1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在 x=0 处连续，命题错误的是2 设 其中 g(x)是有界函数，则 f(x)在 x=0 处（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导3 设函数 则 f(x)在（-，+ ）内（A）处处可导（B）恰有一个不可导点（C）恰有两个不可导点（D）至少有三个不可导点4 设 f(x)的导数在 x=a 处连续，又 则（A）x=a 是， f(x)的极小值点（B） x=a 是 f(x)的极大值点（C） (a，f(a)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=a
2、 不是 f(x)的极值点。(a，f(a) 也不是曲线 y=f(x)的拐点5 设函数 f(x)在 x=a 的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存在 0，当 x(n-6，a+)时，必有二、填空题6 设 其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是_7 设函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，则 =_.8 设 f(x)= ，则 f(x)=_.9 设函数 =_.10 使不等式 成立的 x 的范围是_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 已知函数 f(u)具有二阶导数，f(0)=1，函数 y=y(x)由方程 y-xey-1=1 所确定设x=f(lny-sinx)
3、，求 .11 设 其中 g(x)有二阶连续导数，且 g(0)=1，g(0)=-112 求 f(x)；13 讨论 f(x)在(- ，+)上的连续性14 求函数 y=(x-1)e/2+arctanx的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线15 求函数 的单调区间与极值。15 16 证明 f(x)是以 为周期的周期函数；17 求 f(x)的值域18 证明：xln(1+x)/(1-x)+cosx1+x 2/2(-118 设 x(0，1)，证明：19 (1+x)ln2(1+x)220 1/ln(1+x)-12【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 -f(0)【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答
4、案】 (1+3x)e 3x【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 1/e【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 (0,1)【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 而 f(x)在x0 处是连续函数，所以 f(x)在(- ，+) 上的连续性【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案
5、】 所以 f(x)是以 为周期的周期函数；【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 因 x(0，1)时f (3)(x)0，又 f“(x)在0，1)连续 f“(x)在0 ，1) ，f“(x)f“(0)=20(x(0，1)，同理 f(x)在0 ， 1)，f(x)f(0)=0(x(0，1)f(x)在0，1)，f(x)f(0)=0(x(0，1)又因 f(x)为偶甬数 f(x)0(x(-1，1)，x0)，f(0)=0即原不等式成立【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 令 f(x)=x2-(1+x)ln2(1+x)
6、，则 f(0)=0，且 f(x)=2x-ln 2(1+x)-2ln(1+x)，f(0)=0， f“(x)=2-2ln(1+x)/(1+x)-1/(1+x)=2/(1+x)x-ln(1+x) 当 x0 时令 g(x)=x-ln(1+x)，由 g(0)=0 与 g(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)0(x0)可知 g(x) 在 x0 单调增加，从而 g(x)g(0)=0 对x0 成立这表明 f“(x)0 对x0 成立，于是 f(x) 在 x0 单调增加，从而 f(x)f(0)=0 当 x0 时成立，由此即得 f(x)在0，+)单调增加，故 f(x)f(0)对x0 成立，t!ll 不等式(I)在(0 ，1)成立【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 由(I)的结果即知当 x(0，1)时 f(x)+)f(x)f(1)当 x(0，1)时成立这表明不等式()成立【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学
