1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 109 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 渐近线的条数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）32 设 f(x)= 则( )（A）f(x)在点 x=1 处连续，在点 x=-1 处间断（B） f(x)在点 x=1 处间断，在点 x=-1 处连续（C） f(x)在点 x=1，x=-1 处都连续（D）f(x)在点 x=1，x=-1 处都间断3 设 ，其中 a，A 都是常数，则( )（A）f(x)在点 x=0 处不一定连续（B） f(x)在点 x=0 处连续，但不可导（C） f(x)在点 x=0 处可导，但 f(x)在
2、点 x=0 处不连续（D）f(x)的导函数在点 x=0 处连续4 设 f(x)具有二阶连续导数，且 f(1)=0， ，则( )（A）f(1)是 f(x)的极大值（B） f(1)是 f(x)的极小值（C） (1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点（D）A、B、C 均不正确5 设 I= ，则 I，J ，K 的大小关系为( )（A）IJK（B） IKJ（C） JIK（D）KJI6 设 F(x)与 G(x)均是 f(x)(0)的原函数，则 aF(x)+6G(x)是 f(x)的原函数的条件是( )（A）a+b=1（B） a-b=1（C） a+b=0（D）a-b=07 直线 L： 与平面：4x-2y-2z
3、-3=0 的关系是( )（A）平行，但直线不在平面上（B）直线在平面上（C）垂直相交（D）相交但不垂直8 设 f(x，y)与 f(x，y) 均为可微函数，且 y(x，y)0已知点(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是( )（A）若 fx(x0，y 0)=0，则 f(x0，y 0)=0（B）若 fx(x0，y 0)=0，则 f(x0，y 0)0（C）若 fx(x0，y 0)0，则 f(x0，y 0)=0（D）若 fx(x0，y 0)0，则 f(x0，y 0)09 设 D=(x， y)x+y1，x0，y0 ，则二重积分 等于( )10 设 L
4、： ( )（A）与 L 的取向无关，与 a，b 的大小有关（B）与 L 的取向无关，与 a，b 的大小无关（C）与 L 的取向有关，与 a，b 的大小有关（D）与 L 的取向有关，与 a，b 的大小无关11 设有两个数列a n，b n，若 ，则( )12 设 y=y(x)是微分方程 满足初始条件 y(1)=0 的特解，则 =( )二、填空题13 =_.14 =_.15 设 f(x)=(x-a)(x)，其中 (x)在点 x=a 处连续，则 f(a)_16 设函数 y=y(x)在 x 处的增量 ，则 y(1)=_17 =_18 设 f(x)= =_.19 曲线 y=x2-2x 和直线 y=0，x=
5、1，x=3 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为_，绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为_20 设 f(x，y)= ，则 fx(0，1)=_21 z=x2(1-siny)+y2(1-sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为_22 设空间区域 是由曲线 绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平面 z=2 所围成的立体，则 (x2+y2)dv=_23 设函数 u(x，y，z)在由球面 ：x 2+y2+z2=2z 所包围的闭区域 上具有二阶连续偏导数，且满足 =x2+y2+z2，n是 的外法线方向上的单位向量，则 =_24 级数 的和为_25 设 y1=6， y2=6+x，y=6+x+e
6、 x 都是微分方程(x 2-x)y-(x2-2)y+(2x-2)y=ex 的解则该微分方程的通解为_考研数学一（高等数学）模拟试卷 109 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 ，所以 x=-1 是曲线的铅直渐近线因为所以 y=x+2 是曲线的斜渐近线【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 所以不存在，即 f(x)在点 x=-1 处间断因为 是有界变量，所以 f(x)在点 x=1 处连续【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 (反例排除法) 取 f(x)= 满足因为所以 f(x)在点 x=0
7、 处连续因为所以 f(x)在点 x=0 处可导，且 f(0)=0，排除 B当 x0时，f(x)=2xsin不存在，即 f(x)在点 x=0 处不连续，排除 D取 g(x)= 类似地，得到 g(x)在点 x=0 处连续、可导且 g(0)=0当 x0时，说明 g(x)在点 x=0 处连续，排除 C故应选 A【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 由极限的局部保号性及 知，在点 x=1 处的某去心邻域内 ，从而 f(x)0，此时 f(x)单调减少，列表 1：由极值的第一充分条件，x=1 是 f(x)的极大值点，从而 f(1)是 f(x)的极大值【知识模块】 高等数学5 【正确答案】
8、B【试题解析】 比较定积分 I，J，K 的大小，就是比较这三个定积分的被积函数在区间 上的大小因为 lnu是增函数，所以 lnsinx lncosxlncotx，由定积分的性质，有即 IK J【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 A【试题解析】 因为 F(x)与 G(x)均是 f(x)的原函数，所以F(x)=f(x)， G(x)=f(x)要使 aF(x)+bG(x)是 f(x)的原函数，则必须aF(x)+bG(x)=aF(x)+bG(x)=(a+b)f(x)=f(x)，所以 a+0=1【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 A【试题解析】 直线 L 的方向向量 s=(-2，-7，3)，平面的
9、法向量 n=(4，-2，-2)因为s.n=24+(-7)(-2)+3(-2)=0，所以 sn，即直线 L 平行于平面在直线 L 上取一点 (-3，-4，0)，因为4(-3)-2(-4)-20-3=-70，即直线 L 上的点(-3 ，-4 ，0)不在平面上故应选 A【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 D【试题解析】 这是一个与条件极值相关的定性问题，应从拉格朗日乘数法入手考虑作拉格朗日函数 L(x，y)=f(x，y)+(x，y)，由拉格朗日乘数法及点(x 0，y 0)是 f(x，y)在条件 (x，y)=0 的一个极值点，有如果 fx(x0， y0)0，则必有 fy(x0，y 0)0(否则，由
