1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 127 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 时，下列无穷小量中阶数最高的是( )2 设 则 f(x)在 x=0 处 ( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但 f(x)在 x=0 不连续（D）可导且 f(x)在 x=0 连续3 已知 f()=2， 0f(x)+f(x)sinxdx=5，则 f(0)等于 ( )（A）2（B） 3（C） 5（D）不确定4 设 的值为( )（A）(1 一 cos2)2（B） (1+cos2)2（C） (1+sin2)2（D）(1 一 sin2)2二、填空题5 设 y=y(x)二
2、阶可导，且 若 y=y(x)的一个拐点是(x 0，3)，则=_6 函数 u=ln(x2+y2+z2)在点 M(1，2，一 2)处的梯度 gradu M=_7 已知幂级数 的收敛域为_8 y(4)一 y=0 的通解是_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求极限10 已知抛物线 Y=px2(p0) (1)计算抛物线在直线 Y=1 下方的弧长 l (2)求极限11 设 f(x)在 x=0 处二阶可导，且 求 f(0)，f(0) ，f(0) 12 设 f(x)可导，且它的任何两个零点的距离都大于某一个正数(称零点是孤立的)，g(x)连续，且当 f(x)0 时 g(x)可导，令 (x
3、)=g(x)f(x)，讨论 (x)的可导性13 设 f(x)在0，1上连续， 01f(x)dx=0，g(x)在0，1上有连续的导数，且在(0，1)内 g(x)0， 01f(x)g(x)dx=0，试证：至少存在两个不同的点 1,2(0，1)，使得 f(1)=f(2)=014 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，又 ba0，试证：存在两点， (a，b)，使得 f()(b 一 a)=f()(lnblna)15 计算16 设17 求曲线 y=ex 曲率的最大值18 设 f(x)在区间0，+)内二阶可导，且在 x=1 处与曲线 y=x3 一 3 相切，f(x) 在(0，+) 内与曲线 y=
4、x3 一 3 有相同的凹向，求方程 f(x)=0 在(1，+)内实根的个数19 设 D 是由曲线 围成的平面区域求 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积20 已知单位向量 的三个方向角相等，点 B 与点 M(1，一 3，2) 关于点 N(一1，2，1) 对称，求 21 设函数 y=f(r)，而 试求函数 u22 求当 x0， y0，z0 时，函数 f(x，y，z)=lnx+21ny+3lnz 在球面 x2+y2+z2=62 上的最大值并证明：对任何正实数 a、b、c ，不等式 ab2c3 成立23 设积分区域 D=(x，y)0x，0y)，计算二重积分 I=24 计算三重积分 绕 z
5、轴旋转一周所形成的曲面与两平面 z=2，z=8 所围成的空间闭区域24 已知曲线积 (A 为常数)，其中 (y)具有连续的导数，且 (1)=1L 是围绕原点 O (0，0)的任意分段光滑简单正向闭曲线25 证明：对右半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C，有26 求函数 (y)的表达式，及常数 A 的值27 计算曲线积分 其中 是依参数 t 增大的方向通过的椭圆：x=asin 2t，y=2asintcost，z=acos 2t，0t28 已知a n)是单调增加且有界的正数列，证明：级数 收敛29 将函数 展开成 x 的幂级数30 求解微分方程31 求解微分方程 xysinylnx+(1
6、一 xcosy)cosy=032 求解微分方程 y一 y=ex+4cosx考研数学一（高等数学）模拟试卷 127 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 当 x0 时与 u=1 一 cosx 复合而成当 x0 时，与 x2 同阶， 是 x的 22=4 阶无穷小故选 D2 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)在 x=0 处连续，排除A f(x)在 x=0 处可导，排除 B所以，f(x)在 x=0 处连续故选 D3 【正确答案】 B【试题解析】 用分布积分法，得 0f(x)+f(x)sinxdx=一 0f(x)cosx+0df(x
