1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 205 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 x0 时，有 ax3+bx2+cx 0ln(1+2x)sintdt，则 ( )（A）a=1 3 ，b=1，c=0（B） a=13，b=1，c=0（C） a=13，b=1，c=0（D）a=0 ，b=2，c=02 函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是( )3 若由曲线 y=2 ，曲线上某点处的切线以及 x=1，x=3 围成的平面区域的面积最小，则该切线是( ) 4 设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件=0，则( ) （A）f
2、(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内（B） f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上（C） f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上（D）Lf(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上二、填空题5 设 f(x)在( ，+)上可导， f(x)f(x1)，则 a=_6 设 f(x)满足等式 xf(x)f(x)= ，且 f(1)=4，则 01f(x)dx=_7 设函数 z=f(x，y)在点(0，1)的某邻域内可微，且 f(x，y+1)=1+2x+3y+o()，其中= ，则曲面：z=f(x，y)在点(0，1) 的切平面方程为_8 设 a0，f(x)=g(
3、x)= 而 D 表示整个平面，则 I= f(x)g(yx)dxdy=_9 L|y|ds=_，其中 L：(x 2+y2)2=a2(x2=y 2)(a0)10 设 y=y(x)满足 y= x+o(x)，且有 y(1)=1，则 02y(x)dx=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 确定 a，b ，使得 x(a+bcosx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小12 13 设 f(x)在a，b上连续，任取 xia，b(i=1，2，n)，任取ki0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)=(k1+k2+kn)f()14 设
4、 f(x)= 求 f(x)的极值15 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内二阶可导，且 =0，又 f(2)=2132 f(x)dx，证明：存在 (0，2)，使得 f()+f“()=016 设 f(x)在0，+)内二阶可导，f(0)=2，f(0)=1，f“(x)0证明：f(x)=0 在(0，+) 内有目仅有一个根17 设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)=1，f(1)=0，f(2)=53证明：存在(0， 2)，使得 f“()=218 设 f(x)=0xecostdt，求 0f(x)cosxdx19 设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f“(x)0证明：(ba)f( )abf
5、(x)dx f(a)+f(b)20 20 设直线 L： 及 ：xy+2z1=021 求直线 L 在平面 上的投影直线 L0；22 求 L 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程23 计算 dxdy，其中 D 为单位圆 x2+y2=1 所围成的第一象限的部分24 计 Lyzdx+3xzdyxydz，其中 L： ，从 z 轴正向看，L 是逆时针方向25 讨论级数 dx 的敛散性26 设 y=y(x)满足 y=x+y，且满足 y(0)=1，讨论级数 的敛散性27 设 y=y(x)二阶可导，且 y0，x=x(y) 是 y=y(x)的反函数(1) 将 x=x(y)所满足的微分方程 +(y+sinx)(dxdy
6、) 3。变换为 y=y(x)所满足的微分方程， (2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)=3 2 的解27 设函数 f(x)满足 xf(x)2f(x)=x，且由曲线 y=f(x)，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D若 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：28 曲线 y=f(x)；29 曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积考研数学一（高等数学）模拟试卷 205 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 x0 时，ax 3+bx2+cx 0ln(1+2x)si
