1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 267 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)=xsinx ( )（A）在( ，+)内无界（B）在 (，+)内有界（C）当 x 时为无穷大（D）当 x时极限存在2 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且当 x0 时 f(x)与 xn 为同阶无穷小，又设 x0时 F(x)= 0xnf(t)dt 与 xk 为同阶无穷小，其中 m 与 n 为正整数，则 k= ( )（A）mn+n（B） 2n+m（C） m+n（D）mn+n 一 13 若 f(x)在开区间(a，b)内可导，且 x1，x 2 是(a，b)内任意两点
2、，则至少存在一点，使下列诸式成立的是 ( )（A）f(x 2)f(x 1)=(x1 一 x2)f()，(a ，b)（B） f(x1) f(x2)=(x1x 2)f()， 在 x1，x 2 之间（C） f(x1) f(x2)=(x2x 1)f()，x 1 x 2（D）f(x 2)f(x 1)=(x2x 1)f()，x 1x 24 函数 ( )（A）只有极大值，没有极小值（B）只有极小值，没有极大值（C）在 x=1 处取极大值，x=0 处取极小值（D）在 x=1 处取极小值， x=0 处取极大值5 设 f(x)连续，则在下列变上限积分中，必为偶函数的是 ( )（A） 0xtf(t)+f( t)dt
3、（B） 0xtf(t)f(t)dt（C） 0x(t2)dt（D） 0xf2(t)dt6 设 f(x)在区间(，+)上连续且满足 f(x)=0xf(xt)sintdt+x则在( ，+) 上，当 x0 时，f(x) ( )（A）恒为正（B）恒为负（C）与 c 同号（D）与 c 异号7 函数 f(x，y)=x 43x 2y2+x2 在点(1，1)处的二阶泰勒多项式是 ( )（A）3+(4x 36xy 2+1)x6x 2.y.y+ (12x26y 2)x224xy.xy 一 6x2.y2（B） 3+(4x26xy 2+1)(x1)6x 2y(y1)+ (12x26y 2)(x1) 224xy(x1).
4、(y1)6x 2(y1) 2（C） 3(x1)6(y 1)+ 6(x 一 1)224(x1)(y1)6(y1) 2（D）3x6y+ (6x224xy6y 2)8 设为 x+y+z=1 在第一卦限部分的下侧，则 (x1+z)dxdy 等于 ( )（A） 01dx01x (x2+1xy)dy（B） 01dx01x (x2+1 xy)dy（C） 01x dy01(x2+z)dy（D） 01dx01x (x2+z)dy9 由 x=0， y=0，z=0 ，x+2y+z=1 所围成，则三重积分 等于 ( )（A） 01dx01dy01x2y xdz（B）（C） 01dx01dy01xdz（D）10 若正项
5、级数 发散，则 ( )二、填空题11 设两曲线 y=f(x)与 y=0arctanxet2 dt 在点(0，0)处有相同的切线，则_12 点(1 ，2，1) 到平面 x+2y+2z13=0 的距离是_13 若直线 L1： 与直线 L2：x+1=y1=z 相交，则=_14 设 f(x)为连续函数，a 与 m 是常数且 a0，将二次积分 I=0ady0yem(ax) f(x)dx 化为定积分，则 I=_15 级数 的收敛域是_16 微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为 y=_17 用待定系数法确定微分方程 y7y=(x=1) 2 的特解形式(系数的值不必求出)是_三、解答题解答应写出文字说
6、明、证明过程或演算步骤。18 设 求 f(x)的间断点并判定其类型19 曲线 的切线与 x 轴和 y 轴围成一个图形，记切点的横坐标为 a，求切线方程和该图形的面积当切点沿曲线趋于无穷时，该面积的变化趋势如何?20 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0，求证：(1)存在 (a，b)，使 f()+f()=0；(2)存在 (a，b) ，使 f()+f()=021 设函数 f(x)在(，+)内二阶可导，且 f(x)和 f(x)在(，+)内有界证明：f(x)在(， +)内有界22 计算曲线 y=in(1x 2)上相应于 的一段弧的长度23 设 计算f(x)d
7、x24 设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0 ，1) 内大于零，并且满足 xf(x)=f(x)+ x2(a 为常数)，又曲线 y=f(x)与 x=1，y=0 所围的图形 S 的面积为 2求函数 y=f(x)，并问 a 为何值时，图形 S 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小25 求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4xy)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的极值、最大值与最小值26 设27 设某曲线 L 的线密度 =x2+y2+z2，其方程为 x=tcost，y=e tsint， ，t0(1) 求曲线 L 的弧长 l；(2)求曲线 L 对 z轴的
