1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 36 及答案与解析一、填空题1 微分方程 的通解为_2 微分方程(y 2+x)dx 一 2xydy=0 的通解为_3 微分方程 的通解为_4 方程 y“一 3y+2y=2x 的通解为_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 求微分方程 的通解5 求下列方程的通解或满足给定初始条件的特解：6 y+1=xex+y7 8 (y+2xy2)dx+(x 一 2x2y)dy=09 (1+x)y“+y=010 yy“一 (y)2=y4，y(0)=1，y(0)=011 y“+4y+1=012 y“+9y=cos(2x+5)13 y一 3y“+9y+13y=e2xs
2、in3x14 设 y=ex 是微分方程 xy+p(x)y=x 的一个解，求此微分方程满足条件 y x=ln2=0 的特解15 设有微分方程 y一 2y=(x)，其中 ，试求在(一，+) 内的连续函数 y=y(x)，使之在 (一，1)，(1 ，+)内都满足所给方程，且满足条件 y(0)=016 已知 y1=3，y 2=3+x2， y3=3+ex 是二阶线性非齐次方程的解，求方程通解及方程17 已知函数 y=e2x+(x+1)ex 是二阶常系数线性非齐次方程 y“+ay+by=cex 的一个特解，试确定常数 a，b，c 及该方程的通解18 已知 y“+(x+e2y)y3=0，若把 x 看成因变量，
3、y 看成自变量，则方程化为什么形式?并求此方程的通解18 求分别满足下列关系式的 f(x)19 ，其中 f(x)为连续函数；20 f(x)+xf(一 x)=x21 设 f(x)连续且 ，求 f(x)22 设 f(x)在 x0 上有定义，且对任意的正实数 x，y，f(xy)=xf(y)+yf(x)，f(1)=2，试求 f(x)23 设 (x)连续，且 ，试求 (x)24 已知 与路径无关，且 f(0)=0，试求 f(x)及 I 的值25 设 (x)有连续二阶导数，且 (0)=(0)=0，du=y(x)dx+sinx 一 (x)dy，试求u(x，y)26 设 f(x)在(0，+)上可导，f(1)=
4、3 求 f(x)27 设(r，)为极坐标，r0，02，设 u=u(r，)具有二阶连续偏导数，并满足=0，求 u(r，)28 设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程求 f(t)29 求方程 y(4)一 y“=0 的一个特解，使其在 x0 时与 x3 为等价无穷小30 假设： (1)函数 y=f(x)(0x+) 满足条件 f(0)=0 和 0f(x)ex 一 1； (2) 平行于 y轴的动直线 MN 与曲线 y=f(x)和 y=ex 一 1 分别相交于点 P1 和 P2； (3)曲线 y=f(x)、直线 MN 与 x 轴所围封闭图形的面积 S 恒等于线段 P1P2 的长度 求函数 y=f(x
5、)的表达式31 设函数 f(x)在1，+)上连续，若由曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 试求 y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 的解32 设曲线 L 的极坐标方程为 r=r()，M(r，) 为 L 上任一点，M 0(2，0)为 L 上一定点，若极径 OM0，OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M0，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的方程33 以 yOz 坐标面上的平面曲线段 y=f(z)(0zh)绕 z 轴旋转所构成的旋转曲面和xOy 坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积
6、为 16cm2，如果以 3 cm3s 的速率把水注入容器，水表面的面积以 cm2s 增大，试求曲线 y=f(z)的方程34 要设计一形状为旋转体的水泥桥墩，桥墩高为 h，上底面半径为 a，要求桥墩在任一水平面上所受上部桥墩的平均压强为一常数 P，设水泥比重为 ，试求桥墩形状考研数学一（高等数学）模拟试卷 36 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 y 2=x(1nx+C) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 y=C 1ex+C1e2x 一 2xex 【知识模块】 高等数学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或
7、演算步骤。5 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 x(csc(x+y)-cot(x+y)=C【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 y=C 1ln 1+x+C 2【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 所求方程(2x-x 2)
8、y“+(x2 一 2)y+2(1 一 x)y=6(1 一 x)；通解为：y=C1x2+C2ex+3；【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 a=一 3，b=2，c=一 1，y=C 1e2x+C2ex+xex【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 原方程化为 xy“x=e2y，通解为【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 f(x)0 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 f(x)=Cx+2 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 f(x)=2xlnx 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 (x)=e x+2xex+【
9、知识模块】 高等数学24 【正确答案】 f(x)=xe x， I=e 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 u(x，y)=【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 f(x)=31nx+3 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 u=C 1+C2lnr【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 f(t)=【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 y=一 6x+3ex 一 3e-x 【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 3f 2(t)=2tf(t)+t2f(t)，【知识模块】 高等数学32 【正确答案】 【知识模块】 高等数学33 【正确答案】 【知识模块】 高等数学34 【正确答案】 桥墩应为曲线段 绕 x 轴旋转所成曲面与平面 x=0 和 x=h 所围成的旋转体【知识模块】 高等数学
