1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 261 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x) v(x)，并设 都不存在，下列论断正确的是 ( )2 关于函数 y=f(x)在点 x0 的以下结论正确的是 ( )（A）若 f(x0)=0，则 f(x0)必是一极值（B）若 f(x0)=0，则点 x0，f(x 0)必是曲线 y=f(f)的拐点（C）若极限 存在(n 为正整数)，则 f(x)在 x0 点可导，且有（D）若 f(x)在 x0 处可微，则 f(x)在 x0 的某邻域内有界3 两条平行直线 之间的距离为 ( )（A）
2、（B）（C） 1（D）24 设 a，b，c 为非零向量，则与 a 不垂直的向量是 ( )（A）(a.c)b (ab)c（B）（C） ab（D）a+(ab)a5 函数 ( )（A）等于 1（B）等于 2（C）等于 0（D）不存在6 设 D=(x， y)x 2+y20，l 是 D 内的任意一条逐段光滑的简单封闭曲线，则下列第二型曲线积分必有 ( )7 设 则级数 ( )8 设 a0 为常数，则 ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 a 有关9 微分方程(x 2+y2)dx+(y3+2xy)dy=0 是 ( )（A）可分离变量的微分方程（B）齐次方程（C）一阶线性方程（D）全微
3、分方程二、填空题10 由曲线 y=x3，y=0 及 x=1 所围图形绕 x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为_11 =_12 微分方程 满足初值条件 y(0)=0的特解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设函数 f(x)连续可导，且 f(0)=0，F(x)= 0xf(xn 一 tn)dt，求14 数列x n通项15 求下列函数的导数：(1)y=a ax+axx+axa+aaa(a0)；(2)Y=e f(x).f(ex)，其中 f(x)具有一阶导数；(3) (4)设 f(t)具有二阶导数， 求 ff(x)，ff(x) 16 求 的反函数的导数17 防空洞的截面拟建成矩形加半
4、圆(如图 121)，截面的面积为 5 平方米，问底宽 x 为多少时才能使建造时所用的材料最省?18 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0，则存在 (a，b)，使19 求20 设函数 f(x)连续，且 0xtf(2xt)dt= arctanx2已知 f(1)=1，求 12f(x)dx 的值21 设 f(x)在a，b上连续，且 g(x)0，证明：存在一点 a，6，使 abf(x)g(x)dx=f()abg(x)dx22 设 f(x)可导， x+，y023 (1)设 x0 ，y0，z 0，求函数 f(x，y，z)=xyz 3 在约束条件x2+y2+z2=5R2(R0 为常数)下
5、的最大值；(2)由(1)的结论证明：当a0，b0， c0 时，下述不等式成立：24 将 01dx01 xdy0x+yf(x， y，z)dz 化为先 y，再 x，后 z 的三次积分，其中 f 为连续函数25 变换下列二次积分的积分次序：(1) (2)01dy1 y1+y2f(x，y)dx ；26 在密度为 1 的半球体 的底面接上一个相同材料的柱体：hz 0，x 2+y2R2(h0)，试确定 h 值，使整个球柱体的重心恰好落在球心上27 设函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数，且 f(x)=ex(0x2)，其中 0，试将f(x)展开成傅里叶级数，并求级数 的和28 求微分方程 y+2y+y=
6、xex 的通解29 求微分方程 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解考研数学一（高等数学）模拟试卷 261 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 令 当 x0 时可排除 A；令 u(x)=v(x)= ，当 x0 时可排除 B；令 当 x0 时可排除D对于选项(C) ，使用反证法设 存在，由条件均存在，与题意矛盾，故若 必不存在【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 A 不一定，反例：f(x)=x 3，f(0)=0 ，但 x=0 非极值点；B 不一定，需加条件：f(x)在 x0 点两侧异号；C
7、 项所给的只是必要条件，即仅在子列上收敛，这是不充分的【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 连接直线 L1 上点 M1(1，1，0)与直线 L2 上点 M2(2，1，1)的向量为(1 ，0，1)，L 1 的方向向量 =(1，2，1)，则【知识模块】 向量代数与空间解析几何4 【正确答案】 D【试题解析】 已知两向量垂直，则内积为零对于 A，a.(a.c)b(a.b)c=0 ；对于B， 对于 C，a.(ab)=0；对于 D，a.a+(ab)n=a 20，所以答案选择 D【知识模块】 向量代数与空间解析几何5 【正确答案】 C【试题解析】 当 xy0 时， 当(x，y)(0
8、， 0)时，由夹逼准则，可得极限值为 0【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 对于 A 和 B，令(当(x，y)(0，0)所以当 l 不包含 (0，0) 在其内部时，B 不正确若取 l 为 x=cost，y=sint，t 从 0 到2，则 A 中 =02(costsint)(sint)+(cost+sint)costdt=2，所以 A 不正确对于 C 和 D，令(当(x，y)(0，0)当 l 不包含(0，0) 在其内部时， D 不正确，若取 l 为x=cost，y=sin t，不妨认为 t 从 到 ，则所以对于 D 内任意 l， C 正确【知识模块】 多元函数积分学7
9、【正确答案】 C【试题解析】 因为是满足莱布尼茨条件的交错级数，因此是等价无穷小，且调和级数 发散，故选 C【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 A【试题解析】 因绝对收敛【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 D【试题解析】 由 Qx=2y=Py 可知 A，B，C 均不符合，应选 D【知识模块】 常微分方程二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 该旋转体体积 V=01(x3)x2dx= 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 x=e ye y sin y【试题解析】 熟悉反函数的导数的读者知道，