10、 fy(x0，y 0)=0 及(2)式知y(x0，y 0)=0，由 y(x0，y 0)0得 =0，再由(1)式得 fx(x0，y 0)=0，与已知条件fx(x0，y 0)0矛盾)故应选 D【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 A【试题解析】 在直角坐标下，无论先对 z 积分还是先对 y 积分， 的原函数都求不出来，因此考虑用极坐标计算二重积分在极坐标下，【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 D【试题解析】 记 P(x，y)= ，则但由于在 L 围成的闭区域 D 内，有偏导数不存在的点O(0，0)，故不能直接用格林公式采用“挖洞”的方法，如图 30 所示，在 D 内作包含原点在内的任意一封
11、闭曲线 C，规定逆时针方向为正则在 L 与 C 围成的封闭区域 D1 上，由格林公式故曲线积分与L 的取向有关，与 a，6b 的大小无关【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ，所以数列a n有界，即存在 M10(M 11)，使得a nM 1若 b n收敛，由级数收敛的必要条件知 b n=0，从而数列b n有界，即存在 M20，使得b 2M 2于是 0an2bn2=an2b nb n M12M2b nM 1M2 bn，而 M1M2b n收敛，所以 an2bn2 收敛故应选 C【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 B【试题解析】 这是一个齐次微分方程的特解与定积分计算
12、的综合问题先解齐次微分方程因为 y(1)=0，故可在 x0 时求解原微分方程可化为分离变量，得 等式两边积分，得 即，变量还原，得原微分方程的通解为 由y(1)=0，得 C=1，于是原微分方程的特解(隐式解)为等式两边平方，得 x2+y2=x4-2yx2+y2，所以，原微分方程的特解 (显式解 )为 y= (x2-1)，故【知识模块】 高等数学二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 由二重积分的几何意义， 表示以x2+y2R2 为底，以 为曲顶所构成的曲顶柱体的体积，如图 6所示，即是球体 x2+y2+z2R2 的体积的一半，所以【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 这是
13、一个 型未定式的极限，直接用洛必达法则求极限计算量较大，采用下面方法较简单因为当 x0 时，sin 2xx 2，所以【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 (a)【试题解析】 由于 (x)在点 x=a 处连续，故应用导数的定义求 f(a)【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 因为 ，令x0，两边取极限得 两边积分得y=arctanx+C，由 y(0)= ，所以【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【试题解析】 这是一个 型未定式的极限，可先用等价无穷小替换，再用洛必达法则计算【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 先作变换，然后根据对积分区间的可加性计算
14、分段函数的定积分令 x-1=t，则【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【试题解析】 如图 38 所示，取 x 为积分变量，则该平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积为 取 x 为积分变量，则该平面图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 -1【试题解析】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 2x-y-z-1=0【试题解析】 因为曲面：z=x 2(1-sin y)+y2(1-sin x)在点(1，0，1)处的法向量为 n=zx，z y，-1) (1,0) =2x(1-sin y)-y2cosx，-x 2cos y+2y(1-sin x)，-1 (1
15、,0)=2，-1，-1， 故所求切平面方程为 2.(x-1)-1.(y-0)-1.(x-1)=0， 即 2x-y-z-1=0【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【试题解析】 曲线 绕 z 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为 x2+y2=2z，其与 z=2 围成的空间区域 =(x，y，z)x 2+y24， z2由于被积函数与积分区域的特点，用柱坐标计算在柱坐标下，=(，r，z) 02 ，0r2 ，z2， 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【试题解析】 这是一个与方向导数的计算、两类曲面积分之间的关系、高斯公式以及三重积分的计算有关的综合问题 设 n0=(cos，cos ，cos) ，则
16、【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【试题解析】 考虑幂级数 s(x)= ，逐项求导得等式两边从 0 到 x 积分，得 即 s(x)=s(0)=ln(1+x)， s(x)=ln(1+x)，所以 因为当 x=1 时，ln(1+x)连续，且 收敛；而当 x=-1 时，ln(1+x)无意义，且发散，故 取 x=【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 y=C 1ex+C2x+6【试题解析】 本题主要考查二阶线性(变系数)齐次与非齐次微分方程解的性质与结构 因为 y1=6，y 2=6+x，y 4=6+x+ex 都是二阶线性非齐次微分方程的解，所以 y2-y1=x， y3-y2=ex 就是其所对应的二阶线性齐次微分方程的解因为 常数，所以 x 与 ex 线性无关，从而 Y=C 1ex+C2x 是二阶线性齐次微分方程的通解又因为y1=6 是二阶线性非齐次微分方程的一个特解，故所求通解为 y=C 1ex+C2x+6【知识模块】 高等数学