7、)=一 f(x)cosx 0+0cosxf(x)dx+f(x)sinx 0一 0f(x)cosxdx =2+f(0) 所以，2+f(0)=5，即 f(0)=3故选 B 利用分部积分法可升高或降低被积函数导数的阶数4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)f(yx)仅在区域 D1：xyx+2，0x2 内非零，所以故选 A二、填空题5 【正确答案】 应填 3【试题解析】 由于 y(x)二阶可导，(x 0，3) 是拐点，则 y(x0)=3，y(x 0)=0得4y(x 0) y(x 0)=0，即 =36 【正确答案】 应填 【试题解析】 本题主要考查函数在某一点的梯度的计算方法由若函数u=f(x
8、， y，z) 在空间区域 内具有连续的一阶偏导数，则函数 u=f(x，y，z)在区域 内任意一点 M(x，y，z)处的梯度为7 【正确答案】 应填(1，5【试题解析】 由于 在 x0=0 处收敛，所以对一切满足x+2 0+2 =2 的 x 也收敛；又它在 x1=一 4 处发散，所以对一切满足x+2 4+2 =2 的 x 也发散所以该级数的收敛区间为x+2 2，即一2x+2 2，从而其收敛区域为一 2x+22又 x 一 3=(x 一 5)+2，所以的收敛域为一 2(x 一 5)+22，即 1x5 ，即(1 ，58 【正确答案】 应填 y=c1et+c2et +c3cost+c44sint【试题解
9、析】 本题主要考查高阶常系数齐次方程的解法 此方程的特征方程为 4一 1=0，它有四个单根 1,2=1，= 3,4i于是该方程有四个线性无关的解et，e t ，cost，sint ，方程的通解为 y(t)=c1et+c2et +c3cost+c44sint三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 方法一：原式 方法二：由台劳公式(麦克劳林公式) ，当 x0 时，有 于是，原式【试题解析】 直接用洛必塔法则将会导致复杂的计算，所以，该题用恒等变形或用台劳公式进行化简(1)极限中的函数若具有二阶以上的导函数，可直接用台劳公式进行简化 (2)该题也可以用如下方法求解：当 u
10、0 时， 于是尽管用这种方法得到了与前面相同的结果，但必须指出，在和、差中用等价无穷小量作代换时，一定要非常谨慎 若当 x口时，(x)u(x)，(x)v(x)，则只有当时，才能用 这是因为将 (x)+(x)用 u(x)+v(x)替代后所产生误差之大小，只有用台劳公式才能说清楚10 【正确答案】 (1)抛物线 y=px2 与直线 y=1 的交点为 弧微分ds= 于是由弧长公式得(2)11 【正确答案】 【试题解析】 由已知极限 存在，可知f(0)=0于是可用定义求 f(0)，f(0)12 【正确答案】 设 x0 为分段点 若 f(x0)0，则由题设可知，存在 0，使得当xx 0 0)同号，于是在
11、该邻域内必有 (x)=f(x)g(x)或 (x)=f(x)g(x)之一成立，所以 (x)在点 x0 处必可导 若 f(x0)=0，不妨假设由 (x0)=f(x0)=0，可得 所以，(x)在 x0 处可导f(x0)g(x0)=0且当 f(x0)g(x0)=0 时，(x 0)=0【试题解析】 这是分段函数的可导性问题只需讨论在分段点 Xo 处是否可导分f(x0)0 与 f(x0)=0 两种情形讨论13 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，则 F(0)=F(1)=0 又 0=01f(x)g(x)dx=01g(x)dF(x)=g(x)F(x) 01 01F(x)g(x)dx= 01F(x)g
12、(x)dx 即有 01F(x)g(x)dx=0，由积分中值定理，存在点 (0，1)，使得 F()g()=0，由 g(x)0 知 F()=0，0 1(0，)，2(，1)，使得 F(1)=F(2)=0，即 f(1)=f(2)=0【试题解析】 在 f(x)连续的条件下，欲证 f(x)存在两个零点 f(1)=0，f( 2)=0，可构造辅助函数 F(x)=0xf(t)dt，用洛尔定理证明因已知 F(0)=F(1)=0于是，问题的关键是再找一点 ，使得 F()=0，这样的点 可由已知条件得到 在只知函数 f(x)连续的条件下，证明 f(x)在a ，b 内存在零点的问题，可以对 f(x)用介值定理证明，也可
