1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 78 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设数列x n与y n满足 ，则下列判断正确的是 ( )（A）若x n发散，则y n必发散。（B）若 xn无界，则y n必无界。（C）若 xn有界，则y n必为无穷小。（D）若 为无穷小，则y n必为无穷小。2 设函数 f(x)在 x=a 的某邻域内有定义，则 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是( )3 设 f(x)=x(1-x)，则( )（A）x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点。（B） x=0 不是 f(x)的极值点，但 (0，0)是曲
2、线 y=f(x)的拐点。（C） x=0 是 f(x)的极值点，且 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点。（D）x=0 不是 f(x)的极值点，且(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。4 设函数 f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )5 已知 ab+bc+ca=0，则必有( )（A）a，b， c 两两相互平行。（B） a，b，c 两两相互垂直。（C） a，b，c 中至少有一个为零向量。（D）a，b， c 共面。6 设 z= 则该函数在点(0，0)处( )（A）不连续。（B）连续但偏导数不存在。（C）连续且偏导数存在但不可微。（D）可微。7 设 ，对于该曲线积分容易
3、验证 (x2+y20)，则( )（A）对于任何不过坐标原点的闭曲线 L，恒有 I=0。（B）积分 在 x2+y20 上与路径无关。（C）对于任何不过坐标原点的闭曲线 L，I0。（D）当 L 围成区域 D 不包含坐标原点时，I=0，其中 L 为分段光滑的简单闭曲线。8 微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y(2)=1 的特解为 ( )（A）xy 2=4。（B） xy=4。（C） x2y=4。（D）x-xy=4。二、填空题9 =_。10 =_。11 设 y=y(x)是由方程 2y3-2y2+2xy-x2=1 确定的，则 y=y(x)的极值点是_。12 设 a0，则 =_。13 直线 与平
4、面 x-y-z+1=0 的夹角为_。14 已知曲线 L 为圆 x2+y2=a2 在第一象限的部分，则 =_。15 设球体 x2+y2+z2z 上任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方，则此球的质心的 z 坐标 =_。16 设 a1=1， =2021，则级数 (an+1-an)的和为_。17 已知 y1=e3x-xe2x，y 2=ex-xe2x，y 3=-xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 求极限19 证明20 设 f(x)在a，b上有二阶连续导数，证明21 证明可微的必要条件：设 z=f(x，y)在点
5、(x 0，y 0)处可微，则 fx(x0，y 0)fy(x0，y 0)都存在，且 =(x0,y0)=L(x0，y 0)x+fy(x0，y 0)y。22 设 z=z(x，y)是由 x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值。23 设函数 Q(x，y) 在平面 xOy 上具有一阶连续偏导数，曲线积分 2xydx+Q(x，y)dy 与路径无关，并且对任意 t 恒有 ，求 Q(x，y) 。24 设有一半径为 R 的球体，P 0 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P0 距离的平方成正比(比例常数 k0)，求球体的重心位置。25 设正
6、项数列a n单调减少，且 发散，试问级数 是否收敛?并说明理由。考研数学一（高等数学）模拟试卷 78 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 取 xn=n，y n=0，显然满足 ，由此可排除 A、B。若取xn=0， yn=n，也满足 =0，又排除 C，故选 D。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 如果此极限存在，则由导数定义可知，函数 f(x)在 x=a 处可导，即该极限存在是 f(x)在x=a 处可导的一个充分条件。故选 D。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 可见 f(x)
7、与 f(x)均在x=0 两侧附近变号，即 x=0 是 f(x)的极值点，(0，0)也是曲线 y=f(x)的拐点，故选C。【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 取 f(x)=x，则相应的 均为奇函数，故不选 A、C、D。应选 B。【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 由 ab+bc+ca=0 知(ab).c+(bc).c+(ca).c=0，而(bc).c+(ca).c=0，所以(ab).c=0。故 a，b ，c 共面，应选 D。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 由于 ，则 z(x，y)在点(0，0)处连续， A 错误。 所以z(x， y)
