1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 251 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(t)=01ln dx，则 f(t)在 t=0 处（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导2 设 f(x)在 x=a 处连续，且 f(x)(x a) 4=2，则 f(x)在 x=a 处（A）不可导（B）可导且 f(a)0（C）有极大值（D）有极小值3 设 z=f(x，y)= 则 f(x，y)在点(0，0) 处（A）偏导数存在且连续（B）偏导数不存在，但连续（C）偏导数存在，可微（D）偏导数存在，但不可微4 已知 an0(n=1，2，)，且 (1)
2、 n1 an 条件收敛，记 bn=2a2n1 a 2n，则级数bn（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛或发散取决于 an 的具体形式二、填空题5 6 设 f(x)= n)，则 f(1)=_.7 设 y=ln(1+x2)，则 y(n)(0)=_8 设 f(x)在a ，b上连续可导，f(a)=f(b)=0，且 abf2(x)dx=1，则 abxf(x)f(x)dx=_9 0+ dx=_10 曲线 y2=2x 在任意点处的曲率为_.11 设为平面 y+z=5 被柱面 x2+y2=25 所截得的部分，则曲面积分 I= (x+y+z)dS=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3、11 计算下列各题：12 设 其中 f(t)三阶可导，且 f“(t)0，求dydx，d 2ydx 2，d 3ydx 3；13 14 求无穷积分 J=1+ln(1+ dx.15 证明：arctanx=arcsin (x( ，+)16 求证：e x+ex +2cosx=5 恰有两个根17 设 f(x)在(a，+)内可导，求证： ()若 x0(a，+)，f(x)0(xx 0)，则f(x)=+；( )若 f(x)=A0，则 f(x)=+18 设 f(x)在a，b二阶可导，f(x)0，f“(x)0(x(a，b)，求证：abf(x)dx19 设 f(x)为连续正值函数，x 0，+) ，若平面区域 Rt=(
4、x，y)|0xt ，0yf(x)(t0)的形心纵坐标等于曲线 y=f(x)在0，t上对应的曲边梯形面积与 12 之和，求 f(x)20 设物体 A 从点(0，1) 出发，以速度大小为常数 v 沿 y 轴正方向运动，物体 B 从点(1 ，0) 与 A 同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A，任意时刻 B 点的坐标(x ，y) ，试建立物体 B 的运动轨迹(y 作为 x 的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件21 设 u=yf(x y)+xg(yx) ，求 x22 设 f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且 fy(a，b)0，证明由方程f(x，y)=0 在 x=a 的某
5、邻域所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值 b=(a)的必要条件是：f(a，b)=0，f x(a，b)=0 ，且当 r(a，b)0 时，b=(a)是极大值；当 r(a，b)0 时，b=(a)是极小值其中22 求下列二重积分23 计算 I= dxdy，其中 D 为曲线 y=lnx 与两直线 y=0，y=(e+1)x 所围成的平面区域24 计算 I= dxdy，其中 D 是以 O(0，0)，A(1，1)，B(1，1)为顶点的三角形区域25 设 P(x，y，z)，Q(x， y，z) ，R(x，y，z)在区域 连续，：x=x(t)，y=y(t) ，z=z(t)是 中一条光滑曲线，起点 A，终
6、点 B 分别对应参数 tA 与 tB，又设在 上存在函数 u(x，y，z)，使得 du=Pdx+Qdy+Rdz( 称为 Pdx+Qdy+Rdz 在 的原函数) 求证：I= Pdx+Wdy+Rdz=u|AB.25 将下列函数在指定点展开成幂级数：26 f(x)=arcsinx，在 x=0 处；27 f(x)=lnx，在 x=1 及 x=2 处；28 f(x)= ，在 x=1 处29 设 an0， bn0，(n=1，2，)，且满足 试证：()若级数 an 收敛； () 若级数 bn 发散考研数学一（高等数学）模拟试卷 251 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
7、1 【正确答案】 C【试题解析】 f(0)= 01lnxdx=(xlnxx)| 0+1=1当 t0 时，f(t)因 f(t)=1=f(0) ，故函数 f(t)在 t=0 处连续故 f(x)在 t=0处不可导选(C) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)在 x=a 连续 =f(a)又根据极限的保号性 0，当 0|x a| 时 0，即 f(x)f(a)0因此 f(a)为极小值故选(D) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 由偏导数定义可知这说明fx(0，0)存在且为 0，同理 fy(0，0)存在且为 0所以 f(x，y)在点(0，0)处可微分故选
8、 (C)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 由已知条件 (1)n 1an=a1a 2+a3a 4+a2n1 a 2n+= (a2n1 a2n) (收敛级数的结合律) (*)a2n1 +(a2n1 a 2n)，而 a2n1 发散， (a2n1 a 2n)收敛，故由级数性质知 bn 发散选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 3【试题解析】 =3+0=3【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 f(x)是 2014 个因式的乘积，如果直接使用导数定义求导或者先求导再代值，都比较麻烦其实，当把 x=1 代入每个因式后，只有第一项tan 1=0 ，而其
