1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 120 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 =（A）0（B） （C） +（D）不存在但也不是2 设 f(x)=xsinxcosxcos2x，g(x)= 则当 x0 时 f(x)是 g(x)的（A）高阶无穷小（B）低价无穷小（C）同阶非等价无穷小（D）等价无穷小二、填空题3 设有定义在(，+)上的函数：(A)f(x)= (B)g(x)=(C)h(x)= (D)m(x)= 则(I)其中在定义域上连续的函数是_；(II) 以 x=0 为第二类间断点的函数是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 判断下列结论是否
2、正确，并证明你的判断(I)若 xny n(nN)，且存在极限xn=A， yn=B，则 AB；(II)设 f(x)在(a，b)有定义，又 c(a，b)使得极限f(x)=A，则 f(x)在(a，b)有界；()若 f(x)=，则 0 使得当0xa 时 有界5 设 f(x)= 又 a0，问 a 为何值时 f(x)存在6 证明：(I) 不存在；( )设 f(x)= ，则 f(x)不存在7 求 w=8 求极限 w=9 求下列极限：()w= (II)w=10 求 w=11 求 w=12 求 w=13 求下列极限 f(x)：(I)f(x)= ()f(x)=14 求数列极限 w= 1)15 设 xn= ，求 x
3、n16 求数列极限：(I) (M0 为常数) ； (II) 设数列x n有界，求17 设 f(x)在0，1上连续，求 xnf(x)dx18 设 a10， an+1= (n=1，2，)，求 an19 设 x1=2， xn+1=2+ ，n=1 ，2，求 xn20 求 w=21 设 f(x)= (I)若 f(x)处处连续，求 a，b 的值；(II) 若 a，b 不是(I)中求出的值时 f(x)有何间断点，并指出它的类型22 求下列极限：(I)w= (II)w=23 求下列极限：(I)w= (II)w=24 求下列极限：(I)w= ()w=25 求下列极限：(I)w= ()w=26 求下列极限：(I)
4、w= (arcsinx)tanx；()w= ()w=()w=27 求 w=28 设 f(x)在0，+)连续，且满足 =1求 w=29 (I)设 f(x)，g(x)连续，且 =1，又 (x)=0，求证：无穷小g(t)dt (xa)；(II) 求 w= ln(1+2sint)dt ln(1+2sint)dt330 已知 =2，求 a，b 之值31 确定常数 a，b，c 的值，使 =432 求 xn，其中 xn= 1)33 证明 ex2cosnxdx=034 求 w=35 设 xn= ，求 xn36 求数列极限 xn，其中 xn=ne(1+ )n 1 37 当 x0 时下列无穷小是 x 的 n 阶无
5、穷小，求阶数 n：(I)e x42x2 1； (II)(1+tan2x)sinx1；() () sint.sin(1cost) 2dt38 设 0， 0 为任意正数，当 x+ 时将无穷小量： ，e x 按从低阶到高阶的顺序排列39 设 f(x)= 讨论 y=fg(x)的连续性，若有间断点并指出类型40 设 f(x)在0，1连续，且 f(0)=f(1)，证明：在0，1上至少存在一点 ，使得 f()=f(+ )，41 设 f(x)在( ，+)连续，存在极限 f(x)=B证明：(I)设AB，则对 (A，B)， (，+)，使得 f()=；()f(x)在(，+)上有界考研数学一（高等数学）模拟试卷 12
6、0 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 et=+， et=0，故要分别考察左、右极限由于因此应选(D)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得因此选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 (I)B()D【试题解析】 (I)当 x0 与 x0 时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续从而只需再考察哪个函数在点 x=0 处连续注意到若 f(x)= ，其中 g(x)在(，0连续 h(x)在0，+)连续因 f(x)=g(x)(x(，0) f(x)在x=0 左连
7、续若又有 g(0)=h(0) f(x)=h(x)(x0，+) f(x)在 x=0 右连续因此f(x)在 x=0 连续 (B)中的函数 g(x)满足：sinx x=0=(cosx1) x=0，又sinx，cosx 1 均连续 g(x)在 x=0 连续因此，(B)中的 g(x)在(，+)连续应选(B) ()关于(A) ：由x=0 是 f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)关于(C) ：由 eh(0) =0 是 h(x)的第一类间断点(可去间断点) 已证(B) 中 g(x)在 x=0 连续因此选(D) 或直接考察(D)由=+ x=0 是 m(x)的第二类间断点【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出
8、文字说明、证明过程或演算步骤。4 【正确答案】 (I)不正确在题设下只能保证 AB，不能保证 AB例如，x n=，则 xny n，而 yn=0()不正确这时只能保证： 点 c的一个空心邻域 U0(c，)=x0xc 使 f(x)在 U0(c，)中有界，一般不能保证 f(x)在(a，b)有界例如：f(x)= ， (a，b)=(0，1)，取定 c(0，1)，则在(0，1)无界() 正确因为=0，由存在极限的函数的局部有界性 0 使得当0xa 时 有界【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 f(0+0)= =，f(00)= =1.a.1=a(a0)，由 f(0+0)=f(00)，得 a=因此，当且仅当
