1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 188 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x1 时，f(x)= 的极限为( )（A）2（B） 0（C） （D）不存在但不是二、填空题2 设 f(x)为奇函数，且 f(1)=2，则 f(x3) x1 =_3 设 f(x)= 则 1 5f(x 一 1)dx=_4 若 ，则a b=_5 设 f(x，y， z)=exyz2，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则fx(0，1，一 1)=_6 01dy0y2cos(1 一 x)2dx=_7 x2ydx+xy2dy=_，其中 L：x+y=1，方向取
2、逆时针方向8 的通解为_9 设 f(x)= ，在 x=1 处可微，则 a=_， b=_10 设 f(x)为连续函数，且满足 01f(xt)dt=f(x)+xsinx，则 f(x)=_11 设函数 z=f(x，y)在点(0，1)的某邻域内可微，且 f(x，y+1)=1+2x+3y+o()，其中= ，则曲面：z=f(x，y)在点(0，1) 的切平面方程为_12 微分方程 y一 xey + =0 的通解为_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 14 设 y=f( )，且 f(x)= lnx，求 y15 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，f(a)=f(b)，
3、且 f(x)在a，b上不恒为常数，证明：存在 ，(a ，b)，使得 f()0，f ()016 求 17 求 0nxcosxdx17 设直线 y=kx 与曲线 y= 所围平面图形为 D1，它们与直线 x=1 围成平面图形为 D2。18 求 k，使得 D1 与 D2 分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V1 与 V2 之和最小，并求最小值；19 求此时的 D1+D220 对右半空间 x0 内的任意光滑有侧封闭曲面，有 f(x)dydzxyf(x)dzdze2xzdxdy=0，其中 f(x)在(0 ，+) 内具有一阶连续的偏导数，且 f(0+0)=1，求 f(x)21 判断级数 的敛散性22 求微分
4、方程 y+2y一 3y=(2x+1)ex 的通解23 已知 ，求 a，b 的值24 设 f(x)Ca，b，在(a ，b)内可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ， (a，b)，使得2e2 =(ea+eb)f()+f()25 设 f(x)=0xecostdt，求 0f(x)cosxdx26 计算 27 设函数 f(x，y)在 D：x 2+y21 有连续的偏导数，且在 L：x 2+y2=1 上有 f(x，y)0证明： f(0，0)= dxdy，其中 Dr：r 2x2y 2128 讨论级数 dx 的敛散性考研数学一（高等数学）模拟试卷 188 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个
5、选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题2 【正确答案】 6【试题解析】 因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)为偶函数，由 f(x3)=3x2f(x3)得f(x3) x=1 =3f(一 1)=3f(1)=6【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 ln3【试题解析】 1 5f(x 一 1)dx=1 5f(x 一 1)d(x 一 1)=2 4f(x)dx【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 【试题解析】 由a+b 2=(a+b)(a+b)=a 2+b 2+2ab=13+19+2ab=24，得ab=一 4，则a 一 b 2=(a 一 b)(ab)=a
6、2+ b 2 一 2ab=13+19+8=40，则a 一 b = 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 0【试题解析】 令 L1：y=1 一 x(起点 x=1，终点 x=0)，L 2：y=1+x(起点 x=0，终点x=一 1)，L 3：y= 一 1 一 x(起点 x=一 1，终点 x=0)，L 4：y=一 1+x(起点 x=0，终点x=1)， =10x2(1 一 x)x(1 x) 2dx+01 x2(1+x)+x(1x) 2)dx 1 0x 2(1x)一 x(1 x)2dx+01x2
7、(x1)+x(x 1) 2dx=0【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 a=2，b=-1【试题解析】 因为 f(x)在 x=1 处可微，所以 f(x)在 x=1 处连续，于是 f(10)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即 a+b=1又 f (1)= =2，f (1)= =a，由 f(x)在 x=1 处可微得 a=2，所以 a=2，b=一 1【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 f(x)=cosx 一 xsinx+C【试题解析】 由 01f(xt)dt=f(x)+xsinx，得 01f(xt)d(xt)=xf(x)+x2sinx，
8、即 0xf(t)dt=xf(x)+x2sinx，两边求导得 f(x)=一 2sinx 一 xcosx，积分得 f(x)=cosx 一xsinx+C【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 切平面方程为 ：2(x 一 0)3(y 一 1)一(z 一 1)=0，即：2x3yz 一 2=0【试题解析】 由 f(x，y1)=12x+3yo()得 f(x，y)在点(0，1)处可微，且f(0，1)=1， =3，而曲面：z=f(x，y)在点(0，1，1)的法向量为n= =(2，3，一 1)，所以切平面方程为 ：2(x 一 0)3(y 一 1)一(z 一 1)=0，即：2x 3yz 一 2=0【知识模块】 高
9、等数学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 y = 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上不恒为常数且 f(a)=f(b)，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=f(b)，不妨设 f(c)f(a)=f(b) ，由微分中值定理，存在 (a，c)，(c， b)，使得 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 0nxcosx dx= 0xcosxdx 2xcosxdx (n1)nxcosx
10、dx0xcosxdx= =， 2xcosx dx 0(t) costdx= 0tcostdt 0cost dt2 3， 23xcosxdx 0(t2)costdt=0t costdt2 0costdt=5，则 0nxcosx dx=3(2n1)=n 2【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 由高斯公式得 xf(x)dydzxyf(x)dzdxe2xzdxdy= xf(x)+(1 一 x)f(x)一 e2xd=0，当曲面法向量指向外侧时取正号，当曲面的法向量指向内侧时取负号由的任意性得 x
11、f(x)+(1-x)f(x)一 e2x=0(x0)，或者 f(x)+ ，则【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 特征方程为 2+2 一 3=0，特征值为 1=1， 2=一 3，则 y+2y一3y=0 的通解为 y=C1ex+C2e3x ，令原方程的特解为 y0=x(ax+b)ex，代入原方程得，所以原方程的通解为 y=C1ex+C2e3x+ (2x2+x)ex【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 令 (x)=exf(x)，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 即2e2=(ea+eb)ef()+f()，或 2e2 =(ea+eb)f()+f()【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 0f(x)cosxdx=0f(x)d(sinx)=f(x)sinx 0 0f(x)sinxdx= 0ecosxsinxdx=ecosx 0=e1 e【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
