1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 183 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 时，下列无穷小中，阶数最高的是( )（A）ln(1+x 2)一 x2（B） +cosx 一 2（C） 0x2ln(1t 2)dt（D） 1x 22 累次积分 0 d0cosrf(rcos，rsin)dr 等于( )二、填空题3 01 dx=_4 设 z=f(x2+y2+z2，xyz)且 f 一阶连续可偏导，则 =_5 设 I= dx+xdy，其中 L 是椭圆 4x2+y2=1，L 为逆时针方向，则 I=_6 设 =_7 设点 M1(1，一 1，一 2)，M 2(1，0
2、，3)，M 3(2，1，2)，则点 M3 到向量 的距离为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 9 求 f(x)= 的间断点并判断其类型10 讨论 f(x)= ，在 x=0 处的可导性11 设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 0f(t)dt+( 一 1)f()=012 求 13 求 22(3x 1)max2，x 213 设 f(x)为连续函数，证明：14 0(sinx)dx= 0f(sinx)dx=0 f(sinx)dx；15 02f(six)dx=4 0 f(sinx)dx16 求 0 dx17 设曲线 =1(0a4)与 x 轴、y 轴所围成的图形绕
3、x 轴旋转所得立体体积为V1(a)，绕 y 轴旋转所得立体体积为 V2(a)，问 a 为何值时，V 1(a)+V2(a)最大，并求最大值18 试求 z=f(x，y)=x 3+y3 一 3xy 在矩形闭域 D=(x，y)0x2，一 1y2上的最大值、最小值19 计算 I= 被 z=1 和 z=2 截得部分的下侧20 判断级数 的敛散性21 设函数 f(x)以 2 为周期，且其在一 ，) 上的表达式为 f(x)=x，求 f(x)的傅里叶级数，并求 的和22 求微分方程 yy=y2 满足初始条件 y(0)=y(0)=1 的特解23 求 24 设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足 f(
4、x)2e x(x-1) 2，研究函数f(x)在 x=1 处的可导性25 设 f(x)二阶连续可导，且 f(x)0，又 f(xh)=f(x)+f (x+h)h(001)证明：26 计算 0 27 计算曲面积分 (x3+z)dydz+(y3+x)dzdx+dxdy，其中 是曲线 (x1) 绕x 轴旋转一周所得到的曲面，取外侧28 设 n0，且 =q 存在证明：当 q1 时级数 发散考研数学一（高等数学）模拟试卷 183 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 积分所对应的直角坐
5、标平面的区域为 D：0x1 ，0y ，选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 【试题解析】 z=f(x 2+y2+z2，xyz) 两边对 x 求偏导得【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 0【试题解析】 当 x=0 时，t=0；当 t=0 时，由 y+ey=1，得 y=0【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 =6，5，1，由点 M1，M 2，M 3 构成的三角形的面积为，设所求距离为 d，又 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程
6、或演算步骤。8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 x=1、x=0、x=1、x=2 为 f(x)的间断点【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 令 (x)=x0xf(t)dt0xf(t)dt 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()=0 而 (x)=0xf(t)dt+(x 一 1)f(x)，故 0f(t)dt+( 一 1)f()=0【试题解析】 由 0xf(t)dt+(x 一 1)f(x)=0，得 0xf(t)dt+xf(x)一 f(x)=0，从而(x 0xf(t)dt一 0xf(t)dt)=0，辅助函
7、数为 (x)=x0xf(t)dt 一 0xf(t)dt【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 因为(3+sinxcosx) =cos2x，【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 2 2(3x 1)max2，x 2dx=2 2max2，x 2dx=2 02max2，x 2dx，【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 I=0xf(sinx)dx，则 I=0xf(sinx)dx 0(t)f(sint)(一 dt)=0(一 t)f(sint)dt=0( 一 x)f(sinx)dx=0f(sinx)dx0xf(sinx)dx=0f(sinx)dxI，则I=0xf(sinx
8、)dx= 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 02f(sinx)dx= f(sinx )dx=2 0f(sinx)dx=2 0f(sinx)dx=40 f(sinx)dx【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 当(x，y)为区域 D 内时，由 f(1，1)=1；在 L1：y=一1(0x2)上，z=x 3+3x 一 1，因为 z=3x2+30，所以最小值为 z(0)=一 1，最大值为z(2)=13；在 L2：y=2(0x2) 上，z=x 3 一 6x+8，由 z=3x2 一 6=0 得 ，z(2)=4；在
9、 L3：x=0(一 1y2)上，z=y 3，由 z=3y2=0 得 y=0，z(一 1)=一 1，z(0)=0，z(2)=8；在 L4：x=2(一 1y2)上，z=y 3 一 6y+8，由 z=3y2 一 6=0 得 ，z(2)=4，故z=x3+y3 一 3xy 在 D 上的最小值为一 1，最大值为 13【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 令 1：z=1(x 2+y21)取下侧， 2：z=2(x 2+y24)取上侧，【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 把 x=1 代入不等式中，得 f(1)=2e当 x1 时，不等式两边同除以x 一 1，得【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由泰勒公式得【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 曲面：z=1 一 x2y2(z0)，补充曲面 0：z=0(x 2+y21)，取下侧，由高斯公式得【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