9、 a= 时，存在 f(x)=【试题解析】 分别求右、左极限 f(0+0)与 f(00)，由 f(0+0)=f(00)定出 a 值【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 (I)取 xn= ，y n= ，则均有 xn0，y n0(n) ，但=1，因此 不存在(II)已知 f(x)= ，其中 g(x)= cost2dt，由于 cosx2=10，而 不存在，所以 不存在【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 这是求 型极限，用相消法，分子、分母同除以(e x)2 得 w=02=0其中 =0(用洛必达法则)【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 w= =2.e20=2e【知识模块】 高等数学9 【正确答
10、案】 (I)注意 x0 时，1cos(x x4，e x41x 4 w= =4(II)因为2x.x3(x0)，ln(1+2x 3)2x 3(x0)，所以 w=【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 属 型先作恒等变形 然后用等价无穷小因子替换：x0 时 sin 3xx 3，ln(1+ x 2sin 2x，于是 w=最后用洛必达法则得 w=2【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 属型先通分化成 型未定式，则有 w=直接用洛必达法则比较麻烦，若注意到 ln(x+，从而 =1这表明 ln(x+)x(x0)因此对分母先作等价无穷小因子替换后再用洛必达法则，并利用 ln(1+x)x(x0)就有【知识
11、模块】 高等数学12 【正确答案】 由于 ，而或者 ln (x0)，若用该等价无穷小因子替换(可简化计算) ，则有因此 w=【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 由 lnn (n)用等价无穷小因子替换得 w= lnn引入函数 f(x)= (x0)，则 w= =0【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 作恒等变形，再用简单手段作适当放大与缩小注意，已知 =1，于是 =1 因此 xn=1【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 (I)存在自然数 k，kM，使 1 ，当nk 时，有 即当 nk 时，有 0 是常数，且 =0，由夹逼定理知 =0(II)由
12、于x n有界，故 M0，对一切 n 有x nM于是 0 n)，由题(I) 的结论及夹逼定理知 =0【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 因为 xndx= ，且连续函数f(x)在0，1 存在最大值记为M，于是 又 =0，则xnf(x)dx=0【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 显然，0a n3(n=2，3，)，于是a n有界令 f(x)= ，则 an+1=f(an)，f(x)= 0 (x0) 于是 f(x)在 x0 单调上升，从而a n是单调有界的，故极 an 存在令 an=A，对递归方程取极限得 A=，解得 A= 因此 an= 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 令 f(x)=
13、2+ ，则 x=n+1=f(xn)显然 f(x)在 x0 单调下降，因而由上面的结论可知x n不具单调性易知，2x n 设 xn=a，则由递归方程得a=2+ ，即 a22a1=0，解得 a= ，则由 a2 知a= +12现考察x n+1a= x na ，因此， xn=a= +1【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 x0 时，t=(1+x) x10，则(1+x) x1=tln(1+t)=ln(1+x)x=xln(1+x)，于是用等价无穷小因子替换得 w= =1【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 (I)首先求出 f(x)注意到 故要分段求出f(x)的表达式当x1 时，f(x)= 当x1
14、时，f(x)= =ax2+bx于是得 其次，由初等函数的连续性知 f(x)分别在( ，1)，(1，1)，(1，+)上连续最后，只需考察 f(x)在分界点 x=1 处的连续性这就要按定义考察连续性，分别计算：从而f(x)在 x=1 连续 f(1+0)=f(10)=f(1) a+b=1= (a+b+1) a+b=1； f(x) 在 x=1连续 f(1+0)=f(10)=f(1) ab= 1= (ab1) ab= 1因此 f(x)在 x=1 均连续 a=0，b=1当且仅当 a=0，b=1 时 f(x)处处连续(II)当(a，b)(0，1) 时，若 a+b=1(则 ab1)，则 x=1 是连续点，只有
15、x=1 是间断点，且是第一类间断点；若 ab=1(则 a+b1)，则 x=1 是连续点，只有间断点 x=1，且是第一类间断点；若 ab一 1 且 a+b1，则 x=1，x=1 均是第一类间断点【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 (I)恒等变形：分子、分母同乘 ，然后再同除x2，得(II)恒等变形：分子、分母同除x(x0，x=x= )，得【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 (I)先恒等变形，并作等价无穷小因子替换：1cosxx(x0 +)，(II)这是求 型极限，用洛必达法则得【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 (I)属.0 型可先作恒等变形，然后用等价无穷小因子替换即得w=
