1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设线性无关的函数 y1，y 2，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，c1，c 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（A）c 1y1+c2y2+y3（B） c1y1+c2y2 一(c 1+c2)y3（C） c1y1+c2y2 一(1 一 c1c2)y3（D）c 1y1+c2y2+(1 一 c1 一 c2)y32 若连续函数 f(x)满足关系式 ，则 f(x)等于（A）e xln2（B） e2xln2（C） ex+ln2（D）e 2x
2、+ln23 设曲线积分 与路径无关，其中 f(x)具有一阶连续导数，且 f(0)=0，则 f(x)等于4 已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 ，且当x0 时， 是 x 的高阶无穷小，y(0)=，则 y(1)等于（A）2（B） （C）（D）5 在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是（A）y+y“-4y 一 4y=0（B） y+y“+4y+4y=0（C） y一 y“一 4y+4y=0（D）y一 y“+4y一 4y=06 设 是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+ay+by=cex 的一个特解，则（A）a= 一 3，
3、b=2，c=一 1（B） a=3，b=2，c=一 1（C） a=一 3，b=2，c=1（D）a=3 ，b=2，c=1二、填空题7 微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为 y=_8 y“一 4y=e2x 的通解为 y=_9 微分方程 xy“+3y=0 的通解为 _10 设 y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C 2 为任意常数) 为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_11 微分方程 yy“+y2=0 满足初始条件 的特解是_12 欧拉方程 的通解为_13 微分方程 xy+2y=xlnx 满足 的解为_14 二阶常系数非齐次线性微分方程 y“一 4y+3y=2e2x 的
4、通解为 y=_15 微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y=_16 若二阶常系数线性齐次微分方程 y“+ay+by=0 的通解为 y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程 y“+ay+by=x 满足条件 y(0)=2，y(0)=0 的解为 y=_17 微分方程 y+y=e-xcosx 满足条件 y(0)=0 的解为 y=_18 若函数 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)一 2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2ex，则 f(x)=_19 已知 y1=e3x 一 xe2x，y 2=ex 一 xe2x，y 3=一 xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，
5、则该方程的通解为 y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 求微分方程 y+6y“+(9+a2)y=1 的通解(一般解) ，其中常数 a021 设函数 y=f(x)满足微分方程 y“一 3y+2y=2ex，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线 y=x2 一 x+1 在该点的切线重合，求函数 y=y(x)22 设 ，其中 f 为连续函数，求 f(x)23 求微分方程 y“+4y+4y=e-2x 的通解(一般解)24 在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x，y) 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 长度的倒数(Q 是法线与 x 轴的交点) ，且曲线在点(1，1)处
6、的切线与 x 轴平行25 求微分方程 y“+2y一 3y=e-3x 的通解26 求微分方程 x2y+xy=y2 满足初始条件 y x=1=1 的特解27 设物体 A 从点(0，1) 出发，以速度大小为常数 v 沿 y 轴正向运动，物体 B 从点(一 1， 0)与 A 同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A试建立物体 B 的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件28 设 f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f(0)=1，且xy(x+y)一 f(x)ydx+f(x)+x2ydy=0 为一全微分方程，求 f(x)及此全微分方程的通解29 设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L
7、上任一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点记为 A已知 ，且 L 过点 ，求 L 的方程30 微分方程 y“一 2y+2y=ex 的通解为_31 设对任意 x0，曲线 y=f(x)上点(x，f(x)处的切线在 y 轴上的截距等于，求 f(x)的一般表达式32 设函数 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(exsiny)满足方程 ，求f(u)33 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的设该人群总数为 N，在 t=0 时刻已掌握新技术的人数为 x0，在任一时刻 t 已掌握新技术的人数为x(t)(将 x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比
8、，比例系数 k0，求 x(t)34 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度 v 之间的函数关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=f(v)35 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1，过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，
