1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 164 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)=x3 一 3x+k 只有一个零点，则 k 的范围为( )（A）k1（B） k1（C） k2（D）k22 在曲线 y=(x1) 2 上的点 (2，1)处作曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的域为 D(y0) ，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为( )3 设 收敛，则下列正确的是( )4 微分方程 y一 4y=x+2 的通解为( )5 f(x)= 则 f(x)在 x=0 处( )（A）不连续（B）连续不可导（C）可导但 f(x)在 x=0 处
2、不连续（D）可导且 f(x)在 x=0 处连续二、填空题6 _7 当 x0 时，xsinxcos2xcx k，则 c=_， k=_8 设 f(x)的一个原函数为 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求 10 求 11 设 f(x)连续，且对任意的 x，y (一 ，+) 有 f(xy)=f(x)+f(y)+2xy ，f (0)=1，求f(x)12 设 f(x)=0x dt，讨论 f(x)的单调性、凹凸性、拐点、水平渐近线13 求 14 计算 15 设 a，b 为非零向量，且b=1 ， 16 设 f(x，y)= ，试讨论 f(x，y)在点(0，0) 处的连续性，可偏导性和可微
3、性17 把 f(x，y)dxdy 写成极坐标的累次积分，其中D=(x，y) 0x1，0yx18 计算曲线积分 ，其中 L 为不经过原点的逆时针光滑闭曲线19 求幂级数 的收敛域20 f(x)= ，求 f(x)的间断点并分类21 当 x0 时，证明： 21 设 f(x)在( 一 a，a)(a0)内连续，且 f(0)=222 证明：对 0xa ，存在 01，使得 0xf(t)dt+0x f(t)dt=xf(x)一 f(一 x)；23 求 24 设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0证明：f(x) abf (x)dx(a xb)25 设 f(x，y)= (1)f(x ，y) 在点
4、(0，0)处是否连续? (2)f(x，y)在点(0，0)处是否可微?26 设 f(x)为连续函数，计算 ，其中 D 是由 y=x3，y=1，x=一 1 围成的区域27 设 an=01x2(1 一 x)ndx，讨论级数 an 的敛散性，若收敛求其和28 位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x， y)处的曲率与 及 1+y2 之积成反比，比例系数为 k= ，求 y=y(x)考研数学一（高等数学）模拟试卷 164 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 ，令 f(x)=3x23=0，得
5、 x=1，f (x)=6x，由 f(一 1)=一 60，得 x=一 1 为函数的极大值点，极大值为 f(一 1)=2+k，由 f(1)=60，得 x=1 为函数的极小值点，极小值为 f(1)=一 2+k，因为 f(x)=x3 一 3x+k 只有一个零点，所以2+k0 或一 2+k0，故k2，选(C)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 过曲线 y=(x 一 1)2 上点(2，1)的法线方程为 y= x+2，该法线与 x轴的交点为(4，0) ，则由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域 D 绕 x 轴旋转一周所得的几何体的体积为 V=12(x 一 1)4dx+24 ，选 (D)【知
6、识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 微分方程 y一 4y=0 的特征方程为 2 一 4=0，特征值为一 2，2，则方程 y一 4y=0 的通解为 C1e2x +C2e2x，显然方程 y一 4y=x+2 有特解 ，选(D)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题6 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 c= ，k=3【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
7、算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 当 x=y=0 时，f(0)=2f(0)，于是 f(0)=0对任意的 x(一，+) ，则 f(x)=x2+x+C，因为 f(0)=0，所以 C=0，故 f(x)=x+x2【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 x=1 为被积函数的无穷间断点，则【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 D=【知识模块】 高等数学18 【
8、正确答案】 (1)当 O(0，0) 在 L 所围成区域的外部时，由格林公式 (2)当 O(0，0) 在 L 所围成区域的内部时，作 Cr：x 24y 2=r2(其中 r0，C r 在 L 内部，方向为逆时针方向)，再令由 L 和 Cr 所围成的区域为 Dr，由格林公式【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 x=k(k=0，一 1，一 2，) 及 x=1 为 f(x)的间断点【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt+0x f(t)dt，显然 F(x)在0，x上可导，且 F(0)=0，由微分中值定理，存在 01，使得 F(x)=F(x)一 F(0)=F(x)x，即 0xf(t)dt+0x f(t)dt=xf(x)一 f(x) 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 =A，由 0xf(t)dt 0x f(t)dt=xf(x)一 f(-x)，得【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 设 f(x)的一个原函数为 F(x)，则【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