13、对 f(x)的原函数 F(x)=axf(t)dt 用洛尔定理证明14 【正确答案】 作辅助函数 g(x)=lnx，则 f(x)、g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导由柯西定理，存在点 (a，b)，使得即 f()(b 一 a)=f()(lnblna)【试题解析】 15 【正确答案】 令 x=t，则 dx=一 dt于是，【试题解析】 (1)用本题的求解思路可证明 0xf(sinx)dx= 0f(sinx)dx这里，被积函数 f(x)满足 f(x)=f(x)， x0， 将它一般化可得到如下结果： 设 f(x)，g(x)在0，a上连续，且对 x0，a，有 f(x)=f(ax)，g(x)+g(ax
14、)=k(k 为常数)，则有公式 0af(x)g(x)dx= 0af(x)dx 成立证： 0ag(x)dx 0af(at)g(at)dt =0af(t)k 一 g(t)dt =k0af(t)dt 一 0af(t)g(t)dt，所以， 0af(x)g(x)dx= 0af(x)dx (2)将本题的解题思路一般化，可得 abf(x)dx abf(a+b 一 t)dt=abf(a+b 一 x)dx abf(x)dx= abf(x)+f(a+b 一 x)dx 特别地，有：16 【正确答案】 【试题解析】 是一个瑕积分，用分部积分法17 【正确答案】 由曲率公式 于是，求 k 的最大值就转化为求 的最小值因
15、为所以，x 0 为 (x)的极小值点又驻点唯一，因此 (x0)为最小值故当【试题解析】 先求曲线的曲率，再求最大值 求函数最大值和最小值的方法 一般方法：若 f(x)在a，b上连续，则比较 f(x)在驻点、f(x)不存在的点和区间端点的函数值，其中最大者为最大值，最小者为最小值 特殊方法：当 f(x)在(a，b) 内可导，且驻点 x0 唯一时，若 f(x0)为极小值，则 f(x0)即为 f(x)在a，b上的最小值；若f(x0)为极大值，则 f(x0)即为 f(x)在a，b上的最大值 若实际问题存在最大值(或最小值)，而由实际问题建立的函数 f(x)可导，且驻点 x0 唯一，则 f(x0)就是所
16、求的最大值(或最小值) 18 【正确答案】 由 y=3x2， y(1)=3 ，及曲线 y=f(x)与 y=x3 一 3 相切可知，f(1)=3， f(1)=y(1)=一 2 由曲线 y=f(x)与 y=x3 一 3 在 (0，+) 内有相同的凹向，以及y=6x0，可知， f(x)0，x(0，+) 由台劳公式即存在 M0，当 x0M 时，使得f(x0)0 于是，f(x)在1，x 0上连续，且 f(1)=2 0)0由零值定理，在(1，x 0)内至少存在一点 ，使 f()=0 由 f(x)0,x(0，+)，可知在(0，+) 内 f(x)单调增加 再由 f(x)f(0)=0，知 f(x)在(0，+)内
17、单调增加，故 f(x)=0 在(0，+)内仅 有一个根【试题解析】 由 f(x)二阶可导及台劳公式可得 f(x)的解析式，然后用零值定理 若 f(n)(x)0，x (a，b) ，则 f(n1) (x)在(a，b)内单调增加19 【正确答案】 注意第一象限的两条曲线，一条是圆，一条是星形线，且后者位于前者的下方于是旋转体的体积为20 【正确答案】 设 因为 cos2 +cos2 +cos2 =1，且=，再设点 B 为 B(x,y,z)，根据题意可知，点 N(1,2,1)为线段 BM 的中点，所以【试题解析】 本题主要考查方向角的概念、关于点对称的概念、对称点的求法、向量积的概念与计算21 【正确
18、答案】 利用分离变量解微分方程 【试题解析】 本题得到的是一个二阶的微分方程，但不是线性的常系数的二阶微分方程因此，不能用常系数的线性微分方程的特征值的方法去求解22 【正确答案】 为求在条件 x2+y2+z2=6r2 下函数 f(x，y，z)=lnx+2lny+3lnz 的最大值，不妨设 L(x，y，z ，)=lnx+2lny+3lnz+(x 2+y2+z2 一 6r2)(x0，y0，z0)由方程组 因为驻点(x，y，z)在球面x2+y2+z2=6r2 的第一卦限部分上，则点 是唯一的驻点 另一方面，当点趋于球面(第一卦限部分)与坐标平面的交线时，函数 f(x，y，z)便趋于一，所以函数 f
