1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 56 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若正项级数 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性不确定 2 设级数 ( )（A）发散（B）收敛于（C）收敛于 0（D）敛散性不确定3 级数 (a0)( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 a 有关4 若级数 un 收敛(u n0)，则下列结论正确的是( )5 设 un 收敛，则下列正确的是( )6 设常数 k0，则级数 ( )（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）敛散性与 k 有关7 设 un=(一 1)nln(1+ )，则( ) 8
2、 设 an0(n=1，2，)且( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 k 有关9 设 un 收敛，则下列级数必收敛的是( )10 下列说法正确的是( ) 11 下列结论正确的是( ) 二、填空题12 设 =_13 级数 的收敛域为_，和函数为_14 设 f(x)= ，则 f(n)(0)=_15 函数 f(x)= 展开成 x 的幂级数为_ 16 级数 在一 1x1 内的和函数为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 判别级数 的敛散性，若收敛求其和18 设 f(x)= S0=02f(x)exdx，S 1=24f(x2)exdx，S n=2n2n+2f(x 一
3、 2n)exdx，求 Sn19 判断级数 的敛散性20 判断级数 的敛散性21 判断级数 的敛散性22 判断级数 的敛散性23 判断级数 的敛散性24 判断级数 的敛散性25 判断级数 的敛散性26 判断级数 的敛散性27 判断级数 的敛散性28 判断级数 的敛散性29 判断级数 的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛30 判断级数 的敛散性若收敛是绝对收敛还是条件收敛31 设级数 收敛32 设正项级数 收敛，并说明反之不成立33 设收敛34 35 设 un0(n=1，2，)， Sn=u1+u2+un证明： 收敛36 若正项级数 都收敛，证明下列级数收敛：37 判断级数 的敛散性，若级数收敛，
4、判断其是绝对收敛还是条件收敛38 考研数学一（高等数学）模拟试卷 56 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 即原级数绝对收敛，选(C) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 令 S=u1，u 2，u n，因为 =0， 令 Sn=(u1+u2)+(u2+u3)+(un+un+1)=2Sn 一 u1+un+1， 于是 一 u1存在，选(C) ，(A) 、(B) 、(D)都不对【知识模块】 高等数学5
5、正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【试题解析】 由交错级数审敛法，发散，选(C)【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 A【试题解析】 令 un=(一 1) n 绝对收敛，选(A) 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题12 【正确答案】 8【试题解析】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 2，2)；ln(1 )(2x2)【试题解析
6、 由 ，得收敛半径为 R=2，当 x=2 时级数收敛，当x=2 时级数发散，【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 Xln(1x 2)+x3x3ln(1x2)(1x1)【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 S 0=02f(x)exdx=01xexdx+12(2 一 x)exdx=(1 一 )， 令 t=x 一2，则 S1=e202f(t)etdt=e2S0， 令 t=x
7、一 2n，则 Sn=e2n02f(t)etdt=e2nS0， S=【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 因为当 x0 时 sinxx，所以 0sin收敛【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 由收敛【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 因为发散【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由收敛【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 因为 收敛【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 因为 n时，收敛【知识模块】 高等数
8、学29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 由 anbncn，得 0bn 一 ancn 一 an 因为(cn 一 an)收敛， 根据正项级数的比较审敛法得收敛【知识模块】 高等数学32 【正确答案】 因为 0 (un+un+1)，而收敛，反之不一定成立，如级数 1+0+1+0+发散，因为 unun+1=0(n=1，2，)，所以 收敛【知识模块】 高等数学33 【正确答案】 【知识模块】 高等数学34 【正确答案】 (1)因为 an+1=所以a nn=1单调减少，而 an0，即a nn=1是单调减少有下界的数列，根据极限存在准【知识模块】 高等数学35 【正确答案】 【知识模块】 高等数学36 【正确答案】 【知识模块】 高等数学37 【正确答案】 【知识模块】 高等数学38 【正确答案】 (1)取 0=1，由 =0，根据极限的定义，存在 N，当 nN时， 收敛(收敛级数去掉有限项不改变敛散性)，由比较审敛法得 收敛(收敛级数添加有限项不改变敛散性)(2)根据(1) ，当 nN 时，有 0an bn，因为发散【知识模块】 高等数学
