1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则2 设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有（A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点3 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得（A）f(x)在(0，)内单调增加（B） f(x)在(一 ，0)内单调减少（C）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) （D）对任意的 x(一 ，0)有 f(x)f
2、(0)4 设函数 f(x)= ，则 f(x)在(一 ，+)内（A）处处可导 （B）恰有一个不可导点（C）恰有两个不可导点（D）至少有三个不可导点5 设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x 在 x0 处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分，若x0，则（A）0dyy（B） 0 ydy（C） ydy0（D）dyy06 设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是（A）若 存在，则 f(0)=0（B） 存在，则 f(0)=0（C）若 存在，则 f(0)存在（D）若 存在，则 f(0)存在7 曲线 y= +In(1+ex)
3、渐近线的条数为（A）0（B） 1（C） 2（D）38 设函数 f(x)在(0，+)上具有二阶导数，且 f“(x)0，令 un=f(n)(n=1，2，) ，则下列结论正确的是（A）若 u1u 2，则u n必收敛（B）若 u1u 2，则u n必发散（C）若 u1u 2，则u n必收敛（D）若 u1u 2，则u n必发散9 设函数 f(x)=ln(2+t)dt，则 f(x)的零点个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）310 曲线 y=(x 一 1)(x 一 2)2(x 一 3)3(x 一 4)4 的拐点是（A）(1 ，0)（B） (2，0) （C） (3，0) （D）(4 ，0)11 曲线 渐近线
4、的条数为（A）1（B） 2（C） 3（D）412 设函数 f(x)=(ex 一 1)(e2x 一 2)(enx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f(0)=（A）(一 1)n-1(n1)!（B） (一 1)n(n 一 1)!（C） (一 1)n-1n! （D）(一 1)nn! 13 下列曲线中有渐近线的是（A）y=x+sinx （B） y=x2+sinx（C） y=x+sin（D）y=x 2+sin14 设函数 f(x)具有 2 阶导数，g(x)=f(0)(1 一 x)+f(1)x，则在区间0，1上（A）当 f(x)0 时，f(x)g(x) （B）当 f(x)0 时，f(x)g(x)（C）当
5、f(x)0 时，f(x)g(x) （D）当 f“(x)0 时，f(x)g(x) 15 设函数 f(x)在(一，+)内连续，其 2 阶导函数 f“(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）3二、填空题16 已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2 一 1=0 确定，则 y“(0)=_17 曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为_18 曲线 y= 的斜渐近线方程为_19 曲线 sin(xy)+ln(y-x)=x 在点(0，1) 处的切线方程是_20 设 ，则 =_21 设函数 y=f(x)由方程 yx=ex(1-y)确定，则
6、=_22 设 (t 为参数)，则 =_23 设 f(x)是周期为 4 的可导奇函数，且 f(x)=2(x-1)，x0，2，则 f(7)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 设函数 f(x)在 x=0 某邻域内有一阶连续导数，且 f(0)0，f(0)0 ，若 af(h)+bf(2h)一 f(0)在 h0 时是比 h 高阶的无穷小，试确定 a、b 的值25 设 eabe 2，证明 In 2bln2a (b 一 a)25 已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明：26 存在 (0，1)，使得 f()=1 一 ；27 存在两个不同的
7、点 ， (0，1)，使得 f()f()=128 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续，在(a ，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在 (a，b)，使得 f“()=g“()29 证明拉格朗日中值定理。若函数 f(x)在a ，b上连续，在(a，b)内可导，则存在(a， b)，使得 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)30 证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0，)( 0)内可导，且 limf(x)=A，则f+(0)存在，且 f+(0)=A31 求函数 f(x)= 的单调区间与极值32 求方程 karctanxx=0 不同实根
8、的个数，其中 k 为参数33 证明： 33 设奇函数 f(x)在一 1， 1上具有 2 阶导数，且 f(1)=1证明：34 存在 (0，1)，使得 f()=1；35 存在 (一 1，1)，使得 f“()+f()=136 设函数 y=f(x)由方程 y3+xy2+x2y+6=0 确定，求 f(x)的极值37 设函数 u(x)，u(x) 可导，利用导数定义证明 u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)；38 设函数 u1(x)，u 2(x)， ，u n(x)可导，f(x)=u 1(x)u2(x)un(x)，写出 f(x)的求导公式考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 4 答案与解析一
