1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 254 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)可导，恒正，且 0a xb 时恒有 f(x)xf(x)，则（A）bf(a) af(b)（B） abf(x)x 2f(b)（C） af(a) xf(x)（D）abf(x) x2f(a)2 方程 y“2y+3y=e xsin( x)的特解的形式为3 设 u(x，y) 在 M0 取极大值，且 则二、填空题4 设 f(x)= 在点 x=0 处连续，则常数 a=_5 设 k 为常数，则 )k1=_ 6 曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为_7 8 已知 f
2、(x)= dt，则 01xf(x)dx=_.9 设级数 un 的部分和 Sn= (un+un+1+un+2)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 a0， f(x)在( ， +)上有连续导数，求极限 14a 2a af(t+a)f(ta)dt10 设 f(x)在( ，+)连续，在点 x=0 处可导，且 f(0)=0，令11 试求 A 的值，使 F(x)在(，+) 上连续；12 求 F(x)并讨论其连续性13 设 g(x)在a，b 连续，f(x)在a ，b二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对 x(axb)满f“(x)+g(x)f(x)f(x)=0 求证： f(x)0(x
3、a，b) 13 14 求 f(x)；15 证明：x=0 是 f(x)的极大值点；16 令 xn=1 n，考察 f(xn)是正的还是负的，n 为非零整数；17 证明：对 0，f(x)在(，0 上不单调上升，在0，上不单调下降18 设有一弹性轻绳(即绳本身的重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为 3克的物体，已知此绳受 1 克重量的外力作用时伸长 124 厘米，如果物体在绳子拉直但并未伸长时放下，问此物体向下运动到什么地方又开始上升?19 若 ， 是单位向量且满足 +=0，求以 ， 为边的平行四边形的面积20 设 x=1xf(xy)+y(x+y)，且 f， 具有二阶连续偏导数，求21 求函数
4、u=xy+yz+zx 在 M0(2，1，3)处沿与各坐标轴成等角方向的方向导数21 改变二重积分的累次积分的顺序22 f(x，y)dy(t 0)；23 极坐标系下的累次积分 02 d f(rcos，rsin)rdr24 考虑柱坐标系下的三重累次积分 I=02d 3rdz()将 I 用直角坐标(Oxyz)化为累次积分；( )将 I 用球坐标化为累次积分；()求 I 的值25 求一段均匀圆柱面 S： x2+y2=R2(0zh)对原点处单位质点的引力假设该圆柱面的面密度为 126 设有两条抛物线 y=nx2+ 和 y=(n+1)x2+ ，记它们交点的横坐标的绝对值为an(I)求这两条抛物线所围成的平
5、面图形的面积 Sn；()求级数 Sna n 的和26 设 f(x)=27 求 f(x)以 2 为周期的傅氏级数，并指出其和函数 S(x)；28 29 设 f(x)=sinax，x，a0，将其展开为以 2 为周期的傅里叶级数考研数学一（高等数学）模拟试卷 254 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 (A) ，(B)， (D)分别改写为因此要考 f(x)x 的单调性因为(A)，(B)，(D) 均不对选(C)或由正值函数 f(x)x 在a，b单调上升 xf(x)=f(x)xx 2 在a，b 单调上升(C)对选 (C)【知识模块】
6、高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 关键是求特征根：由 22+3=0 非齐次项 f(x)=exsinx，i=1 i 是特征根选(B)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 偏导数实质是一元函数的导数，把二元函数的极值转化为一元函数的极值由一元函数的极大值的必要条件可得相应结论令 f(x)=u(x，y 0) x=x0是 f(x)的极大值点 (若0，则 x=髫 x0是 f(x)的极小值点，于是得矛盾) 同理，令 g(y)=u(x0，y) y=y0 是 g(y)的极大值点 g“(y0)=d2dy 2u(x0， y) 0因此，选 (C)【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答
7、案】 2【试题解析】 f(x)在 x=0 连续 f(x)=f(0)由于因此a= 2【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 k【试题解析】 =(xk)|x=1=k【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 y=x1【试题解析】 与直线 x+y=1 垂直的直线族为 y=x+c，其中 c 是任意常数，又因y=lnx 上点(x 0，y 0)=(x0，lnx 0)(x00)处的切线方程是y=lnx0+ x+lnx01，从而，切线与 x+y=1 垂直的充分必要条件是1x 0=1 x0=1，即该切线为 y=x1【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 14(e
8、 1 1)【试题解析】 用分部积分法由于 f(x)= (x2)=2x ，故 01xf(x)dx=12 01f(x)dx2=12x 2f(x)|01 01x2f(x)dx =14(e 1 1)注*处由于 f(x)= dt，故 f(1)=0，所以 12x 2f(x)|01=0【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 16【试题解析】 因为 S= =12，所以级数 un 收敛，那么由级数的基本性质有 (un+un+1+un+2) =S+(Su 1)+(Su 1u 2)=3S2u 1u 2由于 u1=S1=1，u 2=S2u 1= 1= 13，则 (un+un+1+un+2)=321 (13)=16【知