8、在点(0，0) 处偏导数存在，B 错误。不存在，即 z(x，y)在点(0，0)处不可微，故选 C。【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 D【试题解析】 当 L 围成的区域 D 不包含坐标原点时，由格林公式得故选 D。【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 C【试题解析】 原微分方程分离变量得 ，两端积分得 lny=-2lnx+lnC，即 x2y=C， 将 y(2)=1 代入得 C=4，故所求的特解为 x2y=4。应选C。【知识模块】 高等数学二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 sinx 2【试题解析】 令 x-t=u，则【知识模块】 高等数学1
9、1 【正确答案】 x=1【试题解析】 方程两边对 x 求导，可得 y(3y 2-2y+x)=x-y， (*) 令 y=0，有 x=y，代入 2y3-2y2+2xy-x2=1 中，可得 (x-1)(2x 2+x+1)=0， 则 x=1 是唯一的驻点。 对(*)式求导得 y(3y 2-2y+x)+y(3y2-2y+x)=1-y，把 x=y=1，y(1)=0 代入上式，得 y(1)=0。故 x=1 是 y(x)的极小值点。【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 原式可化为根据定积分的几何意义可得 (半径为 a 的半圆的面积)，所以【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 0【试题解析
10、】 设直线与平面的夹角为 ，直线与平面法向量的夹角为 ，直线的方向向量是 平面的法向量是 n=(1，-1，-1)，则因此 =0。【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 将 x2+y2=a2 化为参数方程形式：【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 由质心公式可得【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 2020【试题解析】 级数 的部分和数列为 Sn=(a2-a1)+(a3-a2)+(an+1-an) =an+1-a1=an+1-1，则 =2021-1=2020。【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 y=C 1e3x+C2ex-xe2x【试题解析】 显然 y
11、1-y2=e3x 和 y2-y3=ex 是对应的二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解。且 y*=-xe2x 是非齐次微分方程的一个特解。 由解的结构定理，该方程的通解为 y=C 1e3x+C2ex-xe2x。【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 令 f(x)= ，可得故 f(x)0，而 f(0)=0，所以有 f(x)f(0)=0 即得故 f(x)0，所以有f(x)f(0)，即得 综上可知，【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 连续利用分部积分法有【知识模块】 高等数学21 【正确答案】
12、设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则等式z=Ax+B y+成立。令y=0 ，于是令x0，有=B，于是证明了 fx(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)存在，并且 =fx(x0，y 0)x+fy(x0，y 0)y。【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 在方程 x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0 的两端分别对 x，y 求偏导数，于是有将上式代入 x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0，可得 再对(1)(2)求偏导数，则有 于是所以点(9 ，3) 是 z(x，y) 的极小值点，极小值为 z(9， 3)=3。 类似的，由所以点(-9，-3)是 z(x，y)的极
13、大值点，极大值为 z(-9，-3)=-3。【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 根据曲线积分和路径无关的条件，可知 因此有 Q(x，y)=x 2+C(y)成立，其中 C(y)为待定函数。 又因为由已知可知两边对 t 求导可得 2t=1+C(t)，即 C(y)=2y-1，因此有 Q(x ，y)=x 2+2y-1。【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 如图 1-6-14 所示，以 表示球体，以 的球心表示原点 O，射线 DP0 为正 x 轴建立直角坐标系，则点 P0 的坐标为(R，0，0)，球面方程为x2+y2+z2=R2。设 的重心为 ，由对称性，得而-2xR 是关于 x 的奇函数，所以【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由于正项数列a n单调递减，所以极限 存在，将极限记为a，则有 ana，且 a0。又因为 是发散的，根据莱布尼茨交错级数判别法可知 a 0(否则级数 是收敛的) 。已知正项级数a n单调递减，所以 而 收敛，因此根据比较判别法可知，级数 也是收敛的。【知识模块】 高等数学
