1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 119 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 在 x=0 点处连续，则 a=f(0)等于( )（A）（B）（C） e-2（D）e 22 设周期为 2 的周期函数 f(x)在(-，+)内可导，且 ，则曲线 y=f(x)在点(5，f(5)处的切线斜率为( )（A）-1 （B） 1（C） -2（D）23 设函数 y=y(x)由方程 x2-ax2y2+6y3=0 所确定，要使 x=1 是 y=y(x)的驻点，且曲线y=y(x)通过点 (1，1)，则( )（A）a=2 ，b=3（B）（C）（D）a=-2，b=-34
2、设常数 a ，f(x)=e x-ax2，则方程 f(x)=0 在区间(0，+)内的实根个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）随 a 而定5 设 f(x)= ( )（A）不存在（B）等于零（C）大于 42（D）其值与 a 有关6 设 0g(x) f(x) m( 常数)，则由 y=f(x)，y=g(x)，x=a 及 x=b(ab)所围成的图形绕 y=m 旋转形成的旋转体的体积等于( )（A） 2m-f(x)+g(x)f(x)-g(x)dx（B） 2m-f(x)-g(x)f(x)-g(x)dx（C） m-f(x)+g(x)f(x)-g(x)dx（D） -f(x)-g(x)f(x)-g(x)d
3、x7 设 z=xy+ =( )（A）x+xy（B） z-xy（C）（D）8 设 D 是平面直角坐标系中以 A(1，1)，B(-1，1) ， C(1，-1)为顶点的三角形区域，D1 是 D 在第二象限的部分，则 (xy+ex2siny)dxdy=( ) 9 设曲线 L 是圆周 x2+y2=1，则 Ly2ds=( )（A）0（B）（C） （D）210 设 a 为大于零的常数，则级数 ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 a 的取值有关11 级数 的和等于( )12 设 A，B 均是不等于零的常数，则微分方程 y-2y+5y=excos2x 有特解( )（A）y *=xex(A
4、cos2x+Bsin2x)（B） y*=ex(Acos2x+Bsin2x)（C） y*=Axexcos2x（D）y *=Axexsin2x二、填空题13 如果 ，则 a=_14 设 f(x)= 则 x=0 是 f(x)的第_类间断点，x=1 是 f(x)的第_类间断点15 设 ，则 y(10)(0)=_16 设某商品的收益函数为 R(P)，收益弹性为 1+P3，其中 P 为价格，且 R(1)=1，则R(P)=_17 =_.18 =_.19 设(a+3b)(7a-5b) ，(a-4b)(7a-2b)，则 a 与 b 的夹角 =_.20 u=f(x，y， z)具有连续偏导数，y=y(x)和 z=z
5、(x)分别由方程 exy-y=0 和 ez-xz=0 所确定，则 =_.21 设 f(x，y)为连续函数，且 f(x，y)=xy+ f(u，v)dudv，其中 D 是由直线y=0，x=1 与曲线 y=x2 围成的平面区域，则 f(x， y)dxdy=_22 已知 为某一二元函数的全微分，则常数 a=_23 设幂级数 的收敛半径分别为 1 与存在，则幂级数 的收敛半径为_24 微分方程 ydx+(x-3y2)dy=0 满足条件 y x=1=1 的解为 _25 设 y=ex(C1cos2x+C2sin 2x)(其中 C1，C 2 为任意常数)为某二阶线性常系数齐次微分方程的通解，则该微分方程为_2
6、6 已知 y1(t)=4t，y 2(t)=4t-3t 是差分方程 yt+1+a(t)y1=f(t)的两个特解，则 a(t)=_，f(t)=_考研数学一（高等数学）模拟试卷 119 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 点处连续，所以【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)是周期为 2 的周期函数，所以曲线 y=f(x)在点(5，f(5)处的切线斜率与曲线 y=f(x)在点 (1，f(1)处的切线斜率相等由导数的几何意义，曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率即为函
7、数 f(x)在点 x=1 处的导数所以 f(1)=2【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 因为曲线 y=y(x)通过点(1，1)，所以 1-a+b=0，又因为 x=1 是 y=y(x)的驻点，所以 y(1)=0方程 x3-ax2y2+by3=0 两边对 x 求导，得将 x=1，y=1 ，y(1)=0 代入，得 3-2a=0解关于 a，b 的方程，得【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 在区间(0，+) 内 f(x)=ex-ax2=0 的实根与 (x)= -a=0 的实根相同，因此，只需研究 (x)=0 在(0，+、)内的实根个数即可令 (x)=0，得唯一驻点
8、 x=2，列表 4：由此可知，当 x=2 时，(x) 取得极小值 (2)= 时，(2) 0而，所以 (x)=0 在(0，+)内有且仅有两个实根【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)在a，b上可积的条件：(1) 设 f(x)在区间a，b 上连续，则 f(x)在a，b上可积(2)设 f(x)在区间a，b上有界，且只有有限个间断点，则 f(x)在a，b上可积由于当 x0 时，f(x)连续；当 x=0 时，a=0 时 f(x)在点 0 处连续，a0 时 f(x)在点 0 处间断无论如何，f(x) 在- ，上可积，又因为 f(x)是奇函数，所以【知识模块】 高等数学6 【正确答
9、案】 B【试题解析】 类似于上题的分析，取 x 为积分变量，则所求旋转体的体积 V 看成是两个旋转体的体积之差(如图 16 所示)：于是 V=V 1-V2=-2mg(x)+g2(x)+2mf(x)f2(x)dx 2m-f(x)-g(x)f(x)-g(x)dx，故应选 B【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 A【试题解析】 这是一个二元函数偏导数的计算问题【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 A【试题解析】 积分区域 D 如图 19 所示，作辅助线 OA，则 OA 将积分区域 D 分成D2 与 D3因为 D2 关于 y 轴对称，xy 关于 x 为奇函数，e x2sin y 关于 x 为偶函数
