1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 87 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则( )（A）f(x)在点 x=1 处连续，在点 x=-1 处间断。（B） f(x)在点 x=1 处间断，在点 x=-1 处连续。（C） f(x)在点 x=1，x=-1 处都连续。（D）f(x)在点 x=1，x=-1 处都间断。2 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，且 f(0)=0。则 (x)在 x=0 处( )（A）不连续。（B）连续但不可导。（C）可导但 (x)在 x=0 处不连续。（D）可导且 (x)在 x=0 处连续。3 设在闭区
2、间0，4 上 y=f(x)的导函数的图形如图 1-2-1 所示，则 f(x)( )（A）在0 ，2 单调上升且为凸的，在 2，4 单调下降且为凹的。（B）在 0，1，3 ，4单调下降，在1 ，3单调上升，在 0，2 是凹的，2，4是凸的。（C）在 0，1，3 ，4单调下降，在1 ，3单调上升，在 0，2 是凸的，2，4是凹的。（D）在0 ，2 单调上升且为凹的，在 2，4 单调下降且为凸的。4 曲线 ( )（A）既有垂直又有水平与斜渐近线。（B）仅有垂直渐近线。（C）只有垂直与水平渐近线。（D）只有垂直与斜渐近线。5 函数 f(x，y ，z)=x 2y3+3y2z3 在点(0，1，1)处方向导
3、数的最大值为( )（A）（B）（C） 117。（D）107。6 设 g(x)有连续的导数， g(0)=0，g(0)=a0，f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则=( )7 设 pn= ，n=1 ，2，则下列命题正确的是( )8 方程 y-3y+2y=ex+1+exeos2x 的特解形式为( )（A）y=axe x+b+Aexcos2x。（B） y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。（C） y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)。（D）y=axe x+b+ex(Aeos2x+Bsin2x)。二、填空题9 数列 =_。10 已知 y=x2sin2x，则 y(50
4、)=_。11 =_。12 抛物线 y2=2px，从原点到这条曲线上的一点 M(x，y)的弧长 s=_。13 设函数 u(x，y，z)= =_。14 设函数 f(u)可微，且 f(2)=2，则 z=f(x2+y2)在点 (1，1) 处的全微分 dz (1,1)=_。15 将 化为极坐标下的二次积分为_。16 设为锥面 z= 介于 z=0 和 z=1 之间的部分，则 (x2+y2+z2)dS=_。17 幂级数 n(x-1)n 的和函数为_。18 微分方程 yy+y2=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)= 的通解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 f(x)为-a，
5、a上的连续偶函数，且 f(x)0，令 F(x)= ()证明 F(x)单调增加；( )当 x 取何值时，F(x) 取最小值；()当 F(x)的最小值为 f(a)-a2-1 时，求函数 f(x)。20 设 f(x)在0，1上具有二阶导数，且满足条件f(x) a ，f(x) b ，其中a，b 都是非负常数， c 是 (0，1)内任意一点。证明 f(c)2a+21 过坐标原点作曲线 y=ex 的切线，该切线与曲线 y=ex 以及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的平面图形，记为 D。 ()求 D 的面积 A； ()求 D 绕直线 x=1 旋转一周所成的旋转体的体积 V。22 设 z=z(x，y)有二
6、阶连续偏导数，且满足 ，若有 z(x，2x)=x，z 1(x，2x)=z x(x，y) y=2x=x2，求 z11(x，2x)与 z12(x，2x)。23 计算二重积分 ，其中 D=(x，y)0x1，0y1。24 计算曲面积分 (2x+z)d)dydz+zdxdy，其中为有向曲面 z=x2+y2(0z1)，其法向量与 z 轴正向的夹角为锐角。25 设数列a n满足条件： a0=3，a 1=1，a n-2-n(n-1)an=0(n2)。S(x)是幂级数 的和函数。()证明 S(x)-S(x)=0;()求 S(x)的表达式。26 设 f(u，v)具有连续偏导数，且 fu(u，v)+f v(u，v)
7、=sin(u+v)e u+v，求 y(x)=e-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。考研数学一（高等数学）模拟试卷 87 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 所以 f(x)在x=1 处间断。 所以f(x)在 x=-1 处连续。故选 B。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 因为所以(x)在 x=0 处连续。故 (x)在 x=0 连续。故选 D。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 当 x(0， 1)或(3，4)时，f(x)0，那么 f(x)在0，1，3，4单调下降。当
8、x(1，3)时 f(x)0，那么 f(x)在1 ，3单调上升。又 f(x)在0，2单调上升，那么 f(x)在0，2是凹的。f(x)在2，4单调下降，那么 f(x)在2，4是凸的。故选 B。【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 函数 y 的定义域为(-，-3)0，+)，且只有间断点 x=-3，又=+，所以 x=-3 是曲线的垂直渐近线。x0 时，因此 是曲线的斜渐近线(x-)。故选 A。【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 函数 f(x，y，z)=x 2y3+3y2z3 在点(0，1，1)处方向导数的最大值等于f(x，y，z)在点 (0，1，1)处梯度向量的模
9、。故选 B。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 由积分中值定理知 其中(，)为圆域 x2+y2r2 上的一个点，则 =f(0，0)，而【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 B【试题解析】 若 绝对收敛，即 收敛，则由级数绝对收敛的性质知收敛。而 pn= ，再由收敛级数的运算性质知，都收敛，故选 B。【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 D【试题解析】 齐次方程 y-3y+2y=0 的特征方程为 r 2-3r+2=0， 特征根为r1=1，r 2=2，则方程 y-3y+2y=ex+1+excos2x 的待定特解为 y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)， 故选
