1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 69 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 累次积分 d0cosrf(rcos0，rsin)dr 等于( )2 设 D=(x， y)0x ， 0y，则 sinxsinymaxx，yd 等于( ) 3 设 ，其中 D：x 2+y2a2，则 a 为( )（A）1（B） 2（C）（D）二、填空题4 设 f(u)连续，则 0xduu1vf(u2v2)dv=_5 设 f(x，y)在区域 D：x 2+y2t2 上连续且 f(0，0)=4，则=_6 设 f(x)连续，则 =_7 设 a0，f(x)=g(x)= 而 D 表示整个平面，则
2、I= f(x)g(yx)dxdy=_8 设 f(x)= f(y)f(x+y)dxdy=_9 设连续函数 f(x)，f(0)=0，F(t)= z2+f(x2+y2)dxdydz， t：x 2+y2t2，0z1，则=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 f(x，y)= (1)f(x，y)在点(0，0)处是否连续?(2)f(x，y)在点(0，0)处是否可微 ?11 设 z= 12 设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令13 设函数 f(x，y，z) 一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t kf(x，y，z)证明：14 设 z=15 设 u=u(x，y)由方程组 u=
3、f(x，y，z ，t)，g(y，z，t)=0 ，h(z，t)=0 确定，其中f，g， h 连续可偏导且 16 设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+yxP(t)dt 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1，求 17 设 z=z(x，y)满足18 求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4x 一 y)在由 x 轴、 y 轴及 x+y=6 所围成的闭区域D 上的最小值和最大值19 求函数 u=x+y+z 在沿球面 x2+y2+z2=1 上的点(x 0，y 0，z 0)的外法线方向上的方向导数，在球面上怎样的点使得上述方向导数取最大值与最小值?
4、20 某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为 p1，p 2，销售量分别为 q1，q 2，需求函数分别为 q1=2402p 1，q 2=10005p 2，总成本函数为C=35+40(q1+q2)，问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?21 设二元函数 f(x，y)=xy(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数 f(x，y)在点(0 ，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0 22 设 ：x=x(t)，y=y(t)( t)是区域 D 内的光滑曲线，即 x(t)，y(t) 在(，)内有连续的导数且 x2(t)+y2(t)0
5、，f(x，y) 在 D 内有连续的偏导数若 P0上的极值点，证明：f(x，y)在点 P0 沿 的切线方向的方向导数为零23 已知二元函数 f(x，y)满足=u2+v2，求 a，b24 设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= f(x2+y2)dxdy(t0)，求 F“(0)25 计算二重积分 I=26 计算 27 已知 f(x， y)= ，设 D 为由 x=0，y=0 及 x+y=t 所围成的区域，求 F(t)= f(x，y)dxdy28 计判 ，其中 D=(x，y)0x1，0y129 计算 I= ，其中 D=(x，y)1x1，0y230 计算 考研数学一（高等数学）模拟试卷 69
6、答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：0x1 ，0y ，选(D)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 根据对称性，令 D1=(x，y)0x，0yx，选(B)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 解得a=2，选 (B)【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 xf(x 21)【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 8【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 a 2【试题
7、解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 在 D1=(x，y) x+ ，0y1)上，f(y)=y； 在 D2：0x+y1上，f(x+y)=x+y， 则在 D0=D1D2=(x，y)yx1 一 y，0y1上，f(y)f(x+y) y(x+y)， 所以 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 从而=t(r2cos2cossin)+t(r2sin2cossin)+t(一 r2sincos)=0
8、， 故 u 仅是 r 的函数，即 u 不含 与 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 令 u=tx， v=ty，w=tz ，f(tx ，ty，tz)=t kf(x，y，z)，两边对 t 求导得【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中x，y 为自变量，由 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 ，得【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 (1)求 f(x，y)在区域 D 的边界上的最
9、值， 在 L1：y=0(0x6) 上，z=0； 在 L2： x=0(0y6)上，z=0； 在 L3：y=6 一 x(0x6)上，z=一 2x2(6 一 x)=2x3 一 12x2， 由 =6x224x=0 得 x=4，因为 f(0，6)=0，f(6，0)=0，f(4 ，2)=一64，所以 f(x，y)在 L3 上最小值为一 64，最大值为 0(2)因为 ACB20 且 A0，所以(2，1)为 f(x，y) 的极大点，极大值为 f(2，1)=4， 故 z=f(x，y)在 D 上的最小值为 m=f(4，2)一 64，最大值为 M=f(z，1)=4【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 球面 x2
10、+y2+z2=1 在点(x 0，y 0，z 0)处的外法向量为n=2x0，2y 0，2z 0，【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 p 1=1205q1，p 2=20020q2，收入函数为 R=p1q1+p2q2， 总利润函数为 L=RC=(1205q1)q1+(20020q2)q2 一35+40(q 1+q2)，由得 q1=8，q 2=4，从而 p1=80，p 2=120，L(8 ，4)=605 ，由实际问题的意义知，当 p1=80，p 2=120 时，厂家获得的利润最大，最大利润为 605【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 (必要性)设 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 fx
11、(0，0)，f y(0，0)存在【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 由 F(t)=02drf(r2)dr=20trf(r2)dr= f(u)du， 得 F(t)=2tf(t2)，F(0)=0， F“(0)= =2f(0)=2【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 当 t0 时，F(t)=0，【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 令 D1=x，y)0x1，0yx，D 2=(x，y)0xy，0y1，则【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 令 D1=(x，y)一 1x1，0yx 2， D 2=(x，y)一1x1，x 2y2，【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