10、原方程可化为 x 关于 y 的二阶常系数线性方程将上两式代入原方程，原方程化为解得 x 关于 y 的通解为 x=C 1ey+C2ey sin y， 当 x=0 时，y=0，代入式 ，得 0=C1+C2，再将式两边对 y 求导，有当 x=0 时，解得 C1=1，C 2=1，于是得特解 x=e ye y sin y【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 令 xnt n=u，则 F(x)=0xtn1 f(xnt n)dt= 0xnf(u)du，于是【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】
11、(1)y=a ax.lna.axlna+axx.lna.(xx)+axalna.ax a1 。其中，(x x)=(exlnx)=exlnx.(lnx+1)=xx(lnx+1) (2)y=ef(x).f(x)f(ex)+ef(x).f.(ex)ex(3)(4)令 则 f(t)=4t2，即 f(x)=4x2，有 f(x)=8x，由函数概念得 ff(x)=f(8x)=4(8x)2=256x2，ff(x)=ff(x).f(x)=8f(x).8x=32x 2.8x=256x3【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 先求 yx，令【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 设截面周长为 S，矩
12、形高为 y，则故唯一极值可疑点为 由问题的实际意义知，截面周长必有最小值，并且就在此驻点处取得，因此当底宽为 2367 米时，截面的周长最小，因而所用材料最省【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 将 f(x)在 x=a，x=b 处展开泰勒公式令f() =maxf( 1)，f( 2) 则故原命题得证【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 令 u=2xt，则 t=2xu，dt=du当 t=0 时，u=2x；当 t=x 时，u=x故 0xtf(2xt)dt= 2xx(2xu)f(u)du=2x x2xf(u)du x2xuf(u)du
13、由已知得2xx2xf(u)du x2xuf(u)du= arctanx2，两边对 x 求导，得 2x2xf(u)du+2x2f(2x)f(x)2xf(2x).2xf(x)= 即 2x2xf(u)du= 令 x=1，得【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 因 f(x)在a ，b上连续，故 mf(x)M，其中 m，M 分别是 f(x)在a， b上的最小值与最大值 因为 g(x)0，mg(x)f(x)g(x)Mg(x)，两边在a ，b上取积分，得 m abg(x)dxabf(x)g(x)dxMabg(x)dx，即从而存在 a，b，使得【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【知识模
14、块】 多元函数微分学23 【正确答案】 (1)由拉格朗日乘数法，设 F(x，y，z ，)=xyz 3+(x2+y2+z25R 2)，令 由，得 (x=y)=0若 =0，则有 xyz=0，与题设条件 x0，y0，z0 不符，故得 x=y，因此得 z3+2=0，3x 2z+2=0，2x 2+z2=5R2 于是得 3x 2z 2=0 及2x2+z2=5R2，从而得唯一的一组解：x=R，y=R， 此时对应的 f(x，y，z)=xyz3 在约束条件 x2+y2+z2=5R2 下达到最大：(2)由(1)已知，当 x2+y2+z2=5R2 且x0，y0，z 0 时，令a=x2，b=y 2，c=z 2，有 证
15、毕【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 y，z 的积分区域为 Dyz=(y，z)0y1 x，0zx+y(x 视为0，1上的一个常数 )，换序后 Dyz=D1D2，D 1=(y，z)0zx ，0y1x；D2=(y，z) xz1，z xy1x，故 01x dy0x+yf(x，y，z)dz=0xdz01x f(x，y，z)dy+ x1dzzx 1x f(x，y，z)dy 于是 01dx01x dy0x+yf(x，y，z)dz= 01dx0xdz01x f(x，y， z)dy+01dzx1dzzx 1x f(x，y，z)dy =01dzz1dx01x f(x，y，z)dy+ 01dz0zdx
16、zx 1x f(x，y，z)dy【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 (1)如图 166 所示，(2)如图 16 7 所示， 则 01dy1y 1+y2f(x，y)dx=01dx1x 1f(x，y)dy+ (3)如图168 所示，D=D 1D2，其中(4)如图 16 9 所示， 故=1 0dy2arcsiny f(x，y)dx+ 01dyarcsinyarcsiny f(x，y)dx【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 设球柱体 的重心为由 时，整个立体的重心恰好落在球心上【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 因此，由狄利克雷收敛定理知 令=1，x=0 ，由狄利克
17、雷收敛定理知【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 特征方程 r2+2r+10 的两个根为 r1=r2=1对应齐次方程的通解为 Y=(C1+C2x)ex 设所求方程的特解为 y*=(ax+b)ex，则(y *)=(ax+a+b)ex，(y *)=(ax+2a+b)ex，代入所给方程，有 (4ax+4a+4b)ex=xex，解得故所求通解为 y=(C1+C2x)ex + (x1)e x，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 此为 y=f(y，y)型令 原方程化为当 x=0 时，y=1，y=1代入得 1=1(1+C1)，所以 C1=0于是得 p2=y2，p=y 2(因 y=1时 y=1，取正号)，故 再分离变量，积分得 将x=0 时 y=1 代入得 C2=1，从而得特解【知识模块】 常微分方程