7、ntdt，得a=0，b=2，选(D) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 存在，但 f(x)在 x=1 处不连续，所以也不可导； (B)不对，因为存在只能保证 f(x)在 x=1 处右导数存在；不一定存在，于是 f(x)在 x=1 处不一定右可导，也不一定可导；存在，所以 f(x)在 x=1 处可导所以选(D) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 曲线 y=2 )处的切线方程为由于切线位于曲线 y=2 的上方，所以由曲线 y=2，切线及 x=1，x=3 围成的面积为当 t(0，2)时，S(t)0；当 t(2，3) 时，S(t)0，则当
8、t=2 时，S(t)取最小值，此时切线方程为选(A) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x，y)的最大点在 D 内，不妨设其为 M0，则有=0，因为 M0 为最大值点，所以 ACB 2 非负，而在 D 内有即 ACB 20，所以最大值点不可能在 D 内，同理最小值点也不可能在 D 内，正确答案为(B)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 1【试题解析】 由 f(x)f(x1)=f() ，其中 介于 x1 与 x 之间，令 x，由 f(x)f(x1)= f()=e2，即 e2a=e2，所以 a=1【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 01
9、f(z)dz=xf(x)|01 01xf(x)dx=f(1) 01f(x)+ dx于是 01f(x)dx=2【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 ：2x+3yz2=0【试题解析】 由 f(x，y+1)=1+2x+3y+o()得 f(x， y)在点(0，1)处可微，且而曲面：z=f(x，y)在点(0，1，1)的法向量为n=( ， 1)0，1，1 =(2，3，1)，所以切平面方程为 ：2(x0)+3(y1)(z 1)=0，即 ：2x+3y z2=0【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 a 2【试题解析】 得 I= f(x)g(yx)dxdy=a 201dxxx+1dy=a2【知识模块】 高等数
10、学9 【正确答案】 2a 2(2 )【试题解析】 L 的极坐标形式为 L：r 2=a2cos2，ds=d【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 2【试题解析】 由y= x+o(x)得函数 y=y(x)可微且 y= ，积分得 因为 y(1)=1，所以 C=0，【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 令 y=x(a+bcosx)sinx，y=1+bsin 2x(a+bcosx)cosx，y“=bsin2x+sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2bsin2x，y“=acosx+4bcos2x，显然 y(0)=0，y“(0)=0，所
11、以令 y(0)=y“(0)=0 得 ，解得 a=43，b=13，故当a=43，b=13 时，x(a+bcosx)sinx 为阶数尽可能高的无穷小【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以 f(x)在a，b上取到最小值 m 和最大值 M，显然有 mf(xi)M(i=1，2，n)，注意到 ki0(i=1，2，n)，所以有 kimkif(xi)kiM(i=1，2 ，n) ，同向不等式相加，得(k 1+k2+kn)mk1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)(k1+k2+kn)M，即m M，由介值定理，存在 a，b，使得
12、即 k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)=(k1+k2+kn)f()【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 因为 f (0)f+(0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导 令 f(x)=0 得 x=1，x=1e当x1 时，f(x)0；当1x0 时，f(x) 0；当 0x1e 时，f(x)0；当x1e 时， f(x)0，故 x=1 为极小值点，极小值为 f(1)=1 ；x=0 为极大值点，极大值为 f(0)=1；x=1e 为极小值点极小值为 f(1e)=(1e) 2e 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 由积分中值定理得 f(2)=2132 f(x)dx=f(c)，其中 c1，
13、12，由罗尔定理，存在 x0(c，2)(1， 2)，使得 f(x0)=0令 (x)=exf(x)，则 (1)=(x0)=0，由罗尔定理，存在(1， x0) (0，2) ，使得 ()=0，而 (x)=exf(x)+f“(x)且 ex0，所以 f()+f“()=0【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 因为 f“(x)0，所以 f(x)单调不减，当 x0 时，f(x)f(0)=1 当x0 时，f(x)f(0)=f()x，从而 f(x)f(0)+x，因为 f(0)+x=+，所以 f(x)=+由 f(x)在0 ，+)上连续，且 f(0)=20， f(x)=+，则 f(x)=0 在(0，+) 内至少有
