1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 273 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，若使 F(x)在 x=0 处可导，则必有 ( )（A）f(0)=0（B） f(0)=0（C） f(0)+f(0)=0（D）f(0)f(0)=02 设 f(x)在a ，b上可导，f(a)f(b)0下述命题： 至少存在一点 x0(a，b) 使f(x0)f(a)；至少存在一点 x0(a，b)使 f(x0)f(x)； 至少存在一点 x0(a，b)使 f(x0)=0；至少存在一点 x0(a，b)使 f(x0)= f(a)+f(b)正确
2、的个数为 ( （A）1（B） 2（C） 3（D）43 积分 ( )4 设 为 x2+y2+z21，则三重积分 等于 ( )（A）0（B） （C）（D）2二、填空题5 给出以下 5 个函数：100 x，log 10x100，e 10x，x 1010， ，则对充分大的一切 x，其中最大的是_6 若 是(，+)上的连续函数，则a=_7 设曲线 y=(ax3+bx2+cx+d 经过(2，44)，x=2 为驻点，(1，一 10)为拐点，则a，b，c，d 分别为_ 8 (arcsinx)2dx=_9 x3ex2dx=_10 点(1 ，2，3) 到直线 的距离为_11 函数 的定义域为_12 若 f(x，y
3、)为关于 x 的奇函数，且积分区域 D 关于 Y 轴对称，则当 f(x，y)在 D上连续时，必有 f(x，y)dxdy=_13 曲面积分 x3dxdy=_，其中 S 为球面 x2+y2+z2=1 的外侧14 设 的敛散性为_15 ex 展开成的 x3 的幂级数为 _16 设 x1=r0，x n+1=xn+xn3，n=1，2，3，则数项级数 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 求18 证明：方程 xa=Inx(a0)在(0，+) 上有且仅有一个实根19 设 f(x)在 x0 处 n 阶可导，且 f(m)(x0)=0(m=1，2，n1)，f (n)(x0)0(n2)，证明：
4、 (1)当 n 为偶数且 f(n)(x0)0 时，f(x)在 x0 取得极大值； (2)当 n 为偶数且 f(n)(x0)0 时，f(x)在 x0 取得极小值20 计算定积分21 求定积分22 设 f(x)在区间(，+)内具有连续的一阶导数，并设 f(x)=20xf(xt)t 2dt+sinx，求 f(x)23 设 a=3i+4k，b=i+2j2k，求与向量 a 和 b 均垂直的单位向量24 设函数 f(x，y)及它的二阶偏导数在全平面连续，且 f(0，0)=0 ，求证：f(5，4)125 已知平面区域 D=(x，y)x 2+y21)，L 为 D 的边界正向一周证明：26 设 L 是平面上包含
5、原点的单连通有界区域 的正向边界线，n 0 是 L 上任一点(x，y)处的单位外法向量设平面封闭曲线 L 上点 (x，y)的矢径r=xi+yj，r=r， 是 n0 与 r 的夹角，试求27 已知曲线 y=y(x)经过点 (1，e 1 )，且在点(x，y)处的切线在 Y 轴上的截距为 xy，求该曲线方程的表达式28 设 a0，函数 f(x)在0，+) 上连续有界，证明：微分方程 y+ay=f(x)的解在0，+) 上有界29 求方程 的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 273 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于=f+ (
6、0)+f(0)同理， =f (0)f(0)要求 F+(0)=F (0)，可得 A【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 只有是正确的其证明如下：设 f(a)0，f(b)0由以及保号性，则存在点 x1(a，b)使 f(x1)f(a)0 及 x2(a，b)使 f(x2)f(b)0因此 f(a)与 f(b)都不是 f(x)在a，b上的最小值，从而 f(x)在a，b上的最小值必在(a ，b)内部，故知存在 x0(a，b)使 f(x0)=0若 f(a)0，f(b)0，其证明类似 ， 与的反例：f(x)=x 2x，当 x0，1时，有 f(0)=1， f(1)=1，f(0)f(1) 0
7、但当x(0，1)时，f(x)f(0)=f(1)=0 【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 A【试题解析】 积分区域 关于 xOy 面对称，被积函数 关于变量 z 为奇函数，故 I=0【知识模块】 多元函数积分学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 100 x=exln100，log 10x100=100logl10x当 x 充分大时，有重要关系：exe ln x，其中 ，0，故本题填 【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 1【试题解析】 f(x)在 x=0 处连续，可得【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答
8、案】 1；3；24；1 6【试题解析】 由条件 解方程可得 a=1，b= 3，c=24，d=16【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 ex1ee(x1e1)+C ，其中 C 为任意常数【试题解析】 原式= x2ex2d(x2)= x2dex2= x2ex2e x2d(x2)= (x2ex2e x2)+C = ex2(x21)+C【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 记点 M0(1， 2，3) ，M(0，4，3)，方向向量 S=(1，3，2)，【知识模块】 向量代数与空间解析几何11
