1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 169 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0，1时，f (x)0，则 f(0)，f (1)，f(1)一 f(0)的大小次序为( ) （A）f (0)f(1)一 f(0)f (1)（B） f(0)f (1)f(1)一 f(0)（C） f(0)f (1)f(1)一 f(0)（D）f (0)f(1)一 f(0)f (1)2 下列说法正确的是( ) 3 设 f(x)二阶连续可导， ，则( )（A）f(2)是 f(x)的极小值（B） f(2)是 f(x)的极大值（C） (2，f(2)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(2)
2、不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点4 设 g(x)=0xf()d，其中 f(x)= 则 g(x)在(0，2)内( )（A）单调减少（B）无界（C）连续（D）有第一类间断点二、填空题5 设函数 f(x)在0，1上连续，且 f(x)0，则 =_6 设 f(x)一阶连续可导 f(0)=0，f (0)0，则 =_7 设曲线 L： (x2+2y2z)ds=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 求 9 设 =2，求 a，b 的值10 设 11 设 f(x)在a，b上可阶可导且 f(x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数12 求 13 求 14 设
3、 f(x)在区间0，1上可导， f(1)=20 x2f(x)dx证明：存在 (0，1) ，使得2f()+f()=015 求经过点 P1(5，一 4，3)和 P2(一 2，1，8)及直线 L： 与平面 ：xy+z=0交点的平面方程16 设 =f(x+y，x 2+y2)，其中 f 二阶连续可偏导，求 17 求 I= 18 计算 I= (x2+y2z)dS，其中 S 是圆锥面 z= 介于 z=0 与 z=1 之间的部分19 求幂级数 nxn1 的和函数20 求微分方程(yx 3)dx 一 2xdy=0 的通解21 求极限 22 设 f(x)在0，+)内二阶可导，f(0)=一 2，f (0)=1，f
4、(x)0证明：f(x)=0 在(0，+) 内有且仅有一个根23 求曲线 y=3 一x 2 一 1与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y=3 旋转所得的旋转体的体积23 设直线 24 证明：直线 L1，L 2 为异面直线；25 求平行于 L1，L 2 且与它们等距离的平面26 设函数 z=f()，方程 =()+yxP(t)dt 确定 为 x，y 的函数，其中 f()，() 可微，P(t)， ()连续，且 ()1，求 27 设 f(x)在区间a，b上满足 af(x)b，且有f (x)q1，令 n=f(n1 )(n=1，2，)， 0a，b，证明：级数 (n1 一 n)绝对收敛28 某人的食量是 2500
5、 卡天，其中 1200 卡天用于基本的新陈代谢，在健身运动中，他所消耗的为 16 卡千克天乘以他的体重，假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10000 卡，求该人体重怎样随时间变化考研数学一（高等数学）模拟试卷 169 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由拉格朗日中值定理得 f(1)一 f(0)=f(c)(0c 1)，因为 f(x)0，所以 f(x)单调增加，故 f(0)f (c)f (1)，即 f(0)f(1)一 f(0)f (1)，应选(D) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】
6、 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在(0 ，2)内只有第一类间断点，所以 g(x)在(0，2)内连续，选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 2a 3【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 由 ln(12x3x 2)=(2x3x 2) o(x 2)=2xx 2o(x 2)得
7、=2 则 a=2，b1=2，即 a=2，b=1【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 对任意的 x1，x 2(a，b)且 x1x2，取 x0= ，由泰勒公式得 f(x)=f(x0)+f(x0)(xx 0)+ (x-x0)2，其中 介于 x0 与 x 之间因为 f(x)0，所以 f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)，“ 一”成立当且仅当“x=x 0”，【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 (x)=x2f(x)，由积分中值定理得 f(1)=20 x2f(x)d
8、x=c2f(c)，其中 c0， ，即 (c)=(1)，显然 (x)在区间0，1上可导，由罗尔中值定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()=0而 (x)=2xf(x)+x2f(x)，所以 2f()+2f()=0，注意到 0，故 2f()+f()=0【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 令 =t 得 x=2+t，y=1t，z= 一 3t，代入 xy+z=0 中得 t=1，则直线 L： 与平面 ：x-y+z=0 交点为 M(3，0，一 3)， ，所求平面方程为一 50(x 一 5)一 52(y+4)一 18(z 一 3)=0，即 25x+26y+9z 一 48=0【知识模块】 高等数学16
9、 【正确答案】 =f11+2xf12+2f22x(f 21+2xf22)=f11+4x2f124x 2f222f 2， =f11+zyf12+2f2+2y(f21+2yf22)=f11+4yf12+4y2f22+2f2， =2f11+4(x+y)f12+4(x2+y2)f22+4f2【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 曲面 S： z= 在 xOy 平面上的投影为 D：x 2+y21，【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】
10、 因为 f(x)0，所以 f(x)单调不减，当 x0 时，f (x)f(0)=1当x0 时，f(x)-f(0)=f ()x，从而 f(x)f(0)+x，因为 f(0)+x=+，所以 f(x)=+由 f(x)在0 ，+)上连续，且 f(0)=一 20， f(x)=+，则 f(x)=0 在(0，+) 内至少有一个根，又由 f(x)10，得方程的根是唯一的【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕 y=3 旋转所成的体积当 x0 时，y= ，dV 1=3 2 一3 一 (x2+2)2dx=(2x 2 一 x4+8)dx，V 1=01dV1=01(2x2
11、一 x4+8)dx= ，dV 2= 32 一3 一(4 一 x2)2dx=(2x 2一 x4+8)dx，V 2=12dV2=12(2x2 一 x4+8)dx= 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 M 1(1，0，一 1)L1，M 2(一 2，1，2)L 2， =一 3，1，3，s1=一 1，2，1，s 2=0，1，一 2，s 1s2=一 5，一 2，一 1，因为(s1s2) =一 5，一 2，一 1一 3，1， 3=100 ，所以 L1，L 2 异面【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 与 L1，L 2 同时平行的平面的法向量为 n=s1s2=一 5，一 2，一1，设与 L1，L 2 等距离的平面方程为 ：5x2y+z+D=0 ，则有 ，解得 D=1，所求的平面方程为 ：5x+2y+z+1=0【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 由 n 1 一 n=f( n)一 f(n1 )= f (1) n 一n1 q n 一 n1 q 2 n1 n2 q n 1 一 0【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 输入率为 2500 卡天，输出率为(1200+16)，其中 为体重，【知识模块】 高等数学