10、 D。【知识模块】 高等数学二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 当 n 时，【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 2 50(-x2sin2x+50xcos2x+ sin2x)【试题解析】 易知(sin2x) (n)=2nsin(2x+ )成立，利用莱布尼茨公式：【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 不妨设 p 0，y0，则【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 ，于是所求方向导数为【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 4(dx+dy)【试题解析】 dz=f(x 2+y2)(2xdx+2ydy
11、)， 则 dz (1,1)=f(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)。【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 如图 1-6-5 所示，则有【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 易知，dS= 。区域 D 为02，0p1 ，则有【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【试题解析】 令原级数中的 x-1=t，则 x=t+1，级数化为 ，因为所以 的收敛半径为 1，收敛区间为(-1，1)，即级数 的收敛半径为 1，收敛区间为(0，2)。当 x=0 和 x=2 时，原级数均发散，故原级数收敛域为(0，2)。 设级数的和函数为 s(x)，即对 从 1 到 x 逐项积
12、分，可得 在上式两端对 x 求导，可得 故有【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 由 yy+(y)2=0 得(yy)=0，即 yy=C。由 y(0)=1，y(0)=，故 再由y(0)=1，得 C1=【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 ()所以 F(x)=2f(x)0，因此 F(x)单调增加。()因为 F(0)= 且 f(x)为偶函数，所以 F(0)=0，又因为 F(0)0，所以 x=0 为 F(x)的唯一极小值点，也为最小值点。()由 =f(a)-a2-1，两边求导得 2af(a)=f(a)-2a，于是 f(x)-2xf
13、(x)=2x，解得 f(x)=2xe-2xdxdx+Ce-2xdx= 在 =f(a)-a2-1 中令 a=0，得 f(0)=1，则C=2，于是【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 对 f(x)在 x=c 处应用泰勒公式，展开可得 f(x)=f(c)+f(c)(x-c)+(x-c)2， (*)其中 =c+(x-c)，01。 在(*)式中令 x=0，则有 f(0)=f(c)+f(c)(0-c)+ (0-c)2，0 1c1，在(*) 式中令 x=1，则有 f(1)=f(c)+f(c)(1-c)+(1-c)2，0 2c 1，将上述的两个式子相减得到 f(1)-f(0)=f(c)+ f(2)(1-c
14、)2-f(1)c2，因此f(c) =f(1)-f(0)- f(2)(1-c)2-f(1)c2 f(1) +f(0)+ f( 2)(1-c) 2+ f( 1)c 22a+ (1-c)2+c2。又因当c(0，1)时，有(1-c) 2+c21，所以f(c)2a+【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 设切点坐标为 P(x0，y 0)，于是曲线 y=ex 在点 P 的切线斜率为，则切线方程为 y-y0= (x-x0)。它经过点(0，0)，所以-y 0=，代入求得 x0=1，从而 y0= =e，即切线方程为 y=ex。(I)取水平微元为 A 的面积元素(如图 1-3-8 所示) ，则()D 绕直线 x
15、=1 旋转一周所成的旋转体的体积微元为【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 x(x，2x)是 z(x，y)与 y=2x 的复合函数，先将 z(x，2x)=x 两边对x 求导，由复合函数求导 法则可得 z2(x，2x)+2z 2(x，2x)=1。已知 z1=(x，2x)=x 2，于是 x2+2z2(x，2x)=1，再将它对 x 求导并由复合函数求导法则可得 2x+2z21(x，2x)+4z 22(x，2x)=0 。 由 z21=z12 以及 z11=z22，可得 z11(x，2x)与z12(x，2x)满足关系式 2z 11(x，2x)+z 12(x，2x)=-x。 将已知等式 z1(x，2x
16、)=x 2 对 x求导得 z11(x，2x)+2z 12(x，2x)=2c。由上面两个关系式得【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 D 是正方形区域，如图 1-6-11 所示。因在 D 上被积函数分块表示于是要用分块积分法，用 y=x 将 D 分成两块： D=D 1D2，D 1=Dyx，D 2=Dyx，则【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 用高斯公式，以 1 表示法向量指向 z 轴负向的有向平面z=1(x2+y21)，D 为 1 在 xOy 平面上的投影区域，则【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 () 证明：由题意得因为由已知条件得an=(n+1)(n+2)an+2(n=0，1
17、，2，)，所以 S(x)=S(x)，即 S(x)-S(x)=0。 ()S(x)-S(x)=0 为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为 2-1=0，从而 =1，于是S(x)=C1e-x+C2ex，由 S(0)=a0=3，S(0)=a 1=1，得 解得C1=1，C 2=2，所以 S(x)=e-x+2ex。【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 由 y(x)=e-2xxf(x，x)，有 y(x)=-2e -2xf(x，x)+e -2xf1(x，x)+f 2(x，x)，由 fu(u，v)+f v(u，v)=sin(u+v)e u+v 可得 f 1(x，x)+f 2(x，x)=(sin2x)e 2x。 于是 y(x)满足一阶线性微分方程 y(x)+2y(x)=sin2x， 通解为 y(x)=e -2xsin2x.e2xdx+C， 由分部积分公式，可得sin2x.e 2xdx= (sin2x-cos2x)e2x，所以 y(x)= (sin2x-cos2x)+Ce-2x。【知识模块】 高等数学