14、一个根，又由 f(x)10，得方程的根是唯一的【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 方法一先作一个函数 P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得 P(0)=f(0)=1，P(1)=f(1)=0，P(2)=f(2)=53，P(1)=f(1)令 g(x)=f(x)P(x)，则 g(x)在0，2上三阶可导，且 g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在 c1(0，1)，c 2(1，2)，使得g(c1)=g(1)=g(c2)=0，又存在 d1(c1，1)，d 2(1，c 2)使得 g“(d1)=g“(d2)=0，再由罗尔定理，存在 (d1，d 2) (0，2)，使得 g“()=0，而 g“(x)=
15、f“(x)2，所以 f“()=2方法二由泰勒公式，得 两式相减，得 23= ，而 f“(x)C0，2 ，所以存在 (0，2)，使得 f“()=2【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 0f(x)cos=0f(x)d(sinx)=f(x)sinx|0 0f(x)sinxdx = 0ecosxsinxdx=ecosx|0=0=e1 e【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 由泰勒公式得其中 介于 x 与之间，因为 f“(x)0，所以有 两边积分得 令 (x)= f(x)+f(a) axf(t)dt，且 (a)=0，=12(xa)f(x)f()，其中 ax，因为 f“(x)0，所以 f(x)单调
16、不减，于是(x)0(axb)，故(ba)f( )abf(x)dx f(a)+f(b)【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 方法一令 =t，即 x=1+t，y=t，z=1t，将x=1+t，y=t，z=1t 代入平面 xy+2z1=0，解得 t=1，从而直线 L 与平面 的交点为 M1(2，1，0)过直线 L 且垂直于平面 的平面法向量为 s1=1，1，11，1，2=1，3，2 ，平面方程为 1：1(x2)3(y1)2z=0，即1：x3y2z+1=0 从而直线 L 在平面 上的投影直线一般式方程为方法二直线 L 转化成一般式方程为
17、过直线 L 的平面束为 (xy1)+(y+z1)=0，即 x+(1)y+z (+1)=0，当1， 1， 上1 ，1，2，即 =2 时，过直线 L 的平面与平面 垂直，把 =2 代入平面束方程，则与 垂直的平面方程为 1：x3y2z+1=0，直线 L 在平面 上的投影直线为方法三设过直线 L 且与平面 垂直的平面方程为1：A(x1)+By+C(z1)=0 ，则有A ，B，C 1，1，2，A，B，C1，1，1，即 解得 A=C 2，B=3C2，平面1：C 2(x1)+ y+C(z1)=0，即 1：x32z+1=0 从而 L 在平面 的投影直线为【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 设 M(x，
18、y，z)为所求旋转曲面上任意一点，过该点作垂直于 y轴的平面，该平面与相交于一个圆，且该平面与直线 L 及 y 轴的交点分别为M0(x0，y，z 0)及 T(0，y，0)，由|M 2T|=IMT|，得 x02+z02=x2+z2，注意到M0(x0，y，z 0)L，即 =y1=(z 01)1，于是 将其代入上式得：x 2+z2=(y+1)2+(1y) 2，即：x 22y 2+z2=2【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 设由 L 所围成的平面为 ，按右手准则，取上侧n=0，3，1，cos=0，cos= ，由斯托克斯公式得因为 ds= dxdy，D x
19、y：x 2+y24y，所以Lyzdx+3xzdyxydz=2 dxdy=8【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 令 un=01n dx，n=1，2，3，由正项级数的比较审敛法得 dx 收敛【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 由 y=x+y 得 y“=1+y，再由 y(0)=1 得 y(0)=1，y“(0)=2，根据麦克劳林公式，有【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 代入原方程得 y“y=sinx，特征方程为 r31=0，特征根为 r1，2 =1，因为 i 不是特征值，所以设特解为 y*=acosx+bsinx，代入方程得 a=0，b=12，故 y*=12sinx，于是方程的通解
20、为 y=C1ex+C2ex sinx，由初始条件得 C1=1，C 2=1，满足初始条件的特解为 y=exe x sinx【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 由 xf(x)2f(x)= x f(x) f(x)=1 f(x)=x+cx2设平面图形D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V，则 V(c)=01(x+cx2)2dx因为 V“(c)=250，所以c=54 为 V(c)的最小值点，且曲线方程为 f(x)=x x2【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 f(x)=1 x，f(0)=1，曲线 f(x)=x x2 在原点处的切线方程为y=x，则 A=01x(x x2)dx=512【知识模块】 高等数学
