1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (14 年 )下列曲线中有渐近线的是（A）y=x+sinx（B） y=x2+sinx（C）（D）2 (14 年 )设函数 f(x)具有 2 阶导数，g(x)=f(0)(1 一 x)+f(1)x，则在区间0 ，1上（A）当 f(x)0 时，f(x)g(x)（B）当 f(x)0 时，f(x)g(x)（C）当 f“(x)0 时，f(x)g(x)（D）当 f“(x)0 时，f(x)g(x)3 (15 年 )设函数 f(x)在( 一，+)内连续，其 2 阶导函数 f“(x)的图形如
2、右图所示，则曲线 y=f(x)的拐点个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）34 (16 年 )已知函数 f(x)= ，n=1，2，则（A）x=0 是 f(x)的第一类间断点（B） x=0 是 f(x)的第二类间断点（C） f(x)在 x=0 处连续但不可导（D）f(x)在 x=0 处可导5 (87 年 )求正的常数 a 与 b，使等式6 (87 年 )设 f(x)为已知连续函数， I= f(x)dx，其中 s0，t 0则 I 的值（A）依赖于 s 和 t（B）依赖于 s，t，x（C）依赖于 t 和 x，不依赖于 5（D）依赖于 s，不依赖于 t7 (90 年 )设 f(x)是连续函数，且 F
3、(x)= ，则 F(x)等于（A）一 e-xf(e-x)一 f(x)（B）一 e-xf(e-x)+f(x)（C） e-xf(e-x)一 f(x)（D）e -xf(e-x)+f(x)8 (93 年 )设 f(x)=0sinxsint2dt，g(x)=x 3+x4，则当 x0 时，f(x) 是 g(x)的（A）等价无穷小（B）同阶但非等价的无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小9 (93 年 )双纽线 (x2+y2)2=x2 一 y2 所围成的区域面积可用定积分表示为10 (94 年) 设 M=则有（A）NPM （B） MPN（C） NM P （D）PM N11 (96 年) 设 f(x)有连续导
4、数， f(0)=0，f(0)0 ，F(x)= 0x(x2 一 t2)f(t)dt，且当 x0 时，F(x)与 xk 是同阶无穷小，则 k 等于（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题12 (14 年) 设 f(x)是周期为 4 的可导奇函数，且 f(x)=2(x1)，x0，2，则 f(7)=_13 (16 年) 设函数 f(x)=arctanx 一 且 f“(0)=1，则 a=_14 (87 年) 由曲线 y=lnx 与两直线 y=(e+1)一 x 及 y=0 所围成的平面图形的面积是_15 (88 年) 设 f(x)是连续函数，且 f(t)dt=x，则 f(7)=_16 (89 年)
5、设 f(x)是连续函数，且 f(x)=x+201f(t)dt，则 f(x)=_17 (93 年) 函数 F(x)= 的单调减少区间为_18 (95 年)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 (13 年) 设奇函数 f(x)在 一 1，1上具有 2 阶导数，且 f(1)=1证明：(I)存在 (0， 1)，使得 f()=1；()存在 (一 1，1)，使得 f“()+f()=120 (14 年) 设函数 y=f(x)由方程 y3+xy2+x2y+6=0 确定，求 f(x)的极值21 (15 年) (I)设函数 u(x)，v(x)可导，利用导数定义证明u(x)v(x)=u(x)v(x
6、)+u(x)v(x)； () 设函数 u1(x)，u 2(x)，u n(x)可导，f(x)=u 1(x)u2(x)un(x)，写出 f(x)的求导公式22 (88 年) 设函数 f(x)在区间 a，b上连续，且在(a ，b)内有 f(x)0证明：在(a， b)内存在唯一的 ，使曲线 y=f(x)与两直线 y=f()，x=a 所围平面图形面积 S1 是曲线 y=f(x)与两直线 y=f()，x=b 所围平面图形面积 S2 的 3 倍23 (89 年) 证明方程 lnx= 在区间(0，+)内有且仅有两个不同实根24 (90 年) 求25 (91 年) 设函数 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可
7、导，且 =f(0)证明在(0，1)内存在一点 c，使 f(c)=026 (92 年) 设 f(x)= ，求 13f(x 一 2)dx27 (93 年) 求28 (94 年)29 (94 年)30 (96 年) 求心形线 r=a(1+cos)的全长，其中 a0 是常数考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 由于 g(0)=f(0)，g(1)=f(1) ，则直线 y=f(0)(1 一 x)+f(1)x 过点(x，f(0)和(1， f
8、(1)，当 f“(x)0时，曲线 y=f(x)在区间0 ，1上是凹的，曲线 y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0)和(1 ，f(1) 的弦 y=f(0)(1 一 x)+f(1)x 的下方，即f(x)g(x)故(D)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 由右图知 f“(x1)=f“(x2)=0，f“(0) 不存在，其余点上二阶导数 f“(x) 存在且非零，则曲线 y=f(x)最多三个拐点，但在 x=x1 两侧的二阶导数不变号因此不是拐点而在 x=0 和 x=x2 两侧的二阶导数变号，则曲线 y=f(x)有两个拐点，故(C)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析