9、x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1 一 S2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程36 设对于半空间 x0 内任意的光滑有向封闭曲面 S，都有其中函数 f(x)在(0，+)内具有连续一阶导数，且 求 f(x)37 (1)验证函数 (一x+)满足微分方程 y“+y+y=ex(2)利用(1)的结果求幂级数 的和函数38 设函数 y=y(x)在( 一，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y) 是 y=y(x)的反函数(1)试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)= 的解39
10、某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下 现有一质量为 9 000 kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700 kmh 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=6010 6 )问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?40 微分方程 的通解是_41 求微分方程 y“一 3y+2y=2xex 的通解42 已知曲线 ，其中函数 f(t)具有连续导数，且 f(0)=0，f(t)0(0t )若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为 1，求函数 f(t)的表达式，并求以曲线 L 及 x 轴和 y
11、轴为边界的区域的面积43 微分方程 xy+y(1nxlny)=0 满足条件 y(1)=e3 的解为 y=_44 设函数 f(x)在定义域 I 上的导数大于零若对任意的 x0I，曲线 y=f(x)在点(x0，f(x 0)处的切线与直线 x=x0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且 f(0)=2，求 f(x)的表达式考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于(D) 中的 y=C1y1+C2y2+(1 一 C1C2)y3=C1(y1y3)+C2(y2 一 y3)+y3 其中 y1 一
12、 y3 和 y2 一 y3 是对应的齐次方程的两个解，且 y1 一 y3 与 y2 一 y3 线性无关事实上，若令 A(y 1 一 y3)+B(y2y3)=0 即 Ay 1+By2 一(A+B)y 3=0 由于y1，y 2，y 3 线性无关，则 A=0，B=0，一(A+B)=0 因此 y1y3 与 y2 一 y3 线性无关，故 y=C 1y1+C2y2+(1 一 C1C2)y3 是原方程通解。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 等式 两边求导得 f(x)=2f(x)解此方程得 f(x)=Ce2x 由原方程可知 f(0)=ln2，代入 f(x)=Ce2x 得 C=In2故 f
13、(x)=e 2xln2【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 由原题设知所求方程的特征方程的根为 1=1， 2，3 =2i 则其特征方程为 ( 一 1)(2+4)=0，故所求方程应为 y一 y“+4y一 4y=0 故应选(D)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 A【试题解析】 由 是方程 y“+ay+by=cex 的一个特解可知， y1=e2x，y 2=ex 是齐次方程的两个线性无关的解，y *=xex 是非齐次方程的一个解1和 2 是齐次方程的特征方程的两个根，
14、特征方程为 (1)( 一 2)=0 即 p23+2=0则 a=-3，b=2 将 y=xex 代入方程 y“一 3y+2y=cex 得 c=一 1故应选(A) 【知识模块】 高等数学二、填空题7 【正确答案】 (x+c)cosx【试题解析】 由线性方程通解公式得【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 特征方程为 2 一 4=0，则 1=一 2， 2=2，从而齐次方程的解为【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 令 y=p，则 y“=p代入原方程得 解得 因此【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 y“一 2y+2y=0【试题解析】 所求方程的特征根为 1，2 =1i
15、 则其特征方程为 2 一 2+2=0 故所求方程为 y“一 2y+2y=0【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 y 2=x+1 或【试题解析】 令 y=P，则 ，代入原方程得【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 令 x=et 代入原方程所得新方程的特征方程为 ( 一 1)+4+2=0 解得1=一 1， 2=一 2 则新方程通解为 y=C1e-t+C2e-2t，将 x=et 代入得原方程通解为【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 方程 xy+2y=xlnx 是一阶线性方程，方程两端同除以 x 得：，则通解为【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 y=C
16、1ex+C2e3x 一 2e2x【试题解析】 齐次方程特征方程为 2 一 4+3=0 解得 1=1， 2=3，则齐次方程通解为 y=C 1ex+C2e3x 设非齐方程特解为 ，代入原方程得 A=一 2，则原方程通解为 y=C1ex+C2e3x 一 2e2x【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 方程 xy+y=0 是一个变量可分离方程，原方程可改写为【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 y=一 xex+x+2【试题解析】 由于 y=(C1+C2z)ex 是方程 y“+ay+by=0 的通解，则该方程的两个特征根为 1=2=1，故 a=一 2，b=1 设非齐次方程 y“一 2
