1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 279 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 y=xx 在区间 上 ( )（A）不存在最大值和最小值（B）最大值是（C）最大值是（D）最小值是2 下列反常积分收敛的是 ( )3 已知a=1， 则a+b= ( )（A）1（B）（C） 2（D）4 设 a 与 b 为非零向量，则 ab=0 是 ( )（A）a=b 的充要条件（B） ab 的充要条件（C） ab 的充要条件（D）ab 的必要但不充分条件5 利用变量替换 u=x， 化成新方程 ( )6 下列结论正确的是 ( )（A）z=f(x，y)在点(x 0，y 0)某邻域
2、内两个偏导数存在，则 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续（B） z=f(x，y)在点(x 0，y 0)某邻域内连续，则 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处两个偏导数存在（C） z=f(x，y)在点(x 0，y 0)某邻域内两个偏导数存在且有界，则 z=f(x，y)在点(x0，y 0)处连续（D）x=f(z，y)在点(x 0，y 0)某邻域内连续，则 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)某邻域内两个偏导数有界7 设是部分锥面：x 2+y2=z2，0z1 ，则曲面积分 (x2+y2)dS 等于 ( )（A） 0d01r2.rdr（B） 02d01r2.rdr（C）（D）8 微分方
3、程 y+y+y= 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )二、填空题9 曲线 在点(0，1)处的法线方程为_10 曲线 的曲率及曲率的最大值分别为_11 =_12 曲线 9y2=4x3(y0)上从 x=0 到 x=1 的一段弧的长度为 _13 设曲线 ：x=acost ，y=asint，z=bt(0t2)，则 (x2+y2)ds=_14 设 l 为平面曲线 y=x2 从点 O(0，0) 到点 A(1，1)的有向弧，则平面第二型曲线积分 lyey2dx+(xey2+2xy2ey2)dy=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)=x2+ax+b，证明：f(
4、1) ，f(3)， f(5)中至少有一个不小于 216 设17 设 求 y18 设一质点在单位时间内由点 A 从静止开始做直线运动至点 B 停止，A，B 两点间距离为 1，证明：该质点在(0，1)内总有一时刻的加速度的绝对值不小于 419 设 f(x)在a，b上具有二阶导数，且 f(x)0，证明：20 设 证明：(1)I 1+In2 = 并由此计算 In；(2)21 设 f(x)=0yg(t)dt(1)证明 y=f(x)为奇函数，并求其曲线的水平渐近线；(2)求曲线 y=f(x)与它所有水平渐近线及 y 轴围成图形的面积22 设有方程其中u=u(x，y，z)试证：gradu 2=2 A.gra
5、du，其中 A=(x，y，z)23 记平面区域 D=(x，y)x+y1 ，计算如下二重积分：(1)其中 f(t)为定义在( ，+) 上的连续正值函数，常数a0，b0； (2)I2= (exe y )da，常数 024 计算 I= (x2+y2)dv，其中 为平面曲线 绕 z 轴旋转一周形成的曲面与平面 z=8 所围成的区域25 将函数 展开成 x 的幂级数，并指出其收敛区间26 判别级数 的敛散性27 求数项级数 的和28 求 xyylny+ylnx=0 满足 y(1)=2 和 y(1)=e2 的特解29 位于上半平面且图形凹的曲线 y=y(x)在点(0，1) 处的切线斜率为 0，在点(2 ，
6、2)处的切线斜率为 1已知曲线上任一点处的曲率半径与 及(1+y 2)的乘积成正比，求该曲线方程考研数学一（高等数学）模拟试卷 279 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 y=x x(lnx+1)，令 y=0，得 y0，函数单调增加，故选 D【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 中，发散；选项 B 中，发散；选项 C 中，收敛；选项 D 中，发散【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 a+b 2=(a+b).(a+6)=a 2+2a.b+b 2从而应选 D【知识模块】
7、向量代数与空间解析几何4 【正确答案】 C【试题解析】 选项(A) 中 a=b 只是 ab=0 的充分条件，不是必要的；选项 (B)中ab 是 a.b=0 的充要条件；选项(D) 显然是错误的(只要 ab，必有 ab=0)；选项(C)是正确的：如果 ab，显然 ab=0如果 ab=0，当 a，b 有一个为零向量，零向量可以平行于任何向量，故 ab 正确，当 a，b 都为非零向量时，由于 0=ab = 而a 0， b 0，从而 ab【知识模块】 向量代数与空间解析几何5 【正确答案】 A【试题解析】 由复合函数微分法可得于是又 u=x，故新方程为【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 C【
8、试题解析】 二元函数的连续性与偏导数之间没有必然的联系设在(x 0，y 0)某邻域 U 内，对于任意(x，y) U 有 fx(x，y)M，f y(x，y)M(M 为正常数)由微分中值定理有 f(x，y)f(x 0，y 0)f(x，y)f(x，y 0)+f(x，y 0)f(x 0，y 0) =f y(x，y 0+1y).y+f x(x0+2x，y 0).x M( x+y)，其中 x=xx 0，y=yy 0， 1， 21所以当时，有x0， y0 ，必有f(x ，y)f(x 0，y 0)M( x+y)0，故 f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 D【试
9、题解析】 因 0z1，故其中 Dxy=(x，y)x 2+y21【知识模块】 多元函数积分学8 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程 r2+r+1=0，特征根为【知识模块】 常微分方程二、填空题9 【正确答案】 y+2x1=0【试题解析】 (0，1) 点对应 t=0 时的点由于则法线的斜率为2，可得出法线方程为 y1=2(x0)，整理得 y+2x1=0【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 故K1，当 x=0 时，K max=K(0)=1【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题
