1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 275 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 其中 g(x)是有界函数，则 f(x)在 x=0 处 ( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导2 设 f(x)有连续的导数，f(0)=0，f(0)0 ，F(x)= 0x(x2t 2)f(t)dt，且当 x0 时，F(x)与 x是同阶无穷小，则 k 等于 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）43 设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0则方程 在(a， b)内的根有 ( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）无穷多个4
2、已知曲面 z=x2+y2 上点 P 处的切平面平行于平面 2x+2y+z1=0，则点 P 的坐标是 ( )（A）(1 ，1，2)（B） (11，1，2)（C） (1，1，2)（D）(1，1，2)5 化为极坐标系中的累次积分为 ( )6 设区域 其中常数 ab0D 1 是 D 在第一象限部分，f(x，y)在 D 上连续，等式 成立的一个充分条件是 ( )（A）f(x， y)=f(x，y)（B） f(x，y)=f(x，y)（C） f(x，y)=f(x，y)= f(x ，y)（D）f(x， y)=f(x，y)=f(x，y)7 微分方程 y+4y=sin2x 有特解形如 ( )（A）Asin 2x（B
3、） Acos2x（C） x(A+Bcos2x+Csin2x)（D）A+x(Bcos2x+Csin2x)二、填空题8 极限 =_9 曲线 v 的全部渐近线为_10 设曲线 y=y(x)在 点与直线 4x4y3=0 相切，且 y=y(x)满足方程则该曲线在相应 x一 1，1 上(x，y)点的曲率为_ 11 xx(1+lnx)的全体原函数为_12 设 f(x)连续，则 0xtf(x2t 2)dt=_13 向量场 A(z，3x，2y)在点 M(x，y，z)处的旋度 rotA=_14 设由平面图形 axb，0yf(x)绕 x 轴旋转所成旋转体力的密度为 1，则该旋转体对 x 轴的转动惯量为_15 设 则
4、其以 2 为周期的傅里叶级数在 x= 处收敛于_16 函数 在 ，上展开为傅里叶级数(ancos nx+bnsin nx)，则 an=_ ，b n=_，和函数 S(x)=_17 设是f(x)的以 2 为周期的傅里叶级数则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 求极限19 已知 y=x2sin2x，求 y(50)20 求函数 f(x)=nx(1x) n 在0，1上的最大值 M(n)及21 设函数 x=x(y)由方程 x(yx) 2=y 所确定，试求不定积分22 已知23 求过两点 A(0，1，0) ， B(1，2，1)且与直线 x=2+t，y=14t ，z=2+3t 平行的
5、平面方程24 求直线 L： 旋转一周所成的曲面方程25 设函数 f(x，y)可微，又 f(0，0)=0 ，f x(0，0)=a ，f y(0，0)=b，且 (t)=ft，f(t，tx)，求 (0)26 设 A，B，C 为常数， B2AC 0，A0u(x ，y)具有二阶连续偏导数证明：必存在非奇异线性变换 = 1x+y，= 2x+y(1， 2 为常数)，将方程27 计算 I=L(y2z 2)dx+(2z2x 2)dy+(3x2y 2)dz，其中 L 是平面 x+y+z=2 与柱面x+y =1 的交线，从 z 轴正向往负向看 L，L 是逆时针方向28 设 (x)是以 2 为周期的连续函数，且 (x
6、)=(x)，(0)=0 (1)求方程y+ysinx=(x)ecosx 的通解； (2)在(1)中方程是否有以 2 为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由29 利用变换 y=f(ex)求微分方程 y(2e x+1)y+e2xy=e3x 的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 275 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 显然 =f(0)=0，f(x)在 x=0 点连续由于所以 f (0)=0又故 f+(0)=0，从而 f(0)存在，且 f(0)=0，应选 D【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】
7、 用洛必达法则，极限存在且不为 0，所以 k=3，选 C【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 令 则 F(x)在a，b上连续，而且F(b)=abf(t)dt0，故 F(x)=0 在(a，b) 内至少有一个根又 所以 F(x)单调增加，它在 (a，b)内最多只有一个零点故 F(x)=0 在(a ，b)内仅有一个根应选 B【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 切平面平行于平面 2x+2y+z1=0，可知切平面的法向量为(2，2， 1) 又由 z=x2+y2 可得曲线切平面的法向量 (zx，z y，1)=(2x，2y，1) 令(2x ， 2y，1)(2
8、，2，1)，解得 x=1，y=1，代入z=x2+y2，解得 z=2所以 P 点坐标为(1，1，2)【知识模块】 向量代数与空间解析几何5 【正确答案】 A【试题解析】 由 可得 x2+(y 1)2=1(y1)，所以积分区域 D 是圆 x2+(y1) 21 的右半圆在直线 y=x 上方的部分，其极坐标形式为 D=【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 D【试题解析】 当 C 成立时，f(x，y)关于 x 和 y 都是奇函数，积分应为零，不选C，因为题中未说 类似于 C，可知也不选 A，B 当 D 成立时，f(x，y)关于 x 和 y 分别都是偶函数，将 D 在各个象限中的部分分别记为D1，
9、D 2，D 3 与 D4，于是故选D【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 D【试题解析】 原方程可以写成 由待定系数法可知该方程有形如()的特解【知识模块】 常微分方程二、填空题8 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 x=0； 和 y=1【试题解析】 因为 x=0 为铅直渐近线； y=1 为水平渐近线【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 由时，p=1，得 c1=0从而在(x，y)点的曲率【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 x 2+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 因为(x x)=(exlnx)=xx(1+
