1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 200 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f“(x)0，f(x)0，则当 x0 时有( )（A）f“(x)0，f(x)0（B） f“(x)0，f(x)0（C） f“(x)0，f(x)0（D）f“(x)0，f(x)02 设 k0，则函数 f(x)=lnx +k 的零点个数为( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个3 设 =05xsinttdt，= 0sinx(1+t)1t dt，则当 x0 时，两个无穷小的关系是( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）
2、同阶非等价无穷小（D）等价无穷小二、填空题4 设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f(0)0 ，则5 设 y=y(x)由 yexy+xcosx1=0 确定，求 dy|x=0=_6 7 设点 M1(1，1，2)，M 2(1，0，3)，M 3(2，1，2)，则点 M3 到向量 的距离为_8 设 z=f(x，y)二阶可偏导， =2，且 f(x，0)=1 ， fy(x，0)=x ，则 f(x，y)=_9 设级数 条件收敛，则户的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 11 12 求 的最大项13 当 x0 时，证明：14 就 k 的不同取值情况，确定方程 x33x+
3、k=0 根的个数15 计算 0 dx(a1)15 设 S(x)=0x|cost|dt16 证明：当 nx(n+1) 时，2nS(x)2(n+1) ：17 求 S(x)x18 设 f(x)在0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明：19 设 f(x)在0，1 上连续，且 f(1)f(0)=1证明： 01f2(x)dx120 设 ：x=x(t)，y=y(t)(t)是区域 D 内的光滑曲线，即 x(t)，y(t)在( ，)内有连续的导数且 x2(t)+y2(t)0，f(x，y) 在 D 内有连续的偏导数若 P0 是函数f(x，y)在 上的极值点，证明：f(x，y)在点 P0 沿 的切线方向的方向
4、导数为零21 计算 dxdy，其中 D=(x，y)|0x1，0y122 交换积分次序并计算 0adx0x dy(a0)23 设 f(x)二阶连续可导，且曲线积3f(x)2f(x)+xe 2xydx+f(x)dy 与路径无关，求f(x)24 设u n，c n为正项数列，证明：(1)若对一切正整数 n 满足 cnunc n+1un+10，且1c n 发散，则 un 也发散； (2)若对一切正整数 n 满足 cn c n+1a(a0)，且 1c n 收敛，则 cn 也收敛24 设 f(x)= ann!x n，且 a0=1，a n+1=an+n(n=0，1，2，)25 求 f(x)满足的微分方程；26
5、 求 ann!27 将函数 f(x)=x1(0x2)展开成周期为 4 的余弦级数28 设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f(0)=1，且xy(x+y)f(x)ydx+f(x)+x 2ydy=0 为全微分方程，求 f(x)及该全微分方程的通解29 早晨开始下雪，整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 1km，问降雪是什么时候开始的?考研数学一（高等数学）模拟试卷 200 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)为二阶可导的奇函数，所以 f(x)=
6、f(x)，f(x)=f(x)，f“(x)=f“(x)，即 f(x)为偶函数，f“(x)为奇函数，故由 x0 时有 f“(x)0，f(x)0，得当 x0 时有 f“(x)0，f(x)0，选(A)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 函数 f(x)的定义域为(0 ，+) ，由 f(x)= =0 得 x=e，当0xe 时， f(x)0；当 xe 时，f(x)0，由驻点的唯一性知 x=e 为函数 f(x)的最大值点，最大值为 f(e)=k0，又 f(x)=，于是 f(x)在(0，+) 内有且仅有两个零点，选(C)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 所以两无穷
7、小同阶但非等价，选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 2dx【试题解析】 当 x=0 时，y=1，将 yexy+xcosx1=0 两边对 x 求导得exy +yexy(y+x )+cosx xsinx=0，将 x=0，y=1 代入上式得 dydx= 2，故dy|x=0=2dx【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 =6，5，1，由点 M1，M 2，M 3 构成的三角形的面积为 设所求距离为d，又【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 y 2+xy+1【
8、试题解析】 由 =2y+(x)，因为 fy(x，0)=x ，所以 (x)=x，即=2y+x，z=y 2+xy+C，因为 f(x，0)=1，所以 C=1，于是 z=y2+xy+1【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 12p12【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 当 x1，2 时有 11x，则 1121xdx，当 x2，3时有121x，则 12 231xdx，当 xn，n+1时有 1n1x，则1n nn+11 xdx，从而有 1+ 1n+11xdx=ln(n+1)又当 x1，2时，12
9、1x，则 12 121xdx，当 x2，3 时，1 31x，则13 231xdx，当 xn1，n时，1n1 x，则 1n n1 n1xdx，从而有 1+ 1+1n1xdx=1+lnn，故 ln(n+1)由夹逼定理得【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 令 f(x)=x1x (x1)，由 f(x)=elnxx 得 f(x)=elnxx ，令 f(x)=0 得 x=e当 x(0，e)时，f(x) 0；当 x(e，+)时，f(x)0，则 x=e 为 f(x)的最大值点，【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 方法一令 f(x)=( +1)ln(1+x)2arctanx，f(0)=0对( +1)