8、转动惯量 J；(3) 求曲线 L 对位于原点处质量为 m 的质点的引力(k 为引力常数)28 (1)证明 (2)求29 求方程 =(1y 2)tanx 的通解以及满足 y(0)=2 的特解考研数学一（高等数学）模拟试卷 267 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 对于任意给定的正数 M，总存在点故 f(x)在(， +)内无界排除 B，D 对于任意给定的正数 M，无论 x 取多么大的正数，总有 xn=2n x( 只要 )，使 f(xn)=xnsinxn=0M，故当 x时 f(x)不是无穷大，排除 C【知识模块】 函数、极限、连
9、续2 【正确答案】 A【试题解析】 由当 x0 时 f(x)与 xn 为同阶无穷小，从而知存在常数 A0，当x0 时，f(x)Ax n，从而 f(xn)Ax nm于是由题意知，上式为不等于零的常数，故 k=nm+n故应选 A【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 B【试题解析】 由拉格朗日中值定理易知 A，C 错，B 正确，又因未知 x1 与 x2 的大小关系，知 D 不正确【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)=0，得 x=1，f(x)在x= 1 左侧导数为正，右侧导数为负，因此在 x=1 处取极大值；当 x=0 时，f(x)不存在，在 x=0 左
10、侧导数为负，右侧导数为正，因此在 x=0 处取极小值【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 奇函数的原函数是偶函数(但要注意，偶函数 f(x)的原函数只有 0x(t)dt 为奇函数，因为其他原函数与此原函数差一个常数，而奇函数加上一个非零常数后就不再是奇函数了)，选项(A)中被积函数为奇函数，选项 B，C 被积函数都是偶函数选项 D 中虽不能确定为偶函数，但为非负函数，故变上限积分不一定是偶函数，应选 A【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 C【试题解析】 令 xt=u ，作积分变量代换，得 f(x)=0xf(u)sin(xu)du+x=sinx0xf(u)cos
11、uducosx 0xf(u)sinudu+x，f(x)=cosx 0xf(u)cosudu+sinx0xf(u)sinudu+1，f(x)=sinx 0xf(u)cosudu+cos2x.f(x)+cosx0xf(u)sinudu+sin2x.f(x)=x所以 f(x)= +C1x+C2，又因 f(0)=0，f(0)=1所以 C1=1，C 2=0，【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 C【试题解析】 直接套用二元函数的泰勒公式即知 C 正确【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 ：z=1xy，D xy=(x，y) 0y1x，0x1 ，则= 0xdx01x (x2+
12、1xy)dy 【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答案】 B【试题解析】 由被积函数与积分区域的特点，选择在直角坐标下先单积分后二重积分，最终化为三次单积分 在 xOy 面上的投影域 的上下边界曲面方程分别为z=1x2y，z=0故【知识模块】 多元函数积分学10 【正确答案】 C【试题解析】 级数 =存在 N，当 nN时，a n2an，由比较审敛法知， 必收敛故选 CA 错误：如【知识模块】 无穷级数二、填空题11 【正确答案】 2【试题解析】 由已知条件知 f(0)=0 故得【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 2【试题解析】 点(1，2，1)到平面 x+2y+2z13=0 的距
13、离【知识模块】 向量代数与空间解析几何13 【正确答案】 【试题解析】 L 1 的方向向量 s1=(1，2，)，L 2 的方向向量 s2=(1，1，1)L 1 上的点 A(1，1，1) ，L 2 上的点 B(1，1，0)因 L1 与 L2 相交，故 s1，s 2 与=(2，2，1)三向量共面，(s 1s2). =0因为所以 2(2)+2(1)+1=0，【知识模块】 向量代数与空间解析几何14 【正确答案】 0aem(ax) f(x)(ax)dx【试题解析】 被积函数仅是 x 的函数，交换积分次序即可化成定积分 由二次积分的积分限可知积分区域 D=(x，y)0xy，0ya，故 I= 0adxxa
14、em(ax) e f(x)dy=0aem(ax) e f(x)(ax)dx【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 (1，1【试题解析】 因 为不缺项的 x 的幂级数，故 R=1在 x=1 处，发散故的收敛域为(1，1【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 (x+C)cos x，其中 C 为任意常数【试题解析】 属于一阶非齐次线性方程，直接根据一阶非齐次线性微分方程的通解公式即可得出答案【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 y *=x(ax2+bx+c)【试题解析】 原方程对应齐次方程的特征方程为 r27r=0，特征根为r1=7，r 2=0而 f(x)=x2 2x+1，=0 是特
