1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 60 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 x0 时，有 ax2+bx2+cx 0ln(1+2x)sintdt，则 ( )2 设 f(x)=0sinxsint2dt，g(x)=x 3+x4，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小3 设 f(x)=0xdt0ttln(1+u2)du，g(x)= (1 一 cost)dt，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小4 设a
2、 n与b n为两个数列，下列说法正确的是( )（A）若a n与b n都发散，则a nbn一定发散（B）若 an与b n都无界，则a nbn一定无界（C）若 an无界且 =0（D）若 an 为无穷大，且 bn=0，则 bn 一定是无穷小二、填空题5 =_6 =_7 =_8 =_9 当 x0 时，xsinxcos2xcx 2，则 c=_，k=_ 10 =_11 设 =-atetdt，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 求 13 求 14 设 f(x)连续可导， 15 设 f(x)可导且 f“(0)=6，且 16 设 =c(0)，求 n，c 的值17 已知 ，求 a，b
3、 的值18 确定 a，b ，使得 x 一 (a+bcosx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小19 设 ，求 a，b 的值20 确定常数 a，b，c ，使得 =c21 设22 设23 设24 设25 设26 设 f(x)连续，f(0)=0 ，f(0)0，F(x)= 0xtf(t2 一 x)dt，且当 x0 时，F(x) x n，求n 及 f(0)27 设 f(x)在1，+)内可导，f(x)0 且 f(k)一1nf(x)dx证明：a n收敛且 0 f(1)28 设 a0， x10，且定义 x= 存在并求其值29 设 a1=1，当 ，证明：数列a收敛并求其极限考研数学一（高等数学）模拟试
4、卷 60 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 x0 时，ax 3+bx2+cx 0ln(1+2x)sintdt，得a=0，b=2，选(D) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，所以正确答案为(B)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 故 x0 时，f(x)是 g(x)的低阶无穷小，应选 (A)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 an=2+(一 1)n，b n=2 一(一 1)n，显然a n与b n都发散，但 anbn=3，显然a nbn
5、收敛；(B)、(C) 都不对，如 an=n1+(一 1)n，b n=h1 一(一 1)n，显然a n与b n都无界，但 anbn=0，显然a nbn有界 0；正确答案为(D)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 c= ，k=3【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 2【试题解析】 -atetdt=
6、-atd(et)=tet -a-aetdt=aeaea，由 ea=aeaea 得 a=2【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 令 y=x 一(a+bcoax)sinx ， y=1+b sin 2x 一(a+bcosx)cosx， y“=bsin2z+ sin2x+(a+bcosx)sinx=a
7、sinx+2bsin2x， y“=acosx+4bcos2x ， 显然 y(0)=0，y“(0)=0 ，【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 因为 f(x)0，所以 f(x)单调减少 又因为 an+1 一 an=f(n+1)一nn+1f(x)dx=f(n+1)
8、一 f()0(n，n+1)， 所以a n单调减少 因为 an= kk+1f(k)f(x)dx+f(n)，而 kk+1f(k)f(x)dx0(k=1，2，n 一 1) 且 f(x)=a0，所以存在 X0，当 xX 时，f(x)0 由 f(x)单调递减得 f(x)0(x 1，+)，故anf(n)0，所以 存在 由 an=f(1)+f(2)一 12f(x)dx+f(n) n1nf(x)dx， 由 an=f(1)+f(2)一 12f(x)dx+f(n) n1nf(x)dx， 而 f(k)一 k1kf(x)dx0(k=2，3，n)，所以 anf(1)，从而 0 f(1)【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 令 f(x)= 0(x0) ，所以数列a n单调又因为 a1=1，0a n+11，所以数列a n有界，从而数列a n收敛，令【知识模块】 高等数学
