1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设直线 及平面 ：4x 一 2y+z 一 6=0，则直线 L( )（A）平行于平面 （B）在平面 上（C）垂直于平面 （D）与平面 斜交2 设直线 则直线 L1，L 2 的夹角为( )3 在曲线 x=t，y= 一 t2，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线( )（A）只有 1 条（B）只有 2 条（C）至少 3 条（D）不存在二、填空题4 5 过点(2 ，0，一 3)且与直线 垂直的平面方程为_6 过原点及点(6，一 3，2)且与平面 4xy+2z=8
2、垂直的平面方程为_7 设 ，则过 L1 平行于 L2 的平面方程为_.8 过点 A(3，2，1) 且平行于直线 的平面方程为_。9 一平面经过点 M1(2，1，3)及点 M2(3，4，一 1)，且与平面 3xy+6z 一 6=0 垂直，则该平面方程为_10 曲面 x2+2y2+3z2=21 在点(1，一 2，2) 处的法线方程为_11 点 M(1，一 1，2)到平面 ：2xy+5z 一 12=0 的距离为 d=_12 设平面 1：3x 一 2y+6z 一 20 与平面 2：3x 一 2y+6z+12=0，则两平行平面之间的距离为_13 点 M(3，一 4，4)到直线 的距离为_14 由曲线 L
3、： 绕 y 轴旋转一周所得到的旋转曲面在点 处的指向外侧的单位法向量为_15 曲面 zez+2xy=3 在点(1 ，2，0)处的切平面方程为 _16 曲面 z=x2(1 一 siny)+y2(1 一 sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 18 19 设点 A(1，一 1，1) ， B(-3，2，一 1)，C(5，3，一 2)，判断三点是否共线，若不共线求过三点的平面的方程20 求经过平面 1：x+y+1=0 与 2：x+2y+2z=0 的交线，且与平面 3：2xyz=0垂直的平面方程21 22 23 求过点 A(一 1，2，3)
4、垂直于 L： 且与平面 ：7x+8y+9z+10=0 平行的直线方程24 25 26 27 考研数学一（高等数学）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 直线 L 的方向向量为 s=1，3，2)2，一 1，一 10)=一 28，14，一 7)，因为 sn，所以直线 L 与平面 垂直，正确答案为(C)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 C【试题解析】 s 1=1，一 2，1)，s 2=1，一 1，0)0，2，1)=一 1，一 1，2)， 设直线 L1，L 2 的夹角为 ，则 ，从而 ，正确答案为(C)【知识
5、模块】 高等数学部分3 【正确答案】 B【试题解析】 在 t=t0 处曲线的切向量为 T=1，一 2t0，3t 02)，切线与平面x+2y+z=4 垂直的 充分必要条件是 nT=0，即 14t0+3t02=0，解得 或 t0=1，选(B)【知识模块】 高等数学部分二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 由a+b 2=(a+b)(a+b)=a 2+b 2+2ab=13+19+2ab=24，得ab=一 4，则ab 2=(a 一 b)(a 一 b)=a 2+ b 2 一2ab=13+19+8=40则ab = 【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 一 16x+14y+11z+65=0【试题解析
6、】 s 1=1，一 2，4)，s 2=3，5，一 2)，所求平面的法向量 n=s1s2=一16，14，11) ，则所求平面方程为一 16x+14y+11z+65=0【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 2x+2y 一 3z=0【试题解析】 设所求平面为 ：Ax+By+Cz+D=0，因为 经过原点，所以 D=0，即 ： AX+By+Cz=0，又因为 经过点(6 ，一 3，2)且与 4xy+2z=8 垂直，所以解得 ，所求平面为 ：2x+2y 一 3z=0【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 ：(x 一 1)一 3(y 一 2)+(z 一 3)=0 或 ：x 一 3y+z+2=0【试题
7、解析】 因为所求平面丌经过 L1，所以点 M(1，2，3)在平面 上，因为 与 L1， L2 都平行，所以所求平面的法向量为 n=1，0，一 12，1，1)=1，一3，1，所求平面为 ：(x 一 1)一 3(y 一 2)+(z 一 3)=0 或 ：x 一 3y+z+2=0【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 ：一(x 一 3)+2(y 一 2)+5(z 一 1)=0，或 ：x 一 2y 一 5z+6=0【试题解析】 直线 L1，L 2 的方向向量为 s1=1，一 2，1)，s 2=2，1，0) ，所求平面的法向量为 n=s1s2=一 1，2，5，则所求平面为 ：一(x 一 3)+2(y
8、一 2)+5(z一 1)=0，或 ：x 一 2y 一 5z+6=0【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 7x 一 9y 一 5z+10=0【试题解析】 ，因为所求平面平行于向量 且与平面 3xy+6z-6=0 垂直，所求平面的法向量为 n=1，3，一 4)(3，一 1，6)=14，一 18，一 10，所求的平面方程为 14(x 一 2)一 18(y 一 1)一 10(z 一 3)=0，即 7x 一 9y 一5z+10=0【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 2【
9、试题解析】 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 2x+y 一 4=0【试题解析】 曲面 zex+2xy=3 在点(1，2，0)处的法向量为 n=2y，2x，1 一 ex(1，2，0) =4，2，0)， 则切平面为 ：4(x 一 1)+2(y 一 2)=0，即 ：2x+y 一 4=0【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 2xyz 一 1=0【试题解析】 F=x 2(1 一 siny)+y2(1 一 sinx)一 z， n=2x(1 一 siny)一 y2cos
10、x，2y(1一 sinx)一 x2cosy，一 1)， 在点(1，0，1)处的法向量为 n=2，一 1，一 1)，切平面为 ： 2(x 一 1)一 y 一(x 一 1)=0，即 ：2xyz 一 1=0【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 设经过两平面 1， 2 交线的平面方程为 ：x+y+1+(x+2y+2z)=0，即 ：(1+)x+(1+2)y+2z+1=0， 因为平面 与平面 3：2xyz=0 垂
11、直，所以有 1+，1+2，2).2，一 1，一 1)=0，即 2+2 一 12 一 2=0，解得，所求平面方程为 ：【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 s 1=1，一 1，2) ，s 2=一 1，2，1) ，n=s 1s2=一 5，一 3，1)， 所求平面方程为 ：一 5(x 一 2)一 3(y+2)+(z 一 3)=0，即 ：一 5x 一 3y+z+1=0【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 直线 L： 的方向向量为 s=4，5，6)，平面：7x+8y+9z+10=0 的法向量为 n0=7，8，9)，因为所求直线与已知直线垂直及与已知平面平行，所以所求直线与 s=4，5，6) 及 n0=7，8，9都垂直，于是所求直线的方向向量为 T=sn0=一 3，6，一 3，所求直线为【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分
