1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x1 时，函数 的极限（A）等于 2（B）等于 0（C）为 （D）不存在但不为2 设 =2，其中 a2+c20，则必有（A）b=4d（B） b=一 4d （C） a=4c （D）a= 一 4c3 设a n，b n，c n均为非负数列，且 ，则必有（A）a nb n 对任意 n 成立（B） bnc n 对任意 n 成立（C）（D）4 当 x0 +时，与 等价的无穷小量是5 设函数 f(x)在(一，+)内单调有界，x n为数列，下列命题正确的是（A）若x n收敛，则f(x
2、n)收敛（B）若 xn)单调，则 f(xn)收敛（C）若 f(xn)收敛，则x n收敛（D）若f(x n)单调，则x n收敛6 当 x0 时，f(x)=xsinax 与 g(x)=x2ln(1 一 bx)是等价无穷小，则（A）a=1 ，b=（B） a=1，b=（C） a=一 1，b=（D）a= 一 1，b=7 极限 =（A）1（B） e （C） ea-b（D）e b-a8 已知极限 ，其中 k，c 为常数，且 c0，则（A）k=2，c=（B） k=2，c=（C） k=3，c=（D）k=3，c=二、填空题9 设函数 f(x)= ，则 ff(x)=_10 设 a 是非零常数，则 =_11 已知当
3、x0 时， 与 cosx 一 1 是等价无穷小，则常数a=_12 =_13 设 =8，则 a=_14 =_15 求16 =_.17 =_。18 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 f(x)= ，f(x)=1 一 x 且 (x)0，求 (x)及其定义域20 求21 求极限22 设 x1=10， ，试证数列x n)极限存在，并求此极限22 设数列x n满足 0x 1 ，x n+1=sinxn(n=1，2，)23 证明 存在，并求该极限；24 计算25 求极限26 证明：对任意的正整数 n，都有 成立27 设 an= ，证明数列a n收敛28 求极限29 求极限30 设函
4、数 f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx 3若 f(x)与 g(x)在 x0 时是等价无穷小，求 a，b， k 的值考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 由于 即极限 不存在故应选(D)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 直接法由于则应选(B) 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x)在( 一，+)
5、上单调有界，若 xn单调，则f(x n)是单调有界数列，故f(x n)收敛，事实上 (A)(C)(D)都是错误的，若令 ，显然，即x n收敛，令 ，显然 f(x)在(一，+)上单调有界，但f(x n)不收敛由于 f(xn)= ，所以不存在，故(A) 不正确若令 xn=n，f(x)=arctanx显然f(x n)收敛且单调，但 xn=n 不收敛，故(c)和(D)不正确.【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 A【试题解析】 由于当 x0 时，f(x)=xsinax 与 y(x)=x2ln(1 一 bx)是等价无穷小，则 故应选(A)【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【试题解析】 由于 由
6、原式=e a-b【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 由 f(x)= 知，对一切的 x 有f(x)1，则 ff(x)=1【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 e 2a【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 由于 x0 时 则【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 e 6 【试题解析】 由于 =6，则 =e6 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 ln2【试题解析】 由于 又由 e 3a=8 知 a=ln2【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 32【试题解析】 【知识模
7、块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 2【试题解析】 当 x0 时，In(1+x)x，1 一 cos 则【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 由 f(x)= 知，f(x)= =1 一 x，又 (x)0，则 (x)=，x0【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 先用数学归纳法证明数列x n单调减由 x1=10，
8、知 x1x 2即 n=1 时，有 xnx n+1设 n=k 时，不等式xnx n+1 成立由 xk+1= 可知，n=k+l 时 xnx n+1 也成立，因而对一切的自然数 xnx n+1 总成立又 x n0 (n=1，2，)即x n下有界，由单调有界准则可知原数列有极限，设 ，等式 xn+1= 两边取极限得 a=，即 a=3，一 2(与题设不符，舍去)故 =3【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 用归纳法证明x n单调下降且有下界由 0x 1 ，得0x 2=sinx1 x1；设 0x n，则 0x n+1=sinxnx n；所以x n单调下降且有下界，故 存在记 得 a=sina，所以 a=0，即【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 因为又由(I)，所以【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 根据拉格朗日中值定理，存在 (n，n+1)，使得所以【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 当 n1 时，由(I)知所以数列a n单调下降且有下界，故 an收敛【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
