1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 50 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设直线 L： 及平面 ：4x 一 2y+z 一 6=0，则直线 L( )（A）平行于平面 （B）在平面 上（C）垂直于平面 （D）与平面 斜交2 设直线 L1： 则直线 L1，L 2 的夹角为( )3 在曲线 x=t，y= 一 t2，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线( )（A）只有 1 条（B）只有 2 条（C）至少 3 条（D）不存在二、填空题4 若a= ，则a 一 b=_ 5 过点(2 ，0，3) 且与直线 垂直的平面方程为_6 过原点及点(6，
2、一 3，2)且与平面 4xy+2z=8 垂直的平面方程为_7 设 L1： ，则过 L1 平行于 L2 的平面方程为_8 过点 A(3，2，1) 且平行于直线 L1： 的平面方程为_9 一平面经过点 M1(2，1，3)及点 M2(3，4，一 1)，且与平面 3xy+6z 一 6=0 垂直，则该平面方程为_10 曲面 x2+2y2+3z2=21 在点(1，一 2，2) 处的法线方程为_11 点 M(1，一 1，2)到平面 ：2xy+5z 一 12=0 的距离为 d=_12 设平面 1：3x 一 2y+6z 一 2=0 与平面 2：3x 一 2y+6z+12=0，则两平行平面之间的距离为_13 点
3、M(3，一 4，4)到直线 的距离为_14 由曲线 L： 绕 y 轴旋转一周所得到的旋转曲面在点 (0， )处的指向外侧的单位法向量为_15 曲面 zez+2xy=3 在点(1 ，2，0)处的切平面方程为 _16 曲面 z=x2(1 一 siny)+y2(1 一 sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 a，b 为非零向量，且b=1 ， 18 设 =1，4，2 ，求 ABC 的面积19 设点 A(1，一 1，1) ， B(3，2，一 1)，C(5，3，一 2)，判断三点是否共线，若不共线求过三点的平面的方程20 求经过平面 1：x
4、+y+1=0 与 2：x+2y+2z=0 的交线，且与平面 3：2xyz=0垂直的平面方程21 求过直线 的平面方程22 求经过点 P1(5，一 4，3)和 P2(一 2，1，8)及直线 L： 与平面 ：xy+z=0 交点的平面方程23 求过点 M(1，一 2，2)且与直线 L： 垂直的平面方程24 求过点 A(一 1，2，3) 垂直于 L： 且与平面 ：7x+8y+9z+10=0 平行的直线方程25 求直线 L： 在平面 ：x 一 3y+2z5=0 上的投影直线26 求直线 L1： 的夹角27 设 L1：x 一 1= ，L 2：x+1=y 一 1=z (1)若 L1L2，求 ； (2)若L1
5、，L 2 共面，求 28 求平面曲线 L： 绕 z 轴旋转一周所成的曲面，并求该曲面围成的几何体介于 z=1 与 z=4 之间的体积考研数学一（高等数学）模拟试卷 50 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 直线 L 的方向向量为 s=1，3，2(2，一 1，一 10=一 28，14，一 7，因为 sn，所以直线 L 与平面 垂直，正确答案为(C)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 s 1=1，一 2，1，s 2=(1，一 1，00，2，1)=(一 1，一 1，2， 设直线 L1，L 3 的夹角为 ，则 c
6、os= ，正确答案为(C)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 在 t=t0 处曲线的切向量为 T=1，一 2t0，3t 02，切线与平面x+2y+z=4 平行的充分必要条件是 nT=0，即 14t0+3t02=0，解得 t0= 或 t0=1，选(B)【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 由|a+b| 2=(a+b)(a+b)=|a|2+|b|2+2ab=13+19+2ab=24，得 ab=一 4，则|a一 b|2=(a 一 b)(a 一 b)=|a|2+|b|2 一 2ab=13+19+8=40 则|ab|= 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】
7、 16x+14y+11z+65=0【试题解析】 s 1=1，一 2，4，s 2=3，5，一 2，所求平面的法向量 n=s1s2=一16，14，11 ，则所求平面方程为16x+14y+11z+65=0【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 ：2x+2y3z=0【试题解析】 设所求平面为 ：Ax+By+Cz+D=0，因为 经过原点，所以 D=0，即 ： Ax+By+Cz=0，又因为 经过点(6，一 3，2)且与 4xy+2z=8 垂直，所以 ，所求平面 ：2x+2y 3z=0【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 ：(x 一 1)一 3(y 一 2)+(z 一 3)=0【试题解析】 因为所求平面
8、经过 L1，所以点 M(1，2，3)在平面 上，因为 与 L1， L2 都平行，所以所求平面的法向量为 n=1，0，一 12，1，1=1，一3，1，所求平面为 ：(x 一 1)一 3(y 一 2)+(z 一 3)=0 或 ：x 一 3y+z+2=0【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 ：一(x 一 3)+2(y 一 2)+5(z1)=0【试题解析】 直线 L1，L 2 的方向向量为 s1=1，一 2，1，s 2=(2，1，0，所求平面的法向量为 n=s1s2=一 1，2，5，则所求平面为 ：一(x 一 3)+2(y 一 2)+5(z1)=0，或 ： x 一 2y 一 5z+6=0【知识模块】