16、ln3=ln3，其中ln3(x)()属.0 型可化为 型后作变量替换，接着再用洛必达法则求极限【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 (I)属.型先化成 型未定式，即 w= ，作等价无穷小因子替换与恒等变形再用洛必达法则即得(II)属.型先作变量替换并转化成 型未定式，然后用洛必达法则【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 (I)属 00 型 tanxln(arcsinx)= xln(arcsinx)因此 w= =e0=1() 属 1型用求 1型极限的方法(limf(x) g(x)=eA，A=limg(x)f(x) 1) w= =eA，而故 w=e2()属 0 型1 因此 w=e1 ()属
17、 0型利用恒等变形及基本极 =1 可得 w=1.20=1【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 属 型先用等价无穷小关系 arctan4xx 4(x0)化简分母后再用洛必达法则得【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 先作恒等变形转化为求 型极限，然后用洛必达法则【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 (I)由(II)因 ln(1+2sinx)2sinx 一 2x(x0)，由题(I)2tdt=x2因此，利用等价无穷小因子替换即得 w= =1【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 原式可改写成 =2由于该式成立，所以必有 3 =0，即 a=9将 a=9 代入原式并有理化得由此得 b=12
18、 故 a=9，b=12【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 由于当 x0 时对 常数 a，b 都有 ax2+bx+1e 2x 0，又已知分式的极限不为零，所以当 x0 时必有分母 dt0 ，故必有 c=0由于故必有 a=4综合得 a=4，b= 2，c=0 【知识模块】 高等数学32 【正确答案】 作恒等变形后再作放大与缩小：于是又，故由夹逼定理知【知识模块】 高等数学33 【正确答案】 先对积分 ex2cosnxdx 建立估计式然后证明它的极限为零，这里可行的方法是先对原积分进行分部积分于是0(n)因此 ex2cosnxdx=0【知识模块】 高等数学34 【正确答案】 记 xn= 是 f(
19、x)=tanx 在0，1区间上的一个积分和由于 f(x)在0 ，1上连续，故可积，于是因此，我们对 xn用适当放大缩小法，将求 xn 转化为求积分和的极限因又于是由夹逼定理得 xn=lncos1【知识模块】 高等数学35 【正确答案】 先取对数化为和式的极限 lnxn= ln(n2+i2)4lnn，然后作恒等变形(看看能否化为积分和的形式)，则它是 f(x)=ln(1+x2)在0，2 区间上的一个积分和(对0，2区间作 2n 等分，每个小区间长 )，则=2ln54+2arctan2 因此 =e2ln54+2arctan2 =25e4+2arctan2 【知识模块】 高等数学36 【正确答案】
20、先用等价无穷小因子替换：于是现把它转化为函数极限后再用洛必达法则即得【知识模块】 高等数学37 【正确答案】 (I)e x42x2 1x 42x 22x 2(x0)，即当 x0 时 ex42x2 1 是x 的 2 阶无穷小，故 n=2(II)(1+tan 2x)sinx1ln(1+tan 2x)sinx1+1=sinxln(1+tan2x)sinxtan 2xx.x 2=x3(x0)，即当 x0 时(1+tan 2x)sinx1 是 x 的 3阶无穷小，故 n=3()由 1是 x 的 4 阶无穷小，即当 x0 时 是 x 的 4 阶无穷小，故 n=4()即当 x0 时sintsin(1cost
21、) 2dt 是 x 的 6 阶无穷小，故 n=6【知识模块】 高等数学38 【正确答案】 先考察 lny= elny=0再考察 因此，当 x+时，按从低阶到高阶的顺序排列为 ，e x 【知识模块】 高等数学39 【正确答案】 先写出 fg(x)的表达式考察 g(x)的值域：当 x1，2，5 时 fg(x)分别在不同的区间与某初等函数相同，故连续当 x=2，5时，分别由左、右连续得连续当 x=1 时，x2=1，从而 fg(x)在 x=1不连续且是第一类间断点(跳跃间断点)【知识模块】 高等数学40 【正确答案】 即证：F(x) 在0，1存在零点因 f(x)在0，1连续，所以 F(x)=f(x)f
22、(x+ 连续事实上，我们要证：F(x) 在0，1存在零点( 只需证 F(x)在0，1 有两点异号)考察则 f(0)+F =f(0)f(1)=0 于是 F(0)，中或全为 0，或至少有两个值是异号的，于是由连续函数介值定理， 0，1 ，使得 F()=0，即 f()=f(+ )【知识模块】 高等数学41 【正确答案】 利用极限的性质转化为有界区间的情形(I)由 f(x)=A 及极限的不等式性质可知， X1 使得 f(X1) 由 f(x)=B 可知， X2X 1 使得 f(X2) 因 f(x)在X 1，X 2连续，f(X 1)f(X 2)，由连续函数介值定理知(X1，X 2) (，+)，使得 f()=( )因 f(x)=A， f(x)=B，由存在极限的函数的局部有界性定理可知， X1 使得当 x(，X 1)时 f(x)有界；X2( X1)使得当 x(X2，+)时 f(x)有界又由有界闭区间上连续函数的有界性定理可知，f(x)在X 1，X 2上有界因此 f(x)在( ，+)上有界【知识模块】 高等数学