17、y+y=x 的特解为 y *=Ax+B 代入方程得 A=1，B=2 ，则其通解为 y=(C1+C2x)ex+x+2 由 y(0)=2，y(0)=0 得，C1=0， C2=一 1 所以 y=一 xex+x+2【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 e -xsinx【试题解析】 由一阶线性方程的通解公式得由 y(0)=0 知， C=0，则 y=e-xsinx【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 e x【试题解析】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 C 1ex+C2e3xxe2x【试题解析】 由题设知 y 1y3=e3x，y 2 一 y3=ex 为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方
18、程的通解为 y=C1ex+C2e3xxe2x【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 该方程对应的齐次方程的特征方程为 3+62+(9+a2)=0 其根为1=0， 2，3 =一 3ai 则齐次方程通解为 由 =0 为特征方程的单根，则可设非齐次方程特解为 y*=Ax 代入原方程得 故原方程通解为【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 本题所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为 2 一 3+2=( 一1)( 一 2)=0 其根为 1=1， 2=2 则齐次通解为 由于 =1 为特征方程的单根，则非齐次方程特解可设为 y*=Axex 代人原方程得
19、A=一 2 则原方程通解为 y=C 1ex+C2e2x 一 2xex 由原题设曲线 y=C1ex+C2e2x 一 2xex 与曲线 y=x2-x+1 在点(0，1)处有公切线可知， y(0)=1，y(0)=(2x 一 1) x=0=-1 由 y(0)=1 得 1=C 1+C2 由y(0)=一 1 得 一 1=一 2+C1+2C2 以上两式联立解得 ，则所求的解为 y=一2xex+ex=ex(12x)【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 原方程可写为【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 因为 a=一 2 是特征方程的二重根，故原方程特解可设为 y *=Ax2e-2x 代入原方程得 ，故原
20、方程通解为 其中C1，C 2 为任意常数【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 曲线 y=y(x)在 P(x，y)处的法线方程为【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 特征方程为 2+2 一 3=0，其根为 1=1， 2=一 3，则对应的齐次方程的通解为【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 设在 t 时刻，B 位于点(x，y)处(见图 210)，则【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 由于xy(x+y)一 f(x)ydx+f(x)+x2ydy=0 是全微分方程，则即 x 2+2xy 一 f(x)=f“(x)+2xy f“(x)+f(x)=x
21、2 这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程，可求得其通解为 f(x)=C1cosx+C2sinx+x2 一 2 由 f(0)=1 及 f(0)=1，可求得 C1=2，C 2=1，从而得 f(x)=2cosx+sinx+x2 一 2 于是原方程为 xy2 一(2cosx+sinx)y+2ydx+(一2sinx+COSX+2x+x2y)dy=0 其通解是【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 设 M 点的坐标为(x，y)，则切线 MA 的方程为 YY=y(Xx)令X=0，则 Y=yxy，点 A 的坐标为(0，yxy)由【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 y=e x(C1cosx+C2sinx
22、+1)【试题解析】 特征方程为 2 一 2+2=0，解得 1，2 =1i，则齐次方程通解为 y=ex(C1cosx+C2sinx) 易观察出 y=ex 是非齐次方程的一个特解则原方程通解为 y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线方程为 Y 一 f(x)=f(x)(Xx)令X=0，得截距为 Y=f(x)一 xf(x)由题意知【知识模块】 高等数学32 【正确答案】 令 u=exsiny，则【知识模块】 高等数学33 【正确答案】 由题设可知【知识模块】 高等数学34 【正确答案】 取沉放点为原点 o，oy
23、 轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得【知识模块】 高等数学35 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Y y=y(x)(Xx)【知识模块】 高等数学36 【正确答案】 由题设和高斯公式可得其中 是 S 围成的有界闭区域由 S的任意性知 xf(x)+f(x)-xf(x)-e 2x=0(x0)即这是一个一阶线性方程，由通解公式知【知识模块】 高等数学37 【正确答案】 (1)因为 所以 y”+y+y=ex(2)与 y“+y+y=ex 相应的齐次方程为 y“+y+y=0 其特征方程为 2+1=0【知识模块】 高等数学38 【正确答案】 由反函数导数公式知 上式两端对 y
24、求导得【知识模块】 高等数学39 【正确答案】 由题设，飞机的质量 m=9 000 kg，着陆时的水平速度 v0=700 kmh从飞机接触跑道开始计时，设 t 时刻飞机的滑行距离为 x(t)，速度为v(t)根据牛顿第二定律，得所以，飞机滑行的最长距离为 105km。【知识模块】 高等数学40 【正确答案】 y=Cxe -x【试题解析】 【知识模块】 高等数学41 【正确答案】 对应齐次方程 y“一 3y+2y=0 的两个特征根为 r1=1，r 2=2，其通解为 Y=C 1ex+C2e2x 设原方程的特解形式为 y*=x(ax+b)ex则 y *=(ax2+(2a+b)x+b)ex y*“=(ax2+(4a+b)x+2a+2b)ex 代入原方程解得 a= 一 1，b=一 2 故所求通解为 y=C1ex+C2e2x 一 x(x+2)ex【知识模块】 高等数学42 【正确答案】 曲线 L 的切线斜率 切线方程为令 y=0，得切线与 x 轴交点的横坐标为【知识模块】 高等数学43 【正确答案】 xe 2x+1【知识模块】 高等数学44 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线方程为 yf(x 0)=f(x0)(xx0)令 y=0 得， 切线 yf(x0)=f(x0)(xx0)，直线 x=x0 及 x 轴所围区域的面积【知识模块】 高等数学
