1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 147 及答案与解析一、填空题1 设 D 为两个圆 x2y 21 及(x 一 2)2y 24 的公共部分，则 _2 设 D 为 yx 3 及 x一 1，y1 所围成的区域，则 I _3 I xydxdy_4 设 D：0x1，0y1 ，则 I _5 设 I1 ，I 2 ，I 3 ，则这三个积分的大小顺序是_6 设 D 为圆域 x2y 2x，则 I _7 设 L 是正方形边界：xya(a0)，则I xyds_，Jxds_8 设为平面 yz5 被柱面 x2y 225 所截得的部分，则曲面积分I (xy z)dS_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 若
2、函数 f(x， y)对任意正实数 t，满足 f(tx，ty)t nf(x，y)， (*)称 f(x，y)为 n 次齐次函数设 f(x，y)是可微函数，证明：f(x ，y)为 n 次齐次函数(*)10 计算 I dxdy，其中 D 为曲线 ylnx 与两直线 y0，y(e1)一 x 所围成的平面区域11 计算，I dxdy，其中 D 是以 O(0，0)，A(1，1)，B(一 1，1)为顶点的三角形区域12 计算 I ，其中 D：1x 2y 29， y 13 计算 I sin(x 一 y) dxdy，其中 D：0xy2.14 计算 I (xy) 2dxdy，其中 D：xy1.15 计算 I dxd
3、y，其中 D：x0，y0，xy1.16 设 a0 为常数，求积分 I xy2d，其中 D：x 2y 2ax16 改变二重积分的累次积分的顺序17 f(x，y)dy， f(x，y)dy；18 f(x，y)dy， f(x，y)dy；19 f(x，y)dy；20 极坐标系下的累次积 f(rcos，rsin)rdr20 求下列二重积分的累次积分21 22 考研数学一（高等数学）模拟试卷 147 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 0【试题解析】 D 关于 x 轴对称，被积函数对 y 为奇函数 I0【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 0【试题解析】 D 如图 91 所示添加辅助线 y一 x3(x0
4、)，将 D 分解成DD 1D2，其中 D1 关于 y 轴对称，D 2 关于 x 轴对称，被积函数对 x，y 均为奇函数【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 【试题解析】 区域如图 92 所示，由对称性与奇偶性 其中D1：0y1x，0x1 于是【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 【试题解析】 D 关于直线 yx 对称 与原式相加【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 I 3I 1I 2【试题解析】 比较，I 1 与 I2，被积函数是相同的连续非负函数，积分区域圆域(x2y 21)包含在正方形区域(x1，y1)中 I1I 2比较 I1 与 I3，积分区域相同，被积函数均是连续的，比较它们知
5、x4y 4 2x2y2 I1I 3 因此I3I 1I 2【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 D 如图 93用极坐标变换，D 的极坐标表示：于是【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 0，【试题解析】 L 如图 94，它关于 x(或 y)轴对称，f(x，y)xy 对 y(或 x)为奇函数L 关于直线 yx 对称(变量的轮换对称性) J Lxds Lyds【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 用的方程简化被积表达式得其中 xdS0，因为 关于 yz 平面对称，被积函数 x 对 z 为奇函数 的一个单位法向量 n(cos，cos ，cos) (0，1，1) ，的面积
6、 因此 I5 的面积125 【知识模块】 高等数学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 设 f(x，y) 是 n 次齐次函数，按定义，得 f(tx，ty) t nf(x，y)( t0)为恒等式将该式两端对 t 求导，得 xf1(tx，ty) yf2(tx，ty)nt n1f(x，y)( t0)，令 t1，则 xfx(x，y)yf y(x，y)nf(x ，y)现设上式成立考察 (t)，由复合函数求导法则可得 (t) xf1(txty)yf 2(tx，ty)f(tx，ty) txf1(tx，ty)tyf 2(tx，ty) nf(txty)0，即 (t)为常数，(t)(
7、1)f(x，y) ，即 f(tx，ty)t nf(x，y)【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 ylnx 与 y(e1) 一 x 的交点是 (e，1)，D 如图 95 所示，在Oxy 坐标系中选择先 x 后 y 的积分顺序(D 不必分块)得【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 D 如图 96 所示，D 关于 y 轴对称，被积函数对 x 为偶函数其中 D1Dx0选择先 x 后 y 的积分顺序【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 令 xrcos，yrsin，则 D：1r3 ， 于是【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 (内层积分作变量替换后用分部积分法)【知识模块】 高等数学14
8、【正确答案】 D 关于 x，y 轴均对称，它在第一象限部分记为 D1，如图 98【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 极坐标变换 xrcos，yrsinD：【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 D 是圆域(如图 910)： 作极坐标变换xrcos ，y rsin，并由 D 关于 x 轴对称，x 轴上方部分为D1：0 ，0racos于是【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 如图 911 所示原式 f(x，y)dxddy f(x，y)dx【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 如图 912 所示原式【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 如图 913 所示当 x0，t 2时， t(t0)，于是【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 在直角坐标系 Or 中画出 D的草图(如图 914)原积分 f(rcos， rsin)drd由 r 得 r2sin2 r2sin2sin(2)于是 2 arcsinr2， arcsinr2因此 原积分 f(rcos，rsin)rd【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 如图 91 5 所示【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 如图 916 所示 R2ln(1R 2)R2 ln(1R 2) (1 R2)ln(1R 2)R2【知识模块】 高等数学