9、识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 记 I(a)=114a 2a af(t+a)f(ta)dt，由积分中值定理可得 I(a)=14a 2f(+a)f( a)2a=12af(+a)f(a)， aa因为 f(x)有连续导数，应用拉格朗日中值定理可得 I(a)=12af()2a=f()，a+a于是【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 由变上限积分性质知 F(x)在 x0 时连续为使其在 x=0 处连续，只要 F(x)=A而 故令 A=0 即可【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 当 x0 时 F(x)= 0xtf(t)
10、dt+ xf(x)=1xf(x) 0xtf(t)dt在x=0 处，由导数定义和洛必达法则可得故 F(x)在( ，+)上连续【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 若 f(x)在a ，b上不恒为零，则 f(x)在a，b取正的最大值或负的最小值不妨设 f(x0)= f(x)0，则 x0(a，b)f(x 0)=0，f“(x 0)0 f“(x0)+g(x0)f(x0)f(x 0)0 与已知条件矛盾同理，若 f(x1)= f(x)0，同样得矛盾因此 f(x)0 ( xa，b)【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 当 x0 时按求导法则得当 x=0 时按导数定义得【知识模块】
11、高等数学15 【正确答案】 由于 f(x)f(0)=x 2(2+sin )0(x0)，即 f(x)f(0)，于是由极值的定义可知 x=0 是 f(x)的极大值点【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 xn=1n(n=1 ，2，3 ，)，则 sin =(1) n，于是【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 对 0，当 n 为 负奇数且|n| 充分大时 xn(，0)，f(x 0)0 f(x)在(，0)不单调上升；当 n 为正偶数且 n 充分大时 xn(0，)，f(x n)0f(x)在(0，)不单调下降【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 取物体刚放下时所处位置为坐标原点，建立坐标系，位
12、移 s，向下为正s=?时，移(速度 )=0()受力分析弹性恢复力 f=ks，由条件知g=k1 24 k=24g f=24gs，g 为重力加速度重力 mg=3g()加速度表示由题目的需要，加速度 ()列方程与初始条件由牛顿第二定律得 初始条件：t=0 时 s(0)=0，ds dt| t=0=0 v(s)|s=0=0( )求解初值问题 分离变量得 vdv=(g8gs)ds 12v 2=gs4gs 2+C由 v(0)=0 12v 2=12v 2=gs4gs 2()当物体开始向下运动到它再开始向上运动时，此时 v=0解 gs4gs 2=0 得s=0，s=14因此，s=14 为所求【知识模块】 高等数学
13、19 【正确答案】 记，=0，则面积 S=|=|sin下求 ：由 +=0【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 先求 由于 f(xy)是一元函数 f(u)与二元函数 u=xy 的复合，u是中间变量，(x+y) 是一元函数 (v)与二元函数 v=x+y 的复合，v 是中间变量由题设知 方便，由复合函数求导法则得=f(xy)+(x+y)+y(x+y)，=yf“(xy)+(x+y)+y“(x+y)【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 先求出所设方向的方向余弦设所求方向与各坐标轴的夹角为口，由方向余弦的性质得 cos2+cos2+cos2=1【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学22 【正
14、确答案】 如图 913 所示当 x0，t 2时， t(t0)，于是【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 在直角坐标系 Or 中画出 D的草图(如图 914)当 04 时 =12arcsinr 2；当 42 时02 2，r 2=sin2=sin(2) 于是 2=arcsinr 2，= arcsinr2因此原积分= 01dr f(rcos，rsin)rd【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 () 积分区域： ，(x，y)D xy，其中 Dxy=(x，y)|x2+y22于是 () 是由锥面 z= (球坐标方程为 =4)与上半球面 z= (球坐标方程是 =2)围成 的球坐标表示是：02 ，04
15、，02，于是 I=02d04 d0232sind()用球坐标最为方便I=2 04 sind0232d=2(cos)| 04 3|02=8(2 )【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 () 设引力 F=Fx，F y，F z，由对称性知，F x=0，F y=0因此只需求 F 沿 z 轴的分量 Fz如图 934 ()在圆柱面上任一点(x，y， z)处取一小块曲面元 dS，记 r=x，y，z，r=|r|= 则曲面元对原点处单位质点的引力 ，它沿 z 轴的分量为 dFz=kzr 3dS()圆柱面对原点单位质点的引力的 z 分量 ( )计算曲面积分要投影到 yz 平面(或 zx 平面)来计算圆柱面 S
16、 在 yz 平面的投影区域为 Dyz=(y，z)|0zh，RyR ，曲面 S 的方程为 x= ，曲面微元 dS=dydz，出，记 S1 为前半圆柱面，于是【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 () 由 y=nx2+ 又因为两条抛物线所围图形关于 y 轴对称，所以()利用()的结果【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 其中b2n=0，b 2n 1该傅氏级数的和函数 其中 S(0)=12f(0+0)+f(0 0)J，S()=12f(+0)+f(0)【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 由 S(0)=0 = 212【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 由于 f(x)为奇函数，所以其展开式应为正弦级数如果 a 不是自然数，则 bn=2 0sinaxsinnxdx=1 0cos(na)xcos(n+a)xdxx ，在 x= 时，右端为 0，即其傅里叶级数收敛于 12sina+sin(a)=0 当 a 为自然数时，根据三角函数系的正交性有 f(x)=sinax=sinnx，n=a，x【知识模块】 高等数学