10、解析】 曲线方程可化为 弧长元素所以弧长【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 由第一型曲线积分公式知： (x2+y2)ds=02(a2cos2t+a2sin2t).【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 e【试题解析】 令 P(x，y)=ye y2，Q(x，y)=xe y2+2xy2ey2，有 曲线积分与路径无关方法一 改取路径 y=x lyey2dx+(xey2+2xy2ey2)dy=01(xex2+xex2+2x3ex2)dx =011(2xex2+2x3ex2)dx=(ex2+x2ex2e x2) 01=e方法二 用原函数法 yey2x+(xey2+2xy
11、2ey2)dy=ey2(ydx+xdy)+xydey2=d(xyey2) lyey2dx+(xey2+2xy2ey2)dy=ld(xyey2)=xyey2 (0，0) (1，1) =e【知识模块】 多元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 用反证法设f(1)，f(3) ，f(5) 都小于 2，即f(1)=a+b+12，f(3) =3a+b+9 2，f(5) =5a+b+25 2，则f(1)2f(3)+f(5) f(1)+2 f(3) +f(5)2+22+2=8而事实上，f(1)2f(3)+f(5)=a+6+16a2b18+5a+b+25=8，矛盾，故f
12、(1)，f(3)，f(5)中至少有一个不小于 2【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 因为又 x0时，a x1=e xlna1xlna这样 Axlna(x0)，因此 f(x)Axlna.sin x(x0)，于是得到【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 两边取对数对上式两边关于 x 求导，得【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 设质点运动的路程 Y 关于时间 t 的函数为 y=y(t)，0t1，则有 y(0)=0，y(1)=1，y(0)=0，y(1)=0 在 t=0 与 t=1 处的一阶泰勒展开式分别为若 由上述第二式得 y(2)4证毕【知识模块】 一元函数微分
13、学19 【正确答案】 先证左边其中由于 f(x)0，所以 f(x)严格单调增加，从而于是 (x)0，所以 xa 时 (x)0，有 (b)0，左边证毕再证右边令 (x)=axf(t)dt (xa)f(a)+f(x)，有 (a)=0，其中 ax由于 f(x)0，所以 f()f(x)，从而 (x)0于是当 xa 时，(x) 0，故 (b)0证毕【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 (1)I n+In2当 n=2k 时，当n=2k+1 时，(2)由时，0tanx1，于是 =In+2+In2I nI n+In2 = 则【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 显然，g(0)=1，而当 x
14、0 时，g(x) 为“1 ”型未定式极限，则其中故不论 x 是否为零都有 g(x)=ex2 ，则 f(x)=0xet2 dt(1)因令t= u 有 f(x)= 0x et2 dt= 0xeu2 du=f(x) ，故 f(x)为奇函数?因故 y=f(x)有两条水平渐近线 (2)由所考虑的平面图形的对称性及分部积分法得所求的面积其中，由洛必达法则得而0+ex2 dx= 0+ex2 d(x 2)=(e x2 ) 0+=1【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 欲证结论等价于 ux2+uy2+uz2=2(xux+yuy+zuz) 式对两边对 x求导得由轮换对称性，有式平方后相加，并在等式两端约
15、去公因子，得式分别乘以 x，y，z 后相加，结合式，得将式联立，即得证【知识模块】 向量代数与空间解析几何23 【正确答案】 (1)显而易见，积分区域 D 是边长为 的正方形，故其面积SD=2，因为积分区域 D 关于直线 y=x 对称，则由二重积分的性质便有(2)因为积分区域 D 关于直线 y=x 对称，又关于 y 轴，x 轴对称；函数exe x ， ye y 分别关于 x，y 为奇函数，则由二重积分的性质得【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 旋转曲面的方程为【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 由展开式知【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 易知当 n 充分大时，
16、单调递减且此数列收敛于 0，由莱布尼茨判别法知，级数 收敛【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 由 的形式，考查幂级数：容易求得它的收敛半径为 R=1，记逐项积分，得再逐项积分，得【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 设 y=p，则 y=p，代入原方程中， xppln p+pln x=0，即这是齐次方程，设 p=xu，则 代入上式得由原方程知 x0，y0，从而 u0，积分后得 lnu1=C 1x，即 ln u=C1x+1，回代 得 p=xeC1x+1代入初值条件y(1)=e2，解得 C1=1，得到方程 p=xex+1，即 积分得 y=(x1)ex+1+C2代入初值条件 y(1)=2，解得 C2=2，故所求特解为 y=(x1)e x+1+2【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 由已知，有 y(0)=1，y(0)=0 ，y(2)=2 ，y(2)=1 ，又代入 y(0)=1， y(0)=0，y(2)=2，y(2)=1，得 k=2， C=0，有代入y(0)=1，C 1=0，即【知识模块】 常微分方程
