1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 221 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 极限 ( )（A）等于 1（B）为 （C）不存在但不是（D）等于 02 设区域 D 由 x=0，y=0 ，x+y= ，x+y=1 围成，若 I1= ln(x+y)3dxdy，I 2= (xy) 3dxdy，I 3= sin3(x+y)dxdy，则( )（A）I 1I 2 I3（B） I2I 3I 1（C） I1I 2I 3（D）I 2I 3 I13 级数 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性不确定二、填空题4 =_5 01sin2xtdt=_6 =_(其中口
2、为常数) 7 设 a，b 为单位向量，且两向量的夹角为 =_8 设 z=z(x，y)由 z+ez=xy2 确定，则 dz=_9 设质点在力 F=2xy， x+2y的作用下从点 O(0，0)沿曲线 L：y=到点 A(2，0)所做的功为_10 yy=1+y2 满足初始条件 y(0)=1，y (0)=0 的解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求 12 设 f(x)= 是连续函数，求 a，b 的值13 设 f(x)连续，且对任意的 x，y (一 ，+) 有 f(xy)=f(x)+f(y)+2xy ，f (0)=1，求f(x)14 证明：当 x0 时，e x 1(1+x)ln(
3、1+x) 15 设 f(x)在a，b上满足f (x)2，且 f(x)在(a ，b)内取到最小值，证明：f (a) +f (b)2(b 一 a)16 计算 17 求 18 设 f(lnx)= ，求f(x)dx 19 设 y=arctan(x 一 1)2，y(0)=0，求 01y(x)dx20 求经过点 P1(5，一 4，3)和 P2(一 2，1，8)及直线 L： 与平面：xy+z=0 交点的平面方程20 设 L1：x 一 1= ，L 2：x+1=y-1=z21 若 L1L2，求 ；22 若 L1，L 2 共面，求 23 设 z=f(x，y)由方程 zyx+xezyx =0 确定，求 dz24 计
4、算 z2ds，其中为锥面 z= 位于 z=2 下方的部分25 将 f(x)= 展开成(x 一 2)的幂级数26 求幂级数 xn 的和函数27 求微分方程 yy=y2 满足初始条件 y(0)=y(0)=1 的特解。考研数学一（高等数学）模拟试卷 221 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为当 xn=(n=1，2，)时，极限不存在但不是，选(C) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 由 x+y1得ln(x+y) 30，于是 I1= ln(x+y)3dxdy0；当x+y1时，由 (x+y)3sin3(xy)
5、0 得 I2I30，故 I2I3I1，应选(B)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 又 单调减少且以零为极限，由莱布尼茨审敛法，级数收敛，而 n时，条件收敛，正确答案为(B)【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 e【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 z+e z=xy2 两边求微分得 d(z+ez)=d(xy2)，即 dz+ezdz=y2dx+2xydy，解得 dz= 【知
6、识模块】 高等数学9 【正确答案】 4【试题解析】 所做的功为 W= L(2xy)dx+(x+2y)dy= (2xy)dx+(x+2y)dy 而 (2xy)dx+(x+2y)dy=一 dxdy=一 ， (2xy)dx+(x+2y)dy=022xdx=4，故 W=4【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 lny =x【试题解析】 令 y=p，则 ，解得 ln(1+p2)=lny2+lnC1，则 1+p2=C1y2，由 y(0)=1，y (0)=0 得y= ，ln y+ +C 2=x，由 y(0)=1 得 C2=0，所以特解为 lny=x 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明
7、过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 f(x)= 因为 f(x)是连续函数，所以 f(一10)=一 1=f(一 1)= (ab 一 1)=f(一 10)=ab，f(1 一 0)=a+b=f(1)= (a+b+1)=f(1+0)=1，解得 a=0，b=1【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 当 x=y=0 时，f(0)=2f(0)，于是 f(0)=0对任意的 x(一，+) ，f(x)= =2x+f(0)=2x+1，则 f(x)=x2+x+C，因为 f(0)=0，所以C=0，故 f(x)=x+x2【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 f(x)=e
8、x 一 1 一(1+x)ln(1+x)，f(0)=0 ，f (x)=ex 一 ln(1+x)一1，f (0)=0；f (x)=ex 一 0(x0)，由 f(x)0(x0)得 f(x)f (0)=0(x0)，再由 f(x)0(x 0) 得 f(x)f(0)=0(x0)，即 ex 一 1(1+x)ln(1+x)【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 因为 f(x)在(a ，b)内取到最小值，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)为f(x)在a，b上的最小值，从而 f(c)=0由微分中值定理得，其中 (a，c) ，(c ，b) ，两式取绝对值得两式相加得f (a)+f (b)2(b 一a)【知识模
9、块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 01y(x)dx=xy(x) 01 一 01xarctan(x1) 2dx=y(1)一 01(x1)arctan(x一 1)arctan(x 一 1)2d(x1) 01arctan(x 一 1)2dx= 01arctan(x 一 1)2d(x1)2= 01arctantdt= 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 令 =t 得 x=2+t，y=1 一 t，z=一 3t，代入 xy+z=0 中得 t=1，则直线 L： 与平面 ：xy+
10、z=0 交点为M(3，0，一 3)，=一 50，一 52，一 18，所求平面方程为一 50(x 一 5)一 52(y+4)一 18(z 一 3)=0，即 25x+26y+9z 一48=0【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 设 L1：x 一 1= ，L 2：x+1=y1=z 垂直，则1，2，1，1，1或 1+2+=0，解得 =一 3【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 s 1=1， 2， ，s 2=1，1，1，s 1s2=1，2， 1， 1，1 =2 一 ，1，一 1，M 1(1，1，1)L 1，M 2(一 1，1，0)L2，p= =2，0，1，L 1，L 2 共
11、面的充分必要条件是(s 1s2)【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 对 zyx+xezyx =0 两边求微分，得 dz 一 dydx+ezyx dx+xezyx (dzdydx)=0，解得 dz= dx+dy【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 曲面在 xOy 平面上的投影区域为 Dxy：x 2+y24【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 幂级数 xn 的收敛半径为 R=+，收敛区间为(， +)【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 令 y=p，则 y=0，当 p=0 时，y=1 为原方程的解；当 p0 时，由 =0，解得 p= =C1y，由 y(0)=y(0)=1 得 C1=1，于是 一 y=0，解得 y=C2edx =C2ex，由 y(0)=1 得C2=1，所以原方程的特解为 y=ex【知识模块】 高等数学
