1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 219 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 =05x dt，= 0sinx(1t) dt，当 x0 时， 是 的( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小2 设 a 为任意常数，则级数 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与常数 a 有关二、填空题3 =_4 设 f(x)二阶连续可导，且 =1，f (0)=e，则 =_。5 设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=1，f(2)=3，f (2)=5，则 01xf(2x)dx=_6 设 =f(x，y，z)=e xy
2、z2，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则=_7 设 f(x ，D 为一 x+，一y+，则 f(y)f(x+y)dxdy=_8 设 L：x 2+y2=4，则 (x2+2y)ds=_9 连续函数 f(x)满足 f(x)=30xf(x 一 t)dt+2，则 f(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求 11 设 (x3 sin3x+ax2 +b)=0，求 a，b 的值12 求 0x2(xt)dt13 设当 x0 时，方程 kx =1 有且仅有一个根，求 k 的取值范围14 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，f(a)=f(
3、b)，且 f(x)在a，b上不恒为常数，证明：存在 ，(a ，b)，使得 f()0，f ()015 计算下列不定积分：16 求 17 求 18 设 f(2)= ，f (2)=0， 02f(x)dx=1，求 01x2f(2x)dx18 设 L：y=e x (x0)19 求由 y=ex 、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 x 轴旋转一周而得的旋转体的体积 V(a)20 设 V(c)= ，求 c21 设曲线 y= ，过原点作切线，求此曲线、切线及 x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的表面积22 求经过平面 1：x+y+1=0 与 2：x+2y+2z=0 的交线，且与平
4、面 3：2xy 一 z=0垂直的平面方程23 设 =f(z)，其中 z 是由 z=y+x(z)确定的 x，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数。证明： 24 计算 ，其中 L 为 x2+y2=1 从点 A(1，0) 经过 B(0，1)到 C(一 1，0)的曲线段25 判断级数 的敛散性26 求幂级数 的和函数27 设 f(x)二阶可导，且 0xf(t)dt 0xtf(xt)dt=x，求 f(x)考研数学一（高等数学）模拟试卷 219 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 =5 得 5x；由 cosx=e 得 ex
5、，故 是 的同阶但非等价的无穷小，应选(D) 。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 【试题解析】 由 =1 得 f(0)=0，f (0)=1，【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 1【试题解析】 x+y+z+xyz=0 两边关于 x 求偏导得 1+=0，将 x=0，y=1 ，z= 一 1 代入得=1【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 f(y)f(x+y)= 则 f(y)f(x+y)dxdy=01y
6、dyy 1y (x+y)dx=01 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 8【试题解析】 由对称性得 I= (x22y)ds= x2ds= y2ds，则 I= (x2+y2)ds=ds=8【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 f(x)=2e 3x【试题解析】 由 0xf(xt)dt x0f()(d)= 0xf()d 得 f(x)=30xf()d+2，两边对 x 求导得 f(x)一 3f(x)=0，解得 f(x)=Ce 3dx =Ce3x，取 x=0 得 f(0)=2，则C=2，故 f(x)=2e3x【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】
7、【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 由麦克劳林公式得【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 令 f(x)=kx+ 一 1，f (x)=k 一 (1)当 k0 时，由 f(x)0 得f(x)在(0，+)内单调减少，再由 f(0+0)=+， 0 得 k0 时，f(x) 在(0，+) 内有且仅有一个零点，即方程 kx+ =1 在(0，+)内有且仅有一个根；(2)当 k0 时，令 f(x)=0，解得 x= ，因为 f(x)= 为 f(x)的最小值点，令最小值 m= =0解得=1 在(0，+)内有且仅有一个根【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 因为
8、 f(x)在a ，b上不恒为常数且 f(a)=f(b)，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=f(b)，不妨设 f(c)f(a)=f(b) ，由微分中值定理，存在 (a，c)，(c， b)，使得【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 01x2f(2x)dx= 01(2x)2f(2x)d(2x)= 02x2f(x)dx= 02x2df(x)= x2f(x) 022 02xf(x)dx= 02xdf(x)= xf(x) 02 02f(x)dx= 2f(2)1=0
9、【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 V(a)= 0ae2x dx= (1 一 e2a )【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 由 V(C)=ln2【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 设切点为(a， )，则过原点的切线方程为 y= ，将(a， )代入切线方程，得 a=2， =1，故切线方程为 y= x由曲线 y=在区间1，2 上的一段绕 x 轴旋转一周所得旋转面的面积为S1=122yds=212 切线 y=在区间0，2 上一段绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面面积为 S2=022yds=02x，所求旋转曲面的表面积为 S=S1+S2= 【知识模块】 高等数学22
10、 【正确答案】 设经过两平面 1， 2 交线的平面方程为 ：x+y+1+(x+2y+2z)=0，即 ：(1+)x+(1+2)y+2z+1=0，因为平面 与平面 3：2xyz=0 垂直，所以有1+，1+2，2 2，一 1，一 1=0 ，即 2+2 一 12 一 2=0，解得= ，所求平面方程为 ： x+2y+z+1=0【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 ，z=y+x(z)两边对 x 求偏导得，【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 P(x，y)= ，作上半椭圆 C0：x 2+4y2=1，方向取逆时针， L 与 C0 围成的区域为 D1，C 0 与 x 轴围成的区域为 D2，由格林公式得【
11、知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由 ln(1+x)x(x0)得 ，则原级数为正项级数，由 收敛，由正项级数比较审敛法得 收敛【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 幂级数 nxn1 的收敛半径为 R=1，收敛区间为(一 1，1)令S(x)= lnxn 1，【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 0xtf(xt)dt x0xf()d=xf0xf(t)dt 0xtf(t)dt， 0xf(t)dt+0xtf(xt)dt=x 化为 0xf(t)dt+x0xf(t)dt 一 0xtf(t)dt=x，两边求导得 f(x)+0xf(t)dt=1，两边再求导得 f(x)+f(x)=0，解得 f(x)=Cex ，因为 f(0)=1，所以 C=1，故 f(x)=ex 【知识模块】 高等数学