9、、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 直接法：由拉格朗日中值定理知又 f(x)有界，则 f(2x)一 f(x)有界，从而【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 如图，从导函数图形知，f(x)只在 x=x1，x=x 2，x=x 3 处导数为零，而在 x=0 处导数不存在则 f(x)只可能在这四个点取得极值而 f(x)在 x=x1 和 x=0 两点的两侧导数都是由正变负，则 f(x)在这两点处取极大值；而 f(x)在 x=x2 和 x=x3两点的两侧导数都是由负变正，则 f(x)在这两点处取极小值故应选(C)【知识模块】 高等
10、数学3 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(0)= ，由极限的保号性知，存在 0，当 x(一 ， 0)或 x(0，)时， ，而当(0，)时 x0，则此时 f(x)一 f(0)0，即 f(x)f(0)，故应选 (C)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 A【试题解析】 直接法：dy=f(x 0)x， y=f(x0+x)一 f(x0)=f()x，x 0x 0+x 由于 f“(x)0，则 f(x)单调增，从而有 f(x0)f()，故 dyy 由于 f(x)0，x0，则 0dy y，故应选(A)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试
11、题解析】 由 存在及 f(x)在 x=0 处的连续性知，f(0)=0 ，从而有=f(0)，所以，命题(A)和(C) 是正确的； 由存在，且 知， +f(一 x)=2f(0)=0，则 f(0)=0，所以，命题(B) 也是正确的 事实上，命题(D)是错误的例如，令 f(x)=x，显然，但 f(x)=x在 x=0 处不可导，即f(0)不存在故应选(D) 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 D【试题解析】 直接法：由拉格朗日中值定理知 u2 一 u1=f(2)-f(1)=f(c) (1c 2)而 u2u 1，则 f(c)0，由于 f“(x)0
12、，则 f(x)单调增，从而有 f(2)f(c) 0，由泰勒公式得，【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=ln(2+x 2).2x显然 f(x)只有一个零点 x=0，故应选(B)【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 C【试题解析】 由于曲线方程 y=(x 一 1)(x 一 2)2(x 一 3)3(x 一 4)4 中含有(x 一 3)的 3次因子(x 一 3)3，则 y“(3)=0，y(3)0 由拐点的充分条件知点(3，0)为该曲线的拐点，故应选(C) 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 C【试题解析】 由于 ，则该曲线有水平渐近线 y=1，又，则 x=1 为
13、该曲线的一条垂直渐近线故应选(C)【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 A【试题解析】 记 g(x)=(e2x 一 2)(e3x 一 3)(enx 一 n)，则 f(x)=(e x 一 1)g(x) f(x)=exg(x)+(ex 一 1)g(x) 则 f(0)=g(0)=( 一 1)(一 2)(一(n 一 1)=(一 1)n-1(n 一 1)! 故应选(A)【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 C【试题解析】 由于所以曲线有斜渐近线 y=x，故应选(C)【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 D【试题解析】 由于 g(0)=f(0)，g(1)=f(1) ，则直线 y=f(0)(1
14、一 x)+f(1)x 过点(0，f(0)和(1， f(1)，当 f“(x)0 时，曲线 y=f(x)在区间0 ，1上是凹的，曲线 y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0)和(1 ，f(1) 的弦 y=f(0)(1 一 x)+f(1)x 的下方，即f(x)g(x)故应选(D) 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 C【试题解析】 由下图知 f“(x1)=f“(x2)=0，f“(0) 不存在，其余点上二阶导数 f“(x)存在且非零，则曲线 y=f(x)最多三个拐点但在 x=x1 两侧的二阶导数不变号，因此不是拐点而在 x=0 和 x=x2 两侧的二阶导数变号，则曲线 y=f(x)有两个拐点，
15、故应选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题16 【正确答案】 一 2【试题解析】 由方程 ey+6xy+x2 一 1=0 可知，当 x=0 时，y=0 方程 ey+6xy+x2 一1=0 两边对 x 求导得 e yy+6y+6xy+2x=0 (*) 在上式中令 x=0，得 y(0)=0 (*)式两边再对 x 求导得 e yy“+ey(y)2+6y+6y+6xy“+2=0 令 x=0，则 y“(0)+2=0 y“(0)=一 2【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 y=x 一 1【试题解析】 直线 x+y=1 的斜率为一 1，所求切线斜率应为 1，而 ，令，得 x=1，则所求切线为 y=x1
16、【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 y=x+1【试题解析】 由 sin(xy)+ln(yx)=x 知 在上式中令x=0，y=1，得 y=1则该曲线在点 (0，1)处的切线方程是 y=x+1【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 1【试题解析】 由 yx=ex(1-y)知，x=0 时，y=1 y一 1=ex(1-y)(1 一 y)一 xy则 y(0)=1，【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 1【试题解析】 由 f(x)=2(x
