1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 90 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 R 上连续，且 f(x)0，(x)在 R 上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是( ) f(x)必有间断点。 (x) 2 必有间断点。 f(X)没有间断点。（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。2 设 f(x)=xsin 2x，则使导数存在的最高阶数 n=( )（A）0。（B） l。（C） 2。（D）3。3 设 f(x)=aretanx- (x1)，则( )（A）fx(x)在1，+)单调增加。（B） f(x)在1，+)单调减少。（C） f(x)在1，
2、+)为常数（D）f(x)在1，+)为常数 0。4 若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)有一个原函数为 ( )（A）1+sinx。（B） 1-sinx。（C） 1+cosx。（D）1-cosx 。5 在曲线 x=t，y=-t 2，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线( )（A）只有一条。（B）只有两条。（C）至少有三条。（D）不存在。6 交换积分次序 为( )7 如果级数 ( )（A）都收敛。（B）都发散。（C）敛散性不同。（D）同时收敛或同时发散。二、填空题8 设函数 y=f(x)由方程 y-x=ex(1-y)确定，则 =_。9 对数螺线 =e在点(， )=
3、 处切线 22.的直角坐标方程为_。10 已知f(x 3)dx=x3+C(C 为任意常数)，则 f(x)=_。11 设 z=xg(x+y)+y(xy)，其中 g、 具有二阶连续导数，则 =_。12 设 D 为不等式 0x3，0y1 所确定的区域，则 =_。13 设是锥面 z= (0z1)的下侧，则 xdydz+2ydzdx+5(z-1)dxdy=_。14 级数 的和为_。15 微分方程 y=1+x+y2+xy2 的通解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 求17 设 a1， f(t)=at-at 在(-，+)内的驻点为 t(a)。问 a 为何值时，t(a)最小?并求出最
4、小值。18 求不定积分19 设曲线 在(x 0，y 0)处有公切线(如图 1-3-4 所示)，求这两条曲线与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 V。20 设直线 L： 在平面上，而平面 与曲面 z=x2+y2 相切于点(1，-2，5)，求 a，b 的值。21 设函数 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(exsiny)满足方程 ，求 f(u)。22 计算曲线积分 sin2dx+2(x2-1)ydy，其中 L 是曲线 y=sinx 上从点(0，0)到点(，0)的一段。23 计算曲面积分 I= 2x3dydz+2y2dzdx+3(z2-1)dxdy，其中 是曲面 z=1-x
5、2-y2(z0)的上侧。24 将函数 f(x)= 展开成 x 的幂级数。25 设 f(t)连续且满足 f(t)=cos2t+ ，求 f(t)。26 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度 v 之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为后(k0)。试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v)。考研数学一（高等数学）模拟试卷 90 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，
6、只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 错误。举例：设 (x)= f(x)=ex，则 f(x)=1 在 R 上处处连续。错误。举例：设 (x)= 则(x) 2=9 在 R 上处处连续。错误。举例：设 (x)= 在 x=0 处间断。因此选 A。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 故 f(3)(0)不存在。因此 n=2，选 C。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 按选项要求，先求 f(x)。又 f(x)在1，+)连续，则 f(x)=常数=f(1)= 。故选 C。【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)=sinx
7、，得 (x)=f(x)dx=sinxdx=-cosx+C 1， 所以 f(x)的原函数是 F(x)=f(x)dx=(-cosx+C 1)dx=-sinx+C1x+C2， 令 C1=0，C 2=1 得 F(x)=1-sinx。故选 B。【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 曲线 x=t,y=-t2，z=t 3 在点 t=t0 处的切向量为 t=(1，-2t 0， )。平面z+2y+z=4 的法向量为 n=(1，2，1)。由题设知 nt，即 1-4t0+ =0，则 t0=1 或 ，故选 B。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试题解析】 交换积分次序得【知识模块】 高等数
8、学7 【正确答案】 D【试题解析】 由于 ab=(an+bb)-bn，且发散时， 必发散，故选 D。【知识模块】 高等数学二、填空题8 【正确答案】 1【试题解析】 当 x=0 时，y=1。对方程两边求导得 y-1=e x(1-y)(1-y-xy)， 将x=0，y=1 代入上式，可得 y(0)=1，所以【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 螺线方程 =e 可以化为隐函数方程，即利用隐函数的求导法则，得到在点 处的导数为y(0)=-1，因此所求的切线方程为 化简为【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 对等式f(x 3)dx=x3+C 两边求导，得 f(x3)=3
9、x2。令 t=x3，则 f(t)=【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 g(x+y)+xg(x+y)+(xy)+xy 2(zy)【试题解析】 =g(x+y)+xg(x+y)+y2(xy)， =g(x+y)+xg(x+y)+2y(xy)+xy2(xy)。【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 2【试题解析】 设：z=1，x 2+y21，取法向量方向朝上，则与 1 围成的区域为，那么【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 令 S(x)= ，x1，那么有【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 y=tan (1+
10、x)2+C【试题解析】 将已知方程变形后，并整理得两边积分可得【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 令 f(t)=alna-a=0，解得 f(t)的驻点为 t(a)= 对 t(a)关于 a 求导，可得 令 t(a)0，解得 a ee。则当 a ee 时，t(a) 单调递增；当 1ae。时，t(a)单调递减。所以当 a=ee 时，t(a)最小，且最小值为 t(ee)=【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 由 ，则【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 由两曲线在(x 0，y 0)处有公切线得解得
11、 x0=e2，a=e -1。所求的旋转体体积等于曲线分别与 x 轴及直线 x=e2 所围成平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体积之差，即【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 令 F(x，y，z)=x 2+y2-z，则有 Fx=2x，F y=2y，F z=-1，在点(1，-2，5)处曲面的法向量为 n=2，-4，-1，于是切平面的方程为 2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0， 即 2x-4y-z-5=0。根据 得到 y=-x-b，z=x-3+a(-x-b) ，将其代入平面方程有 2x+4x+4b-x+3+ax+ab-5=0 因此有 5+a=0，4b+ab-2=0， 解得 a=-5，b=
12、-2。【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 代入方程中，得到 f(u)-f(u)=0，解得 f(u)=C1eu+C2e-u，其中 C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 按曲线积分的计算公式直接计算。【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 取 1 为 xOy 平面上被圆 x2+y2=1 所围部分的下侧，记 为由 与1 围成的空间闭区域， 则由高斯公式知故 I=2-3=- 。【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 f(x)= ，比较两边系数可得 A= ，B= ，即【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 因 f(t)连续，所以 可导，从而 f(t)可导，于是则 f(t)=e sintdt-2sin2t e-sintdtdt+C=Ce -cost+4(cost-1)。 由 f(0)=1 得 C=e。因此 f(t)=e 1-cost+4(cost-1)。【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 选取沉放点为原点 O，Oy 轴正句取铅直向下，则根据牛顿第二定律得 这是一个可降阶的二阶微分方程，其中 由，因此原方程可化为 分离变量得 积分得结合初始条件 v y=0=0，得因此所求的函数关系为【知识模块】 高等数学
