1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是（A）f(0)是极大值，f(/2)是极小值（B） f(0)是极小值， f(/2)是极大值（C） f(0)是极大值， f(/2)也是极大值（D）f(0)是极小值，f(/2)也是极小值2 设函数 f(x)，g(x) 具有二阶导数，且 g“(x)0)=a 是 g(x)的极值，则 fg(x)在 x0 取极大值的一个充分条件是（A）f(a)0（C） f“(a)0 3 设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则 f
2、(x)有（A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点4 若 f(-x)=f(x)(-0，f“(x)0，f“(x)0，f“(x)0（C） f(x)05 设(x)= 丨 x(1-x)丨，则（A）x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点（B） x=0 不是 f(x)的极值点，但 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极值点，且 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点6 设 f(x0)=
3、f“(x0)=0，f“(x 0)0，则下列选项正确的是（A）f(x 0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极大值（C） f(x0)是 f(x)的极小值（D）(x 0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点7 设函数 f(x)满足关系式 f“(x)+f(x)2=x，且 f(0)=0，则（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C）点 (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点8 设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f(x)0， x 为自变量 x 在点 x0
4、 处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分，若x0，则（A）0x（C）在 (1-，1)内 f(x)x（D）在(1-，1)内 f(x)x；在(1，1+)内 f(x)asina,+2cosa+a22 设函数 f(x)在区间0， 1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1试证：23 存在 (1/2，1)，使 f()=；24 对任意实数 ，必存在 (0，)，使得 f()-f()-=125 求函数 f(x)=(1-x)/(1+x)在 x=0 点处带拉格朗口余项的 n 阶泰勒展开式考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下
5、列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学二、填空题12 【
6、正确答案】 y=-2x【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 x-2y+2=0【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 y=x.【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 3(cm/s)【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 3【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 （3,0）【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 3【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 2【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 y=1/5【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 将方程看成关于 x 的恒等式，两
7、端对 x 求导数得 ylny+y-1+y=0， 整理得 y(2+lny)=1， (*) 在(*) 式中令 x=l，y=1 可得 y(1)=1/2将(*)式两端再对 x 求导数，得 y“(2+lny)+y.y/y=0 y“=-(y) 2/y(2+lny) 在上式中令x=1，y=1,y=1/2 即得 y“(1)=-1/8【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 引入函数 F(x)=xsinx+2cosx+x，只需证明 F(x)在(0，)单凋增加因 F(x)在0，有连续的二阶导数，且F(x)=xcosx-sinx+， F()=0 ，F“(x) =cosx-xsinx-cosx=-xsinxF(
8、)=0， x(0， )这表明 F(x)在(0，)单调增加故当 0F(a)，即bsinb+2cosb+basina+2cosa+a【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 令 (x)=f(x)-x，则 (x)在0，1上连续又 (1)=-10由介值定理可知，存在 （1/2，1)，使得 ()=f()-=0，即 f()=【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 要证 f()-f()-=1，即要证f()-1-f()-=0，记 (x)=f(x)-x，也就是要证 (f)-()=0 构造辅助函数 F(x)=e-x(x)=e-xf(x)-x，不难发现 F(x)在0， 上满足尔尔定理的全部条件，故存在 (0，)，使 F()=0，即 e-x()-()=0，而 e-x0，从而有 ()-()=0，即 f()-f()-=1【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 由 f(x)=2/(1+x)=2(1+x)-1-1，f(z)=2(-1)(1+x) -2， f“(x)=2(-1)(-2)(1+x)-3， 不难看出 f (n)(x)=2(-1)nn!(1+x)-(n+1)， f (n)(0)=2(-1)nn!(n=1，2，)， (1-x)/(1+x)=1-2x+2x2+.+(-1)n2xn+(-1)n+1(2xn+1)/(1+x)n+1(0【知识模块】 一元函数微分学