15、征根，所以特解如上所填【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 故 x=0 为可去间断点x=1 为跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 先求曲线 处的切线方程所以切线斜率 切线方程为切线与 x 轴，y 轴的交点坐标分别为 A(3a，0)，于是AOB 的面积为 当切点沿 x 轴正向趋于无穷时，有 当切点沿 y 轴正向趋于无穷时，有【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 (1)设 (x)=xf(x)，则 (x)在a，b上连续，在(ab)内可导，且 (a)=(b)=0，由罗尔定理得，存在 (a，b)，使 ()=0，即
16、f()+(f()=0(2)设，则 F(x)在a，b 上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b)=0，由罗尔定理得，存在 (a，b)，使则有 f()+f()=0【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 存在正常数 M0，M 2，使得对任意 x( ，+)，恒有 f(c)M 0，f(x)M 2由泰勒公式，有 f(x+1)=f(c)+f(x)+ f()，其中 介于 x 与 x+1 之间，整理得 f(x)=f(x+1)f(x) f()所以所以函数f(x)在(， +)内有界【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 设 lnx=t，则 x=
17、et， 两边积分，有=e x ln(1+ex)+xln(1+e x)+C=x(1+e x )ln(1+ex)+C【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 由题设，当 x0 时， 据此并由 f(x)在点 x=处的连续性，得 又由已知条件即 C=4a因此，旋转体的体积为得驻点 a0=5又 故当 a=5 时，旋转体体积最小【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 由方程组 解得x=0(0y6)及点(4，0)，(2，1) 而点(4，0)及线段 x=0(0Y6)在 D 的边界上，只有点(2 ，1) 在 D 内部，可能是极值点， fxx=8y6xy2y 2，f xy=8x3x 24xy，f y
18、y=2x 2，在点(2，1)处，B2AC=320，且 A0，因此点(2，1)是 z=f(x，y)的极大值点，极大值 f(2，1)=4 在 D 的边界 x=0(0Y6)及 y=0(0x6)上，f(x，y)=0 在边界 x+y=6 上，y=6 x代入f(x，y)中得，z=2x 312x 2(0x6) 由 z=6x224x=0 得 x=0，x=4在边界 x+y=6上对应 x=0， 4，6 处 z 的值分别为：z x=0=(2x3 12x2) x=0=0，z x=4=(2x312x 2) x=4=64，z x=6=(2x312x2) x=6=0 因此知 z=f(x，y)在边界上的最大值为 0，最小值为
19、 f(4，2)=64 将边界上最大值和最小值与驻点(2，1)处的值比较得，z=f(x，y)在闭区域 D 上的最大值为 f(2， 1)=4，最小值为 f(4，2)=64【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 用柱面坐标，先 z 后(r ，)为此，将 投影到 xOy 平面，投影域记为 D=(x，y) x 2+y2 =48但仔细分析， D 由两部分组成： D1=(x，y) x 2+y242=16)， D 2=(x，y)16x 2+y248)，D=D 1D2从而【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 曲线的弧微分 于是(1)曲线 L 的弧长 l=ds= 02etdt=2(2)在曲线 L
20、 上，有x2+y2=e2t，x 2+y2+z2=3e2t，则曲线 L 对 z 轴的转动惯量 J=(zz+yZ).ds=(x2+y2).(x2+y2+z2)ds= 03e2te2t2etdt= (3)设曲线 L 对位于原点处质量为 m 的质点的引力为 F=Fxi+Fyj+Fzk，则有故所求的引力为【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 (1)(2)由于由待定系数法得，【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 这是变量可分离方程当 y21 时，分离变量得去掉绝对值符号，并将e 2C1 记成 C，并解出 y，得其中 C 为非零常数这就是在条件 y21 下的通解此外，易见 y=1 及 y=1 也是原方程的解，但它们并不包含在式(*)之中以 y(0)=2 代入式(*)中有 解得 C=3于是得到满足 y(0)=2 的特解【知识模块】 常微分方程