17、一 1)，x0，2知，f(x)=(x 一 1)2+C又 f(x)为奇函数，则 f(0)=0，C=一 1，f(x)=(x 一 1)2 一 1 由于 f(x)以 4 为周期，则 f(7)=f8+(一 1)=f(一 1)=一 f(1)=1【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 由题设条件知由于 f(0)0，则 a+b 一 1=0 由洛必达法则知又 f(0)0，则 a+2b=0，于是 a=2，b=一 1【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 设 ，则所以当 xe 时，“(x)0，故 (x)单调减少，从而当 exe 2 时， 即当 exe 2 时，(
18、x)单调增加 因此当 ea be 2 时， (b)(a)，即 故【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 令 g(x)=f(x)+x 一 1，则 g(x)在0，1上连续，且g(0)=一 1 0，g(1)=1 0所以存在 (0，1)，使得g()=f()+ 一 1=0即 f()=1 一 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 根据拉格朗日中值定理，存在 (0，)， (，1)，使得【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 令 (x)=f(x)一 g(x)，以下分两种情况讨论： 1)若 f(x)和 g(x)在(a， b)内的同一点处 c(a，b)取到其最大值，则 (c)=f(c
19、)一 g(c)=0，又 (a)=(b)=0，由罗尔定理知 1(a，c) ，使 (1)=0； 2(c，b)，使 (2)=0 对 (x)在1， 2上用罗尔定理得， (1， 2)，使 “()=0 2)若 f(x)和 g(x)在(a，b)内不在同一点处取到其最大值，不妨设 f(x)和 g(x)分别在 x1 和 x2(x1x 2)取到其在(a ，b)内的最大值，则 (x 1)=f(x1)一 g(x1)0，(x 2)=f(x2)一 g(x2)0 由连续函数的介值定理知， c(x1， x2)，使 (c)=0以下证明与 1)相同【试题解析】 若令 (x)=f(x)-g(x)，本题需证存在 (a，b) ，使 “
20、()=0，而 (a)=f(a)一 g(a)=0，(b)=f(b)一 g(b)=0，若能证明存在 c(a，b) ，使 (c)=0，此时，(a)=(c)=(b)，由罗尔定理可证明存在 (a，b) ，使 “()=0【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 取 由题意知 F(x)在a ，b上连续，在(x ，b)内可导，且【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 对于任意的 t(0，)，函数 f(x)在0，t上连续，在(0，t)内可导，由右导数定义及拉格朗日中值定理【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 f(x)的定义域为( 一，+)，由于所以 f(x)的驻点为 x=0，1 列表讨论如下：因此，f(x
21、)的单调增加区间为( 一 1，0)及(1，+)，单调减少区间为(一，一 1)及(0，1)；极小值为 f(1)=0，极大值为 f(0)= 【知识模块】 高等数学32 【正确答案】 令 f(x)=karctanx 一 x，则 f(x)是(一，+)上的奇函数，且当 k 一 10 即 k1 时，f(x)0(x0)，f(x)在(一，+)内单调减少，方程 f(x)=0 只有一个实根 x=0 当 k 一 10 即 k1 时，在内，f(x)0，f(x)单调增加；在 内，f(x)0，f(x)单调减少，所以 是 f(x)在(0 ，+)内的最大值 由于 f(0)=0，所以0 又因为 所以存在 ，使得 f()=0 由
22、 f(x)是奇函数及其单调性可知：当 k1 时，方程 f(x)=0 有且仅有三个不同实根 x=一 ，x=0，x=【知识模块】 高等数学33 【正确答案】 令 f(x)= ，一 1x1显然 f(x)为偶函数，因此，只要证明 f(x)0 x0，1)由于又 则从而有 f(x)0 x (0，1)又 f(0)=0 则 f(x)0 x0，1)故原不等式成立【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学34 【正确答案】 因为 f(x)是区间 一 1，1上的奇函数，所以 f(0)=0因为函数 f(x)在区间0，1上可导，根据微分中值定理，存在 (0，1)，使得f(1)一 f(0)=f()又因为 f(1)=1，
23、所以 f()=1【知识模块】 高等数学35 【正确答案】 因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)是偶函数，故 f(一 )=f()=1令F(x)=f(x)一 1ex，则 F(x)可导，且 F(-)=F()=0根据罗尔定理，存在 (一 ，)(一 1，1) ，使得 F()=0由 F()=f“()+f()一 1e且 e0，得 f“()+f()=1【知识模块】 高等数学36 【正确答案】 方程 y3+xy2+x2y+6=0 两端对 x 求导得 3y2y+y2+2xyy+2xy+x2y=0 (1)在(1)式中令 y=0，得 y2+2xy=0，由此可得，y=0，y= 一 2x，显然 y=0 不满足原方程，将
24、 y=一 2x 代入原方程 y3+xy2+x2y+6=0，得一 6x3+6=0，解得 x0=1，f(1)=一2，f(1)=0 对(1) 式两端再对 x 求导得 6yy2+3y2y“+4yy+2xy2+2xyy“+2y+4xy+x2y“=0 将 x=1，f(1)=一 2，f(1)=0 代入上式得 则函数 y=f(x)在 x=1 处取得极小值，且 f(1)=一 2【知识模块】 高等数学37 【正确答案】 令 f(x)=u(x)v(x)，由导数定义得【知识模块】 高等数学38 【正确答案】 若 f(x)=u1(x)u2(x)un(x)，则 f(x)=u 1(x)u2(x)un(x)+u1(x)u2(x)un(x)+u1(x)u2(x)un(x)【知识模块】 高等数学