10、x22x+ 1，因为=44( +10，所以( 10，从而 f(x)0(x0) 方法二令 f(x)=arctanx，F(x)=ln(1+x)， 显然 f(0)=0，F(0)=0 由柯西中值定理，存在 (0，x)，使得为 (x)在(0，+)内的最大值点，最大值为【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 f(x)=x33x+k， f(x)=， f(x)=+由 f(x)=3x2 3=0，得驻点为 x1=1，x 2=1f“(x)=6x ，由 f“(1)=6，f“(1)=6，得x1=1 ，x 2=1 分别为 f(x)的极大值点和极小值点，极大值和极小值分别为 f(1)2=+k，f(1)=k2(1)当
11、k2 时，方程只有一个根； (2)当 k=2 时，方程有两个根，其中一个为 x=1，另一个位于(1，+)内；(3)当2k2 时，方程有三个根，分别位于(，1)，(1，1)，(1，+)内；(4)当 k=2 时，方程有两个根，一个位于( ，1) 内，另一个为 x=1；(5)当 k2 时，方程只有一个根【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 =1a(a+1)(a 1)=2a 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 当 nx(n+1) 时， 0n2 |cost|dt0x|cost|dt 0(n+1)|cost|dt， 0n|cost|dt=n0|cost|dt=n 2 2 |
12、cost|dt=2n02 costdt=2n， 0(n+1)|cost|dt=2(n+1)，则2nS(x)2(n+1) 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 由 nx(n+1) ，得【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nTx(n+1)T ，因为 f(x)0，所以 0nTf(t)dt0xf(t)dt0(n+1)Tf(t)dt，即 n0Tf(t)dt0xf(t)dt(n+1)0Tf(t)dt，由注意到当 x+时，n+ ，且【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 由 1=f(1)f(0)= 01f(x)dx， 得 12=1=(01f(x)dx)201
13、12dxf2(x)dx=01f2(x)dx，即 01f2(x)dx1【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 其中 cos，cos 为切线 r 的方向余弦当(x ，y) 时，f(x，y)为 t 的一元函数 fx(t)，t(t)，记 P0 对应的参数为 t0因为 t0 为一元函数 fx(t)，y(t)的极值点，所以 ddtfx(t) ，y(t)=0 在点 P0 处的切向量为x(t 0)，y(t 0)，其对应的单位向量为【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 令 D1=(x，y)|0x1，0yx ， D2=(x，y)|0xy，0y1 ，则【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 于是 0adx0
14、x dy=0af(y)dy=f(a)f(0)【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 因为曲线积分与路径无关，所以有 f“(x)=3f(x)2f(x)+xe 2x，即f“(x)3f(x)+2f(x)=xe 2x，由特征方程 23+2=0 得 1=1， 2=2，则方程 f“(x)3f(x)+2f(x)=0 的通解为 f(x)=C1ex+C2e2x，令特解 f0(x)=x(ax+b)e2x，代入原微分方程得 a=12，b=1，故所求 f(x)=C1ex+C1e2x+( x)e 2x【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 显然 cn 为正项级数(1)因为对所有 n 满足cnunc n+1un+10
15、，于是 cnuncn+1un+1 cnunc 1u10，从而 unc1u11c n因为1c n 发散，所以 un 也发散(2) 因为对所有 n 满足 cn c n+1a，则cnunc n+1un+1aun+1，即 cnun(cn+1+a)un+1，所以 un+1u n，【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 =f(x)+xex 则f(x)满足的微分方程为 f(x)f(x)=xe x，f(x)=xe xedx dx+Ce dx =ex( +C)因为a0=1，所以 f(0)=1，从而 C=1，于是 f(x)=ex( +1)【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 ann!=
16、f(1)=3e2【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 将 f(x)进行偶延拓和周期延拓，a 0=22 02f(x)dx=02(x1)dx=0，bn=0(n=1，2，)，于是 f(x)【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 令 P(x，y)=xy(x+y)f(x)y，Q(x， y)=f(x)+x2y，因为xy(x+y)f(x)ydx+f(x)+x 2ydy=0 为全微分方程，所以 ，即 f“(x)+f(x)=x2，解得f(x)=C1cosx+C2sinx+x22 ，由 f(0)=0，f(0)=1 得 C1=2，C 2=1，所以 f(x)=2cosx+sin3c+x22原方程为xy 2(2cosx+sinx)y+2ydx+(2sinx+cosx+2x+x 2y)dy=0，整理得(xy 2dx+x2ydy)+2(ydx+xdy)2(ycoscrdx+sinxdy)+(ysinxdx+cosxdy)=0，即 d(12x 2y2+2xy2ysinx+ycosx)=0 ，原方程的通解为12y 2+2xy 2ysinx+ycosx=C【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 设单位面积在单位时间内降雪量为 a，路宽为 b，扫雪速度为 c，路面上雪层厚度为 H(t)，扫雪车前进路程为 S(t)，降雪开始时间为 T，则 H(t)=a(tT)，又 bH(t)s=ct，【知识模块】 高等数学