9、】 f -(0)=1，由夹逼原理知即 f+(0)=1故 f(x)在 x=0 处可导，(D)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 洛必达法则知 由于上式右端分子极限为零，而原式极限为 1，则 b=1从而有则 a=4【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试题解析】 由此可见，I 的值只与 s 有关，所以(D)【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 A【试题解析】 由 F(x)= 可知 F(x)=一 e-xf(e-x)一f(x)故(A) 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 B【试题解析】 所以，当 x0 时，f(x)与 g(x)是同阶但非等价的无穷小【知识模块】 高等数学9 【正确答案】
10、 A【试题解析】 设双纽线在第一象限围成的面积为 S1，则所求面积为 所以(A)【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 D【试题解析】 由被积函数的奇偶性可知 M=0因此 PM N ，故(D) 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 C【试题解析】 F(x)=x 20xf(t)dt0xt2f(t)dtF(x)=2xf(t)dt+x2f(x)一 x2f(x)=2x0xf(t)dt由于 =f(0)0，而上式右端极限存在且为非零常数，则 k=3，所以(C)【知识模块】 高等数学二、填空题12 【正确答案】 1【试题解析】 由 f(x)=2(x 一 1)，x0，2知，f(x)=(x 一 1)2+C
11、又 f(x)为奇函数，则 f(0)=0，C=一 1f(x)=(x 一 1)2 一 1 由于 f(x)以 4 为周期，则 f(7)=f8+(一 1)=f(一 1)=一 f(1)=1【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 令 lnx=0，得 x=1；令 e+1 一 x=0，得 x=e+1；令 lnx=e+1 一 x，得x=e则所求面积为 S=1elnxdx+ee+1(e+1-xdx=【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 等式 f(t)dt=x 两边对 x 求导，得 3x2f(x3 一 1)=1令 x=2，得【
12、知识模块】 高等数学16 【正确答案】 x 一 1【试题解析】 令 01f(t)dt=a，则 f(x)=x+2a将 f(x)=x+2a 代入 01f(t)dt=a，得01(t+2a)dt=a， 即 则 f(x)=x 一 1【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【试题解析】 则 F(x)单调减少区间为【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 所以【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 (I)因为 f(x)是区间一 1，1上的奇函数，所以 f(0)=0因为函数f(x)在区间0，1上可导，根据微分中值定理，存在 (0，1)，使得
13、f(1)-f(0)=f()又因为 f(1)=1，所以 f()=1()因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)是偶函数，故 f(一)=f()=1令 F(x)=f(x)一 1ex，则 F(x)可导，且 F(-)=F()=0根据罗尔定理，存在 (一 ，) (一 1，1)，使得 F()=0由 F()=f【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 方程 y3+xy2+x2y+6=0 两端对 x 求导得 3y2y+y2+2xyy+2xy+x2y=0 (1) 在(1)式中令 y=0，得 y2+2xy=0，由此可得，y=0，y=一 2x，显然 y=0 不满足原方程，将 y=一 2x 代入原方程 y3+xy2+x2
14、y+6=0，得一 6x3【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 (I)令 f(x)=u(x)v(x)，由导数定义得=u(x)v(x)+u(x)v(x)()若 f(x)=u1(x)u2(x)un(x)，则 f(x)=u1(x)u2(x)un(x)+u1(x)u2(x)un(x)+u1(x)u2(x)u【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 令 F(x)=axf(x)一 f(t)dt-3xbf(t)一 f(x)dt 其中 xa，b ，显然F(x)在a，b上连续又由 f(x)0 知 f(a)f(x)f(b) x(a，b) 于是 F(a)=一 3abf(t)一 f(a)dt0 F(b)=abf(b
15、)一 f(t)dt0 由连续函数的介值【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 则令 F(x)=0，得 x0=e当 0xe 时，F(x)0，F(x) 严格单调减小；当 ex +时，F(x)0，F(x)严格单调增加，因此，F(x) 在区间(0，e)和(e， +)内分别至多有一个零点由闭区间上连续函数的零点定理知，F(x)在(e -3，e)和(e，e 4)内分别至少有一个零点综上所述，方程在(0，+)内有且仅有两个不同的实根【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由积分中值定理可知，存在 ，使又 f(x)dx=f(0)，即 f()=f(0)显然 f(x)在0，上满足罗尔中值定理的条件，从而可知，存在 c(0，)，使 f(c)=0原题得证【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 由对称性可知，所求心形线全长为【知识模块】 高等数学