9、【正确答案】 【试题解析】 由 z0 及 可得【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 0【试题解析】 若连续函数 z=f(x，y) 关于 x 为奇函数，即 f(x，y)= f(x，y)；若关于 x 为偶函数，即 f(x，y)=f(x ，y)设积分区域 D 关于 y 轴对称，D 1 表示 D的位于 y 轴右方的部分则有同理当 z=f(x，y)关于 y 为奇函数或偶函数，积分区域 D 关于 x 轴对称时也有类似的结论【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 原式= =302d0d012cos22sind=302d0cos2sind014d【知识模块】 多元函数积分学14
10、 【正确答案】 发散【试题解析】 由发散【知识模块】 无穷级数15 【正确答案】 【试题解析】 e x=e3+(x3) =e3.ex3 ，因从而 ex=e3.ex3 =e3 (x3) n( x3+即一 x+) 【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 【试题解析】 由 xn+1=xn+xn3，x n=r0，所以x n严格单调增加若显然有 Ar0令 n ，x n+1=xn+xn3，两边取极限，得A=A+A3，即 A=0，矛盾，所以 由 xn+1=xn+xn3，有【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 由拉格朗日中值定理，得 tan(tanx)t
11、an(sinx)=sec 2.(tanxsinx)，sinx tanx，其中 =sec20=1于是【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 令 f(x)=lnxx (0)，则 f(x)在(0，+)上连续，且 f(1)=1 0， +，故任意 M0，存在 X1，当 xX 时，有 f(x)M0任取 x0X，则 f(1).f(x0)0，根据零点定理，至少存在 (1，x 0)，使得f()=0，即方程 x=lnx 在 (0，+)上至少有一实根 又 lnx 在(0，+)上单调增加，因 0，x 也单调增加，从而 f(x)在(0，+)上单调增加，因此方程 f(x)=0 在(0，+) 上只有一个实根，即方
12、程 x=lnx 在(0，+)上只有一个实根【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 n 为偶数，令 n=2k，构造极限(1)当 f(2k)(x0)0 时，由极限保号性=存在 x0 的某个去心邻域=f(x)f(x 0)，故 x0 为极大值点(2)当 f(2k)(x0)0 时，由极限保号性=存在 x0 的某个去心邻域=f(x)f(x 0)，故 x0为极小值点【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 令 1x=sint，则【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 用变量代换可得【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 f(x)=2 0xf(xt)t 2dt+sinx=2 0x
13、t2df(xt)+sinx =2t 2f(xt) 0x2 0xtf(xt)dt+sinx =2x 2(0)02 x0(xu)f(u)(du)+sinx =2x 2(0)+4x0xf(u)du4 0xuf(u)du+sinx， f(x)=4xf(0)+4 0xf(u)du+4xf(x)4xf(x)+cosx =4xf(0)+4 0xf(u)du+cosx， f(x)=4f(0)+4f(x)sinx由上述表达式可见有f(0)=0，f(0)=1 所以由 f(x)4f(x)= sinx，解得 f(x)=C1e2x+C2e2x + sinx由f(0)=0，f(0)=1 ，得 C1+C2=0，2C 12C
14、 2+ =1，所以【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 由向量的向量积定义可知 ab 既垂直于 a 又垂直于 b，所以与a，b 均垂直的单位向量为而所以与 a，b 均垂直的单位向量为【知识模块】 向量代数与空间解析几何24 【正确答案】 因与路径无关设0(0，0)，A(4，4)，B(5，4)，由条件 知在直线 OA：y=x 上， 所以而 f(0，0)=0，故 f(5，4)= 452x4dx=1【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 (格林公式法)【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 本题考查第一型和第二型曲线积分之间的转化关系注意到第二型曲线积分要考虑曲线 L 在其
15、上点(x，y)处的单位切向量，设其为0=cosi+cosj因为曲线 L 在其上点(x ，y)处的法向量 n0。与切线向量 0 互相垂直，并使闭曲线 L 取正向，故取 n0=cosicosj 根据两向量内积的定义及dx=cosds，dy=cosds，得于是，原曲线积分此处 为任一含于 L 的圆的半径【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 本题以几何问题为载体，让考生根据问题描述建立微分方程，然后求解，是一道简单的综合题，是考研的重要出题形式 曲线 y=f(x)在点(x，y) 处的切线方程为 Yy=y(Xx)，令 X=0，得到切线在 y 轴截距为 xy=yxy ，即xy=y(1x) 此为一
16、阶可分离变量的方程，于是 两边积分有lny=ln C1xx，得到 又 y(1)=e1 ，故 C=1，于是曲线方程为【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 原方程的通解为 y(x)=e ax C+0xf(t)eatdt，其中 C 为任意常数设f(x)在0，+)上的上界为 M，即f(x)M，则当 x0 时，有y(x)= eax C+0xf(t)eatdt Ce ax +e ax 0xf(t)eatdt C +Meax 0xeatdt= 即 y(x)在0，+) 上有界【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 此为欧拉方程，按解欧拉方程的办法解之当 x0 时，令 x=et，有 t=ln x，经计算化原方程为 得通解为当 x0 时，令 x=u，原方程化为 y 关于 u 的方程合并两种情形得原方程的通解为 其中 C1，C 2为任意常数【知识模块】 常微分方程