10、lnx)，所以 x x(1+lnx)dx=xx+C【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 xf(x 2)【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 (2，1，3)【试题解析】 设向量场 A=Pi+Qj+Rk，则因P=z，Q=3x，R=2y，则【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 由题意有【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 由狄利克雷收敛定理及 f(x)的周期性可知，无论 f(x)在 x= 处是连续还是间断，其傅里叶级数的和 S()都可用 统一表示因f( )=5，f( +)=x2 x= =2，故【知识模块】 无穷级数16
11、 【正确答案】 【试题解析】 f(x)在， 上满足狄利克雷收敛定理条件，进行周期延拓得 F(x)，有 F(x)f(x)， x(，)由收敛定理可知：其中傅里叶级数的系数为：a n=0，n=0，1，2，( 在 ，上，f(x)除去间断点x=0 外，是奇函数，所以其傅里叶级数必为正弦级数)，【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 【试题解析】 傅里叶系数 又由狄利克雷定理知，【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 y (50)=(sin2x.x2)(50)=(sin 2x)(50).x2+50(si
12、n 2x)(49)(x2)+ (sin 2x)(48).(x2)由于【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 容易求得 f(x)=n1(n+1)x(1x) n1 ，f(x)=n 2(n+1)x2(1x)n2 令 f(x)=0，得驻点为f(x)的极大值点，且极大值 将它与边界点函数值 f(0)=0，f(1)=0 ，比较得 f(x)在0，1上的最大值【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 令 yx=t，则(yt)t 2=y，故得 t33t=A(t 3+t2t1)+B(t 2+2t+1)+C(t3t 2t+1)+D(t 22t+1) =(A+C)t3+(A+BC+D)t 2+(A+2B
13、C2D)tA+B+C+D比较 t 的同次幂的系数得【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 令 上式两边对 a 求导得令 y=2ax，则 dy=2adx，所以 由于 I(0)=0，所以 C=0，令 a=1，得到【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 设所求平面的法向量为 n=(a，b，c)，而直线的方向向量为s=(1，4，3)，A，B 两点连线 =(1，1，1)，所以有解方程得 a：b：c=7 ：4：3，因此可取平面的法向量为 n=(7，4，3)，由点法式得平面方程为 7(x0)+4(y 1)+3(z0)=0，即 7x+4y+3z4=0【知识模块】 向量代数与空间解析几何24 【
14、正确答案】 设点 M0(x0，y 0，z 0)为直线 L 上一点，当直线 L 绕 L1 旋转时，点M0 旋转到点 M(x，y，z)，此时有将式代入式 ，得到(x2) 2+(y3) 2=(2z+3)2+(3z+1)2，即 x2+y2 13z24x6y18z+3=0【知识模块】 向量代数与空间解析几何25 【正确答案】 在 (t)=ft，f(t，t 2)中令 u=t，v=f(t，t 2)，得 (t)=f(u，v)，(t)=f1(u，v).1+f 2(u，v).f 1(t，t 2).1+f2(t，t 2).2t=f1t，f(t，t 2)+f2t，f(t ， t2).f1(t，t 2)+f2(t，t
15、2).2t，所以 (0)=f 1(0，0)+f 2(0，0).f1(0，0)+f 2(0，0)20 =a+b(a+0)=a(1+b)【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 代入所给方程，将该方程化为由于 B2AC0，A0，所以代数方程 A2+2B+C=0 有两个不相等的实根 1 与2此时 12A+(1+2)B+C=且变换的系数行列式 1 20【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 (用参数式计算) 由于 L 是由 4 个直线段构成的四边形，所以用参数式计算时，要分段计算 L：x+y =1 ，z=2xy 当 x0，y0 时，L1：y=1x，z=2xy=1，x 从 1 到 0，有
16、L1(y2z 2)dz+(2z2x 2)dy+(3x2y 2)dz=10(1x) 21+(2x 2)(1)dx= 当,x0，Y0 时，L 2：y=1+x，z=12x，x从 0 到1，有 L2=01 (2x+4)dx=3当 x0， y0 时，L 3：y=1x，z=3，x从1 到 0，有 L3=1 0(2x2+2x26)dx= 当 x0，y0 时，L4：y=x1，z=32x，x 从 0 到 1，有 L4=01(18x+12)dx=3所以 I=L1+L2+L3+L4=24【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 本题考查微分方程的求解与解的讨论，尤其是(2)关于解的讨论，是考试中的重点，请复习
17、备考的学生重视 (1)该方程为一阶非齐次线性微分方程，通解为 y=e sin xdx (x)ecos xesin xdxdx+C=ecos x(x)ecos x.ecos x dx+C =ecos x(x)dx+C=ecos x(x)+C(C 为任意常数) (2) 因通解中 cos x 为 2 为周期的函数，故只需 (x+2)=(x)即可因为 (x)=(x)，所以 (x)=0x(t)dt+C1，又 (0)=0，于是 (x)=0x(t)dt而 (x+2)= 0x+2(t)dt=0x(t)dt+xx+2(t)dt=(x)+02(t)dt， 所以，当 02(t)dt，时，(x+2)=(x)，即 (x)以 2 为周期 因此，当 02(t)dt=0时，方程有以 2 为周期的解【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 令 t=ex， y=f(t)，则 y=f(t).ex=tf(t)， y=tf(t) x=exf(t)+tf(t).ex=tf(t)+t2f(t)， 代入方程得 t2f(t)+tf(t)(2t+1)tf(t)+t 2f(t)=t3，即 f(t)2f(t)+f(t)=t， 解得 f(t)=(C1+C2t)et+t+2，所以原方程的通解为 y=(C 1+C2ex)eex+ex+2，其中C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程