19、(x， y，z) 在指定的区域内部取得最大值，从而此唯一的驻点便是最大值点，即【试题解析】 本题第一部分是求条件极值，利用拉格朗日乘子法解答 本题第二部分是利用第一部分得到的结果来证明不等式 (1)本题的目标函数亦可取为f(x，y，z)=xy 2z3，同样有效 (2)由本题的目标函数与约束条件在形式上的对称性，还可以将上面的条件极大值问题 改为如下的条件极小值问题：求目标函数f(x，y，z)=x 2+y2+z2 在条件 xy2z3=6r2 约束下的最小值只是具体求解起来不如上述方法简单23 【正确答案】 因为 故设积分区域 D1=(x，y) yx ，0y，D 2=(x，y)xy，0x于是，【试
20、题解析】 首先应设法去掉最大值符号 max，为此将积分区域分为两部分即可对于二重积分(或三重积分)的计算问题，当被积函数为分段函数时，应利用积分的可加性分区域进行积分而在实际考题中，被积函数经常为隐含的分段函数，例如：取绝对值函数(x，y) 、取极值函数 maxf(x，y)，g(x，y)，minf(x，y)，g(x，y)，符号函数 sgnf(x，y)一 g(x，y)以及取整函数f(x ，y)等等24 【正确答案】 利用“ 先二后一 ”的柱坐标公式由于垂直于坐标 x 轴的平面(2x4)与空间区域 的截面为圆，则积分区域 可以表示为=(x，y，z)x 2+y22x，2x8 ，即固定 2x8，垂直于
21、坐标 z 轴的平面 Z=z 与 的截面为圆域 D(x)：x 2+y22z于是，【试题解析】 本题主要考查三重积分在直角坐标系下的计算方法当积分区域 的边界曲面方程容易用极坐标表示，且积分区域 为柱体，或被积函数为 f(x2+y2)时，三重积分应采用柱坐标变换的换元公式 此时，应注意确定变量r、 的取值范围25 【正确答案】 如图 194 所示， 将曲线 C 分解为C=L1+L2再作另一条曲线 L2 围绕原点且与 C 相接，则26 【正确答案】 设 且 P、Q 在单连通区域 x0 内具有连续的偏导数，由上一题知，曲线积分 在该区域内与路径无关，故当 x0 时，总有于是，x(x)=2(x)这是可分
22、离变量的微分方程解微分方程，得 (x)=cx2由条件 (1)=1，得 c=1，从而(x)=x2 由于曲线积分与路径无关，故可取闭曲线 L：x 2+y2=1根据格林公式，得【试题解析】 证明第一题的关键是如何将封闭曲线 C 与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将 C 进行分解讨论；而第二题中求 (y)的表达式，显然应用曲线积分与路径无关即可本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形27 【正确答案】 利用斯托克斯公式【试题解析】 本题主要考查第一类型曲线积分的求解方法28 【正确答案】 由于a n是单调增加且有界的正数列，则由于a n有界，所以
23、S n有界，故 是正项级数，且其部分和数列有界，因此它收敛29 【正确答案】 30 【正确答案】 将原微分方程化为两边积分得 sinu=lnx+c再将变量代换 代回到上式中，得原微分方程的通解为 其中 c 为任意常数【试题解析】 本题主要考查齐次微分方程的求解方法31 【正确答案】 设变量代换 u=cosy，则原微分方程就化为 这是n=2 时的伯努利方程 令 z=u1 ，代入到上式中，得 这是线性微分方程 利用分离变量的方法，得齐次线性微分方程的通解为 其中 c 为任意常数 利用常数变易法，设非齐次线性微分方程的通解为 代入到线性微分方程中，得 c(x)=x+c于是，线性微分方程的通解为 其中
24、c 为任意常数 最后，再将变量代换 z=u1 代回到原微分方程中去，即得原微分方程的通解为 其中 c 为任意常数 另外，当 u=0 时， (n取整数)也是原微分方程的解【试题解析】 本题主要考查伯努利方程的求解方法在求解微分方程的通解时，有时有的特解并不在其通解中这时，就需要按原微分方程的结构来判定32 【正确答案】 设该微分方程的特解为 y*=y1*(x)+y2*(x)=Axex+(Bcosx+Csinx)，代入到微分方程中，得 B=一 2，c=0 ，从而微分方程的通解为：其中 c1，c 2 为任意常数【试题解析】 本题主要考查二阶非齐次线性微分方程的通解的结构以及解的叠加原理 若 yi*(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y+ay+by=fi(x)的特解(i=1，2)，则 y*=y1*(x)+y2*(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y+ay+by=f1(x)+f2(x)的特解