10、，所以 又因为 D3 关于 x 轴对称，xy 关于 y 为奇函数，e x2sin y 关于 y 为奇函数，所以【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 C【试题解析】 这是一个平面曲线上的第一类曲线积分的计算问题利用轮换对称性，可得【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 C【试题解析】 由于 (绝对)收敛，又 发散【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 C【试题解析】 考虑幂级数 s(x)= (-1)n-1nxn-1，等式两边从 0 到 x 积分得等式两边求导，得 s(x)【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 D【试题解析】 二阶线性齐次微分方程 y-2y+5y=0 的特征方程为 r2-
11、2r+5=0，特征根为 r1,2=12i 因为 i=12i 是特征根，所以设二阶线性非齐次微分方程 y-2y+5y=excos2x 的特解为 y*=xex(Acos2x+Bsi2x)从形式上看，应选 A，但注意到题目条件 A，B 均是不等于零的常数，进一步，y *=(x+1)ex(Acos2x+Bsin2x)+xex(-2Asin2x+2Bcos2x)，y *=(x+2)ex(Acos2x+Bsin2x)+2(x+1)ex(-2Asin2x+2Bcos2x)+xex(-4Acos2x-4Bsin2x)，将 y*，y *，y *代入 y-2y+5y=excos2x，并化简整理得4Bexcos2x
12、-4Aexsin2x=excos2x，从而 A=0，B= xexsin 2x 是原微分方程的特解，于是 y*=Axexsin 2x 是其特解【知识模块】 高等数学二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 当 a=0 时， ，故 a0由【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 一，二【试题解析】 因为 所以x=0 是 f(x)的第一类 (跳跃 )间断点又 ，所以 x=1 是 f(x)的第二类(无穷)间断点【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 利用不完全归纳法可得 所以【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 由收益弹性的定义可知 从而收益函数 R(P)是微分方程
13、满足初始条件 R(1)=1 的特解，分离变量得将 R(1)=1 代入，得【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【试题解析】 由于被积函数中含有 1+x2，故可考虑用三角变换令 x=tant，t，则【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 -4【试题解析】 令 ，x=t 2，则【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【试题解析】 要求 a 与 b 的夹角，须求 ，因此应从两个向量正交着手处理因为(a+3b)(7a-5b)，(a-4b)(7a-2b)，由两个向量垂直(正交)的条件，有 解关于a 2，b 2 的方程，得 a 2=b 2=2a.b，从而a=b =，于是 故 a 与 b 的夹角为【
14、知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【试题解析】 这是一个复合函数的偏导数与隐函数的偏导数计算的综合问题u是 x，y，z 的函数，而 y，z 又是 x 的函数，因此 u 最终是 x 的一元函数，其链式关系如图 44 所示于是 由 exy-y=0，记 F(x，y)=e xy-y，由隐函数求导公式，有由 ez-xz=0，记 G(x，y)=ex-xz，由隐函数求导公式，有【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【试题解析】 由于 f(x，y) 是连续函数，所以 f(x，y)dxdy 存在，其值为一常数，且 ，令其为 A，则 f(x，y)=xy+A，将上式两边在区域 D 上取二重积分，得【知识模
15、块】 高等数学22 【正确答案】 2【试题解析】 由于 为某一二元函数的全微分，记所以 -2y=(a-2)x-ay，比较等式两边 x，y 的系数，得 a=2【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 4【试题解析】 这是已知一个幂级数的收敛半径，求与其相关的另一个幂级数的收敛半径的问题因为幂级数 bnxn 的收敛半径为=2考虑 anxn 的绝对级数存在，故利用比值审敛法，当x 2时，绝对级数收敛，从而原幂级数绝对收敛当x 2 时，绝对级数发散，从而原幂级数发散故 ，由已知条件知【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【试题解析】 原微分方程既不是可分离变量的微分方程，也不是齐次方程，但如果把
16、z 看成因变量 (未知函数 )，y 看成自变量，则原微分方程可写成这是以 y 为自变量，x 为未知函数的一阶线性微分方程其通解为 =e-lny(3yelnydy+C) 由y x=1=1，得 C=0所以微分方程满足条件 y x=1=1 的解为 x=y2，即【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 y-2y+5y=0【试题解析】 因为 y=ex(C1cos2x+C2sin 2x)为二阶线性常系数齐次微分方程的通解，所以 r1,2=12i 是其对应的特征方程的根，又 r1+r2=2，r 1r2=5，故特征方程为 r2-2r+5=0，从而所求微分方程为 y-2y+5y=0【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【试题解析】 因为 y1(t)=4t，y 2(t)=4t-3t 是一阶线性差分方程 yt+1+a(t)yt=f(t)的两个特解，所以 y1(t)-y2(t)=3t 是其对应的一阶线性齐次差分方程 yt+1+a(t)yt=0 的解记yt=3t，则 yt+1=3(t+1)，将其代入 yt+1+a(t)yt=0，得 3(t+1)+a(t).3t=0所以 a(t)=于是原差分方程为 将 y1(t)=4t 代入方程，得【知识模块】 高等数学
