1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 84 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 x0 时，(1+sinx) x-1 是比 xtann 低阶的无穷小，而 xtanxn 是比( -1)ln(1+x2)低阶的无穷小，则正整数 n 等于( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。2 设函数 f(x)在闭区间a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )（A）当 f(a)f(b)0 时，存在 (a，b)，使 f()=0。（B）对任何 (a，b)，有 f(x)-f()=0。（C）当 f(a)=f(b)时，存在 (a，b) ，使 f()=0。（D）存在 (a
2、，b) ，使 f(b)-f(a)=f()(b-a)。3 设 f(x)具有二阶连续导数，且 f(1)=0， ，则( )（A）f(1)是 f(x)的极大值。（B） f(1)是 f(x)的极小值。（C） (1，f(1)是曲线 f(x)的拐点坐标。（D）f(1)不是 f(x)的极值，(1，f(1)也不是曲线 f(x)的拐点坐标。4 旋轮线的一支 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2) 的质心是 ( )5 函数 f(x，y ，z)=x 2+y2+z2 在点(1，-1，1)处沿曲线 x=t，y=-t 2，z=t 3 在该点指向 x轴负向一侧的切线方向的方向导数等于( )（A）-12 。（
3、B） 12。（C）（D）6 设为球面 x2+y2+z2=R2 上半部分的上侧，则下列结论不正确的是( )7 设有命题 以上四个命题中正确的个数为( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。8 在下列方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是( )（A）y+y-4y-4y=0。（B） y+y+4y+4y=0。（C） y-y-4y+4y=0。（D）y-y+4y-4y=0。二、填空题9 =_。10 已知 xy=ex+y，则 =_。11 在曲线 y=x2(0x1)上取一点(t ，t 2)(0t1)，设 A1 是由曲线 y=x2(0x1)
4、，直线 y=t2 和 x=0 所围成的图形的面积；A 2 是由曲线 y=x2(0x1)，直线 y=t2 和 x=1 所围成的图形的面积，则 t 取_时，A=A 1+A2 取最小值。12 直线 L： 在平面：x-y+3z+8=0 上的投影方程为_。13 设 f(x，y)= ，则 fx (1，0)=_。14 设 L 是正向圆周 x2+y2=9，则曲线积分 (2xy-2y)dx+(x2-4x)dy=_。15 设幂级数 的收敛半径为 3，则幂级数 的收敛区间为_。16 二阶常系数非齐次线性方程 y-4y+3y=2e2x 的通解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 求函数 f(x
5、)= 的间断点，并指出类型。18 设函数 f(x)在 x=0 处二阶可导，且满足 。求 f(0)，f(0)与 f(0)。19 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=1，证明必存在， (a，b)，使得 e-f()+f()=1。20 设 f(x)在a，b上有连续的导数，证明21 设 z= ，其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求22 求函数 f(x，y)=x 2+2y2-x2y2 在区域 D=(x，y) x2+y24，y0，x0上的最大值和最小值。23 计算累次积分24 计算曲面积分 ，其中为锥面 z= 在柱体 x2+y22x 内的部分。25 求
6、幂级数 的收敛域。考研数学一（高等数学）模拟试卷 84 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时， (1+sinx) x-1ln(1+sinx) x-1+1=xln(1+sinx)xsinxx 2， (eain 2x-1)ln(1+x2) sin 2x.x2x 4， 而 xtannx.x n=xn+1。所以 2n+14，则正整数 n=2，故选 B。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 因只知 f(x)在闭区间a ，b 上有定义，而 A、C 、D 三项均要求 f(x)在a， b上连续。故选项 A、C、
7、D 均不一定正确，故选 B。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 选取特殊函数 f(x)，其满足：f(x)= (x-1)2，如取 f(x)= (x-1)4，则f(x)满足题中条件。f(x)在 x=1 处取极小值，而其余均不正确。故选 B。【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 先求弧微分于是得弧长四个选项中，质心的横坐标均相同，所以只需求质心的纵坐标 。为此，再求代入公式得故选 A。【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 函数 f(x，y，z) 在点(1，-1，1)处的梯度 gradf (1,-1,1)=(2，-2，2)。曲线 x=t，y=-t
8、 2，z=t 3 在点(1，-1 ，1)处切线向量为 t=(1，-2，3)，而指向 x 轴负向一侧的切向量为(-1，2，-3)，则所求的方向导数为故选 C。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 B【试题解析】 对于第二类面积分，若曲面(包含侧)关于 x=0(即 yOz 坐标面)对称，则 本题中曲面关于 x=0 对称，而选项 A、C、D 中的被积函数 x2，y 2，y，关于 x 都是偶函数，则其积分为零，而 B 选项中的被积函数 x 为 x 的奇函数，则【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 A【试题解析】 只有是正确的，事实上，级数 (an+1-an)的部分和数列 Sn=(a2-a1)+(a
