 设总体 X 服从参数为 N 和 p 的二项分布，X 1，X 1，X n 为取自 X 的样本，试求参数 N 和 p 的矩估计26 经测定某批矿砂的 5 个样品中镍含量为 X()：325，327，324，326，324，设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为 325(=001)?27 假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为 R(未知常数)现在按
7、还原抽样方式随意抽取的 n 件中发现 k 件不合格品试求 R 的最大似然估计值28 设随机变量 X，Y 相互独立，且 PX=0)=PX=1)= ，PYx)=x，0x1求Z=XY 的分布函数28 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，已知方差 DX=1，而随机变量 y 的概率密度为f(y)，且 X 与 Y 的相关系数为 记 Z=X+Y29 求 EZ，DZ；30 用切比雪夫不等式估计 PZ2 31 (1)设连续型随机变量 X 的 r 阶绝对矩 E(X r)，r0 存在，证明对任何0，有 (2)设 X1， X2，X n 为来自正态总体XN(， 2)的一个简单随机样本已知 an0，且是 2 的一致估
8、计考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 75 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 设 A=成品零件，A i=第 i 道工序为成品，i=1，2依题意有 P(A1)=1p 1，P(A 2)=1 p2， 则 P(A)=P(A 1A2)=P(A1)P(A2)=(1p 1)(1p 2)=1 p1p 2+p1p2， 故选 C【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 记奖金为 X，则 X 全部可能取值为 6，9，12，并且因此本题选 B【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 在 未知时， 2
9、 的最大似然估计值为 因此本题选B【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 对于 A，即 P(B)P(B)P(B)=P(AB)+P(B)P(A)P(B)P(B)P(B)，则 P(AB)=P(A)P(B)，故A 正确对于 B，P(BA)= =1=P(AB)=P(A)=P(A)P(AB)=0=P(A B)=0，故 B 正确对于 C，(AB)B= = AB，C 正确对于 D，AB C=P(C)P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)1，D 错误，故选 D【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 记 Z=X+Y，则 Z 的分布函数是 n+
10、1 个连续函数之和，所以为连续函数因此本题选 A【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 应用 t 分布的典型模式由于U 与 V 相互独立，由 t 分布的典型模式有【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 因相互独立，则【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 区域 D 如图 31 阴影部分所示，它的面积 所以(X，Y) 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 PZ=0=PX=0 ，Y=0=PX=0PY=0)= PZ=1=1 PZ=0= 故 Z 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计1
11、0 【正确答案】 【试题解析】 因 记 A=X2，y= 对 X 作三次独立重复观察 A 发生的次数，则 YB(3，p)，p=PX2= 2+ex dx=ee2 ，由题意有【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 3【试题解析】 因为 X1，X 1，X 3 两两不相关，所以 Cov(Xi，X j)=0(ij)，于是 D(X1+X2+X3)=D(X1+X2)+X3=D(X1+X2)+DX3+2Cov(X1+X2，X 3) =DX1+DX2+DX3+2Cov(X1，X 2)+2Cov(X1，X 3)+2Cov(X2，X 3) =DX1+DX2+DX3=3【知识模块】 概率论与数理统计12 【正
12、确答案】 【试题解析】 似然函数为【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 令 Ai=第 i 次中奖(i=1，2，520)， p=P在一次购买彩票中中奖)又事件 A1，A 1，A 520 相互独立，且 p=105 所以 P连续购买十年从未中奖 =(1p) 520=(110 5 )52009948【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 设 y 为在使用的最初 1 50 小时内烧坏的电子管数，则YB(3，p) ，其中 所求概率为 PY2=PY=2+PY=3【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案
13、】 Y 的分布律为 k=0，1，2，3，即【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 Y 的分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 (X，Y) 的概率密度为如图 33 所示，则【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 设需掷 n 次，正面出现的次数为 Yn，则 依题意应有所以 n250【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 由【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 由于 X，y 不是相互独立的，所以记 V=Y 时，(X ，V)的概率密度不易计算此时应先计算 Z 的分布函数，再计算概率密度 fZ(z) 记 Z 的分布函数为 FZ(z)，则 F
14、Z(z)=PZz=PXYz)= 其中Dz=(x，y)xyz(直线 xy=z 的上方部分)，由 Dz 与D=(x，y) 0x1，0yx)(如图 310 中带阴影的OSC)的相对位置可得：当 z0 时， Dx 与 D 不相交，所以 当 0z1 时，D zD=四边形 OABC，=0zdx0x3xdy+z1dxxz x3xdy=0zx2dx+z13xzdx 当 z1 时，D zD=OSC， 由此得到【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 设 X 的分布函数为 F(x)，则当 x0 时，有 F(x)=0；当 xh
15、时，有 F(x)=1；当 0xh 时，为了求概率 PXx)，作 EFAB，使 EF 与 AB 间的距离为 x(如图 315)， 利用几何方法，可得综上可得由此得 X 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 由上一小题知 X 与 X2 的数学期望分别为从而得 X 的方差【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 (1)因 D(XY)=E(X 2Y2)E(XY) 2，其中(2)Cov(3X+y，X 一 2y)一 3DlX 一 5Cov(X，Y)一 2Dy(2)Cov(3X+Y，X 2Y)=3DX5Cov(X，Y)2DY=3DX5E(XY)+5EXEY2DY又(X，Y)
16、关于X 的边缘概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 由所以 N 和 p 的矩估计为【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 问题是在 2 未知的条件下检验假设 H0：=325H 0 的拒绝域为tt 2 (4)由因为 t=034446041=t 0005 (4)，所以接受 H0，即可以认为这批矿砂的镍含量为 325【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 设 a 是这批产品中不合格品的件数，b 是合格品的件数从而a=Rb，不合格品率为 设 X 是“随意抽取的一件产品中不合格品的件数”，则 X 服从参数为 p 的 01 分布 对于来自总体 X 的简单随机样本
17、X1，X 2，X n，记 vn=X1+X2+Xn，则似然函数和似然方程为lnL(R)=vlnRnln(1+R)令 由条件知 vn=X1+X2+Xn=k，于是似然方程的唯一解 即是 R 的最大似然估计值【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 由 FZ(z)=PZz，得： 当 z0 时， FZ(z)=0； 当 z1 时，F Z(z)=1； 当 0z1 时， F Z(z)=PZz =PX=0PZzX=0+PX=1PZzX=1【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 EZ=E(X+Y)=EX+EY= +xf(x)dx+ +yf(y)dy +xf(x)dx
18、+ +(u)f(u)(du)= +xf(x)dx +uf(u)du=0， DZ=D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X，Y)=DX+DY+ 又 DY=E(Y 2)(EY) 2，其中 EY=EX，E(Y 2)= +y2(y)dy= +(u) 2F(u)(du)= +u2f(u)du=E(x2)，所以 DY=E(X2)(EX) 2=E(X2)(EX) 2=DX=1，故【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 由切比雪夫不等式得 PZ2=PZEZ2【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 (1)设连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则有(2)=E(n1)(n+1)a n22(n 1)a n+14=(nan1) 2+an(2a n)4又由于对任意 0，由(1)不等式即 为 2 的一致估计【知识模块】 概率论与数理统计