9、余所有项都不等于 0记 g(x)=(2013)!，于是【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 0【试题解析】 y 为偶函数 y(5)(x)为奇函数 y(5)(0)=0【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 05【试题解析】 因f 2(x)2=f(x)f(x)，所以 abxf(x)f(x)dx=abxdf2(x)2xf 2(x)2| ab abf2(x)dx=12【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 用曲率计算公式 由y2=2x 2yy=2，y=1 y，y“=1y 2y=1y 3.【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 1
10、25 【试题解析】 用的方程简化被积表达式得其中 xdS=0，因为关于 yz 平面对称，被积函数 x 对 x 为奇函数的一个单位法向量 n=(cos，cos，cos)因此 I=5的面积=125 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 J= 1+ln(1+x)lnx dx，而【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 令 f(x)=arctanxarcsin ，则f(x)为常数又 f(0)=0 f(x)0，x( ，+) 【知识模块】 高等数学
11、16 【正确答案】 即证 f(x)=ex+ex +2cosx5 在(，+)恰有两个零点由于 f(x)=exe x 2sinx ，f“(x)=e x+ex 2cosx22cosx0 (x0)， f(x)在( ，+)f(x)在( ，0单调下降，在0，+)单调上升又 f(0)=10， f(x)=+，因此 f(x)在( ，0)与(0，+) 各唯一零点，即在( ，+)恰有两个零点【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 () xx 0，由拉格朗日中值定理， (x0，x)，f(x)=f(x 0)+f()(xx 0)f(x 0)+(xx 0)，又因()因 f(x)=AA20，由极限的不等式性质 x0(a，+
12、)，当 xx 0 时 f(x)A 20，由题( )得f(x)=+【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 联系 f(x)与 f“(x)的是泰勒公式 x0a，b，f(x 0)= f(x)将f(x0)在 xa，b 展开，有 f(x0)=f(x)+f(x)(x0x)+ f“()(x0x) 2( 在 x0 与 x 之间)f(x)+f(x)(x 0x)( a，b，xx 0)两边在a， b上积分得 abf(x0)dx abf(x)dx+abf(x)(x0x)dx= abf(x)dx+ab(x0x)df(x)= abf(x)dx(bx 0)f(b)(x 0a)f(a)+abf(x)dx2abf(x)dx因此
13、 f(x0)(ba) 2 abf(x)dx，即【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 () 列方程按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为而相应的曲边梯形的面积 0tf(x)dx见图 62按题意 即 0tf2(x)dx=20tf(x)dx2+0tf(x)dx (x0) () 转化将方程两边求导，则方程 f2(t)=4f(t)0tf(x)dx+f(t) f(t)=40tf(x)dx+1 (中令 x=0，等式自然成立，不必另加条件)f(x)实质上是可导的，再将方程两边求导，并在 中令 t=0 得 ()求解等价的微分方程的初值问题这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边乘(t)=e4dt e4t 得f(t
14、)e 4t =0，并由初始条件得 f(t)=e4t，即 f(x)=e4x【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 规定 A 出发的时刻 t=0列方程t 时刻 A 位于(0，1+vt)t 时刻B 位于点 (x(t)，y(t) ，B 点的速度 =( x，1+vt y)同向(见图 63)进一步消去 t，可得 y 作为 x 的函数满足的微分方程将 式两边对 x 求导得将它代入得 y=y(x)满足的微分方程为 初始条件y|x=1 =0，dydx| x=1 =1(x=1 时 的斜率为 1)【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 y=(x) 在 x=a 处取得极值
15、的必要条件是 (a)=0按隐函数求导法，(x)满足 fx(x，(x)+f y(x，(x)(x)=0 (*)因 b=(a)，则有 f(a，b)=0，(a)=f x(a，b) f y(a，b)=0，于是 fx(a，b)=0将(*)式两边对 x 求导得 f“xx(x，(x)+f“xy(x，(x)(x)+ fy(x，(x)(x)+f y(x，(x)“(x)=0 ，上式中令 x=a，(a)=b，(a)=0，得 “(a)= f“xx(a，b)f y(a，b)因此当 f“xx(a，b)f y(a，b)0 时，“(a) 0，故 b=(a)是极大值；当 f“xx(a，b)f y(a，b)0 时，“(a)0，故
16、b=(a)是极小值【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 y=lnx 与 y=(e+1)x 的交点是(e，1) ，D 如图 95 所示，在 Oxy坐标系中选择先 x 后 y 的积分顺序(D 不必分块)得【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 D 如图 96 所示，D 关于 y 轴对称，被积函数对 x 为偶函数其中 D1=Dx0选择先 x 后 y 的积分顺序【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由 du=Pdx+Qdy+Rdz 由曲线积分化定积分公式 再由复合函数求导公式得【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 f(x)= 又(1+t) 12令 t=x 2 f(x)=(1x 2)12 f(x)=f(0)+0xf(t)dt这里 f(x)=arcsinx 在 x=1(1)处右(左)连续右端级数在 x=1 均收敛，故展开式在 x=1 也成立【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 f(t)=ln(1+t)= tn (1t1)，f(x)=ln(1+x1)=(x1) n (0x2)，f(x)=ln(2+x 2)=ln2+ln(1+ )【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 由于bn+1这样，根据比较判别法即知：当 bn 发散【知识模块】 高等数学
