1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 206 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=x3+ax2+bx 在 x=1 处有极小值一 2，则( )（A）a=1 ，b=2（B） a=一 1，b=一 2（C） a=0，b=一 3（D）a=0 ，b=32 设 (xy0)为某函数的全微分，则 a 为( )（A）一 1（B） 0（C） 1（D）23 若正项级数 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性不确定二、填空题4 =_5 =_6 =_7 =_8 0 x5ex2 dx=_9 一平面经过点 M1(2，1，3)及点 M2(3，4，一 1)，且与
2、平面 3xy+6z 一 6=0 垂直，则该平面方程为_10 设 y=y(x)满足 (1+x2)y=xy 且 y(0)=1，则 y(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求 12 求 13 讨论 f(x)= 在 x=0 处的可导性14 证明：当 x0 时， 15 求下列不定积分：16 求 17 求 cos2xdx18 设 f(x)在区间a，b上阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 abf(x)dx=(ba)f()19 设 z= 20 设 =xyz，求 d21 求 maxxy，1dxdy，其中 D=(x，y) 0x2，0y222 求 dxdy，其中 D：x 2+y22
3、23 计算 xdydz+ydzdx+zdxdy，其中是 z=x2+4y2(0z4)的上侧24 判断级数 的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛25 求微分方程 xy+(1 一 x)y=e2x(x0)的满足 =1 的特解26 一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为 r0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 ，求全部融化需要的时间考研数学一（高等数学）模拟试卷 206 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 f (x)=3x2+2ax+b，因为 f(x)在 x=1 处有极小值一 2
4、，所以解得 a=0，b= 一 3，选(C) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 P(x ，y)= 得 a=2，选(D)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 因为收敛，于是绝对收敛，选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 1【试题解析】 0 x5ex2 = 0 x4ex2 d(x2)= 0 x2ex dx= =1【知识模块】 高
5、等数学9 【正确答案】 7x 一 9y 一 5z+10=0【试题解析】 =1，3，一 4，因为所求平面平行于向量 且与平面3xy+6z 一 6=0 垂直，所求平面的法向量为 n=1，3，一 4 3，一 1，6=14，一 18，一 10，所求的平面方程为 14(x 一 2)一 18(y 一 1)一 10(z 一 3)=0，即 7x 一 9y 一 5z+10=0【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 将原方程变量分离得 dx，积分得 lny=，再由 y(0)=1 得 y= 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等
6、数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 因为=f(0)所以 f(x)在x=0 处连续则 f(0)= ，即 f(x)在 x=0 处可导【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 (t)=ln(x+t)，由拉格朗日中值定理得 ln（1 )=ln(x+1)一lnx=(1)一 (0)=()= (0 1)，由 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 (12)sin4xcos3xdx=sin4x(1sin 2x)d(sinx)=(sin4xsin 6x)d(sinx)= sin7x+C【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 因为 l
7、n(x+ )为奇函数，【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 令 F(x)=axf(t)dt，则 F(x)在a，b上三阶连续可导，取x0= ，由泰勒公式得 F(a)=F(x0)+F(x0)(a 一 x0)+ (a一 x0)3， 1(a，x 0)，F(b)=F(x 0)+F(x0)(b 一 x0)+ (b 一x0)3， 2(x0，b)，两式相减得 F(b)一 F(a)=F(x0)(b 一 a)+ F(1)+F(2)，即 abf(x)=(b 一 a) f(1)+f(2)，因为 f(x)在a ，b上连续，所以存在 1， 2 (a，b)，使得 f()= f(1)+f(2)，从而 abf(x)dx=(
8、b 一 a)=f()【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 令 D0= (x，y) x2， y2，则【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 令 (02，0r)，则=02d0rcosrdr=20rd(sinr)=2(rsinr 0 一 0sinrdr)=一 4【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 补充曲面 0：z=4(x 2+4y24)，取该曲面的下侧，所以原式=一 12+8=一 4【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 f(x)=为单调减少的数列，又 收敛，因为发散，故级数 条件收敛【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 原方程化为 y+ ，通解为 y=由【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 设 t 时刻雪堆的半径为 r，则有，于是有 r=kt C 0，由 r(0)=r0，r(3)= ，得 C0=r0，k= ，于是 r= +r0，令 r=0 得 t=6，即 6 小时雪堆可以全部融化【知识模块】 高等数学