9、 高等数学9 【正确答案】 7x 一 9y 一 5z+10=0【试题解析】 且与平面 3xy+6z6=0 垂直，所求平面的法向量为 n=1，3，一 43，一 1，6=14 ，一18，一 10，所求的平面方程为 14(x 一 2)一 18(y 一 1)一 10(z 一 3)=0，即 7x 一 9y一 5z+10=0【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 n=2x，4y ，6z (1，2，2) =2，一 8，12，法线方程为【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试
10、题解析】 点 M0(4，5 ，2) 在直线上，s=2 ，一 2，1为直线的方向向量【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 曲线 L 绕 y 轴旋转一周所得的旋转曲面为：3x 2+2y2+3z2 一 12=0 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 ：2x+y 一 4=0【试题解析】 曲面 z 一 ez+2xy=3 在点(1，2，0)处的法向量为 n=2y，2x，1 一 ez)=4，2，0 ， 则切平面为 ：4(x 一 1)+2(y 一 2)=0，即 ：2x+y 一 4=0【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 ：2x yz 一 1=0【试题解析】 F=x 2(1 一 sin
11、y)+y2(1 一 sinx)一 z， n=2x(1 一 siny)一 y2cosx，2y(1一 sinx)一 x2cosy，一 1， 在点(1，0，1)处的法向量为 n=2，一 1，一 1)，切平面为 ： 2(x 一 1)一 y 一(z 一 1)=0，即 ：2xyz 一 1=0【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 不平行，所以三点不共线 过三点的平面的法向量为 n= =一 4，3，一 24，4，一 3=一 1，一 20，一 28， 所求的平面方程为 ：一(
12、x 一 1)一 20(y+1)一 28(z一 1)=0，即 ：x+20y+28z 一 9=0【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 设经过两平面 ， 交线的平面方程为 ：x+y+1+(x+2y+2z)=0，即 ：(1+)x+(1+2)y+2z+1=0， 因为平面 与平面 3：2xyz=0 垂直，所以有 1+，1+2，2 2 ，一 1，一 1)=0，即 2+21 一 2 一 2=0，解得 = ， 所求平面方程为 ： +2y+z+1=0。【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 s 1=1，一 1，2，s 2=一 1，2，1，n=s 1s2=一 5，一 3，1，所求平面方程为 ：一 5(x 一
13、2)一 3(y+2)+(z 一 3)=0，即 ：一 5x 一 3y+z+1=0【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 令 =t 得 x=2+t，y=1 一 t，z=一 3t，代入 xy+z=0 中 得 t=1，则直线 L： 与平面 ：xy+z=0 交点为M(3，0，一 3)， =一 50，一 52，一18， 所求平面方程为一 50(x 一 5)一 52(y+4)一 18(z 一 3)=0，即 25x+26y+9z 一48=0【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 所求平面的法向量为 n=s1s2=2，1，一 1)0，1，一 1)=0，2，2 ， 于是所求平面方程为 ：2(y+2)+2(z
14、一 2)=0，即 ：y+z=0【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 直线 L： 的方向向量为 s=4，5，6 ， 平面：7x+8y+9z+10=0 的法向量为 n0=7，8，9 ， 因为所求直线与已知直线垂直及与已知平面平行，所以所求直线与 s=(4，5，6) 及 n0=7，8，9都垂直，于是所求直线的方向向量为 T=sn0=3，6，3)，所求直线为【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 直线 L：过直线 L的平面束为 ：x+2y 一 1+2(y+z 一 3)=0，或 ：x+(2+2)y+z 一 13=0，由1，2+，1 ，一 3， 2=0 得 =一 5，所以过 L 垂直于 的平面方程为
15、 ：x一 3y5z+14=0，投影直线为 。【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 s 1=1，一 1，2，s 2=1，0，一 2)1，3，1=6，一 3，3)=32，一 1，1，设两直线的夹角为 ，则 cos=。【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 (1)设 L1：x 一 1= ，L 2：x+1=y 一 1=z 垂直，则 1，2， 1，1，1或 1+2+=0，解得 =一 3 (2)s 1=1，2，s 2=1，1，1，s1s2=1，2， )1，1， 1=(2 一 ， 一 1，一 1， M 1(1，1，1)L 1，M 2(一1，1，0) L2， =2，0，1， L 1，L 2 共面的充分必要条件是(s 1s2)【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 曲线 L： 绕 z 轴旋转所成的曲面为：x 2+y2=4z设曲面与 z=1 及 z=4 所围成的几何体为 ，则 =(x，y，z)|(x，y)D z，1z4，其中Dz=(x，y)|x 2+y24z，则 V= =144zdz=30【知识模块】 高等数学