9、3-a2)+(an+1-an)=an+1-a1，数列a n收敛，则 (an+1-an)收敛。不正确。如 不收敛。 不正确。正项级数 是收敛的，事实上， 不存在。不正确。如，但级数 发散。故选 A。【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 D【试题解析】 由通解 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x 可知，所求方程的特征方程为(r-1)(r2+4)=0，即 r 3-r2+4r-4=0，对应的方程为 y-y+4y-4y=0，故选 D。【知识模块】 高等数学二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 在方程两端分别对 x 求导，得其中 y=
10、y(x)是由方程 xy=ex+y 所确定的隐函数。【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 如图 1-3-7 所示。当 t= 时，A=A 1+A2 取最小值。【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 假设平面 1 过 L 且垂直于平面，设 L 的方向向量为 s， 1 的法向量为 n1，的法向量为 n，则 n1s，n 1n，而对于方程取 x=0，则 y=4，z=-1。即点(0，4，-1)在平面 1 上，则 1 的方程为 x-0-2(y-4)-(z+1)=0 ，即 x-2y-z+7=0。L 在上的投影既在平面上又在平面1 上，因此 即为所求。【知识模块】 高等数学13
11、【正确答案】 2【试题解析】 由题干可知 f(x，0)=x 2，则 fx(x，0)=2x 。故 fx(1，0)=2 。【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 -18【试题解析】 由格林公式知【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 (-2，4)【试题解析】 根据幂级数的性质：对原幂级数逐项求导后得，收敛半径不变，因此有其收敛区间为x-13，即(-2，4)。【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 y=C 1ex+C2e3x-2e2x【试题解析】 特征方程为 r2-4r+3=0，解得 r1=1，r 2=3。 由于 =2 不是特征根，可设原方程的特解为 y*=ke2x，代入原方程可得 k=-2。
12、 故通解为 y=C 1ez+C2e3x-2e2x。【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 函数 f(x)的间断点只有 x=0 和 x=1。所以 x=0 为可去间断点，x=1 为跳跃间断点。【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 由题设可知【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 设 F(x)=exf(x)，由 F(x)及 ex 在a ，b上连续，在(a，b)内可导，均满足拉格朗日中值定理条件，因此，存在 ，(a，b)，使得 F(b)-F(a)=e bf(b)-eaf(a) =F()(b-a) =ef()+f()(b-a)， e b-ea=e
13、(b-a)。 将以上两式相比，且由 f(a)=f(b)=1，整理后有 e -)+f()=1。【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 可设 f(x)=f(x 0)，即证故得证。【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 根据复合函数的求导公式，有【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 先求 D 内的驻点及相应的函数值，由 得f(x，y)在 D 内有一个驻点 =2。 再求 f(x，y)在 D 的边界上的最大值与最小值，D 的边界由三部分组成： 一是线段 1：y=0，0x2，在 1 上 f(x，y)=x 2 (0x2)，最小值为 0，最大值为 4。 二是线段 2：x=0，0y2，在 2上 f(x，
14、y)=2y 2 (0y2)，最小值为 0，最大值为 8。 三是上半圆周 3：y 2=4-x2(0x2)，在 3 上 f(x ，y)=x 2+2(4-x2)-x2(4-x2) =8-5x2+x4h(x)= ，由 h(x)=0 得 x=0或 x2= ，且 于是 f(x，y)在 D 的边界上的最大值为 8，最小值为 0。最后通过比较知 f(x，y)在 D 上的最大值为 8，最小值为 0。【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 设则积分区域分别是 D 1=(x，y)1x1 ，1-xy2-x， D 2=(x，y)1x2，0y2-x。 记区域D=D1+D2，D 是由直线 y=1x，y=2-x 与 x 轴和 y 轴在第一象限围成的平面区域(如图 1-6-8 所示 )，且 令 x=rcos，y=rsin，在极坐标系(r， )中区域 D 可表示为于是所求累次积分在内层积分中令 t=r(cos+sin)，则 dt=(cos+sin)dr，t：12，从而【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 因为【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 设 an= ，则所以原级数的收敛区间为(-1，1)。在区间端点处，原级数发散，故收敛域为(-1，1)。【知识模块】 高等数学
