1、考研数学三（二重积分）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列结论正确的是 ( )（A）z=f(x，y)在点(x 0，y 0)的某邻域内两个偏导数存在，则 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续（B） z=f(x，y)在点(x 0，y 0)的某邻域内连续，则 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处两个偏导数存在（C） z=f(x，y)在点(x 0，y 0)的某邻域内两个偏导数存在且有界，则 z=f(x，y)在点(x0，y 0)处连续（D）z=f(x，y)在点(x 0，y 0)的某邻域内连续，则 z=f(x，y)在点(x 0，y 0
2、)该邻域内两个偏导数有界2 设 f(u)具有二阶连续导数，且 g(x，y)= =( )二、填空题3 设存在二元可微函数 u(x，y)，满足 du(x，y)=(axy 3 一 y2cos x)dx+(1+bysin x+3x2y2)dy，则常数 a=_，b=_，函数 u(x，y)=_ 4 设 F(u，v)对其变元 u，v 具有二阶连续偏导数，并设三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 设函数 f(x， y)可微，又 f(0，0)=0 ，f x(0，0)=a ，f y(0，0)=b，且 (t)=ft，f(t，t 2)，求 (0)6 设 +y(x+y)，其中 f 及 二阶可微，求7 设
3、 其中函数 f，g 具有二阶连续偏导数，求8 设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+yxP(t)dt 确定 u 是 x，y 的函数，其中 f(u),(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1求9 设 f(x，y)=10 设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且(1)验证 (2)若 f(1)=0，f(1)=1，求函数 f(u)的表达式11 设 z=u(x，y)e ax+y， 求常数 a，使12 求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4 一 xy)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的极值、最大值与最小值13 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告
4、，根据统计资料，销售收入 R 万元与电台广告费 x1 万元及报纸广告费用 x2 万元之间的关系有如下经验公式： R=15+14x 1+32x28x1x22x12 一 10x22 (1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略； (2)若提供的广告费用为 15 万元，求相应的最优广告策略14 求 f(x，y)=x+xy x2 一 y2 在闭区域 D=(x，y)|0x1，0y2 上的最大值和最小值15 求函数 z=x2+y2+2x+y 在区域 D：x 2+y21 上的最大值与最小值16 求内接于椭球面 的长方体的最大体积17 在第一象限的椭圆 上求一点，使原点到过该点的法线的距离最大18 讨论下列函
5、数在点(0，0)处的 偏导数的存在性； 函数的连续性；函数的可微性19 设 f(x，y)在点 O(0，0)的某邻域 U 内连续，且试讨论 f(0，0)是否为 f(x，y)的极值?是极大值还是极小值?20 求函数 f(x，y)=x 2+2y2 一 x2y2 在区域 D=(x，y)|x 2+y24，y0)上的最大值与最小值21 设 h(t)为三阶可导函数，u=h(xyz)，h(1)=f xy“(0，0)，h(1)=f yx“(0，0)，且满足求 u 的表达式，其中22 证明：f(x，y)=Ax 2+2Bxy+Cy2 在约束条件 g(x，y)= 下有最大值和最小值，且它们是方程 k2 一(Aa 2+
6、Cb2)k+(ACB2)a2b2=0 的根23 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p1 和 p2，销售量分别为 q1 和 q2需求函数分别为：q 1=2-ap1+bp2，q 2=1-cp2+dp1总成本函数C=3+k(q1+q2)其中 a，b，c，d，k 都为大于 0 的常数，且 4ac(b+d)2试问厂家如何确定两个市场的售价，能够使获得的总利润最大24 设生产某种产品必须投入两种要素，x 1 和 x2 分别为两要素的投入量，Q 为产出量如果生产函数为 Q=2x1x2，其中 ， 为正常数，且 +=1.假设两种要素价格分别为 p1，p 2试问产出量为 12 时，两要素各投入多
7、少，可以使得投入总费用最小?25 设生产函数和成本函数分别为 当成本预算为 S 时，两种要素投入量 x 和 y 为多少时，产量 Q 最大，并求最大产量26 设 z=f(x，y)在点(1，2)处存在连续的一阶偏导数，且 f(1，2)=2 ，f 1(1，2)=3，f 2(1，2)=4 ，(x)=f(x，f(x，2x)求27 设 f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式 xy(1+y)一 f(x)ydx+f(x)+x2ydy 为某二元函数 u(x，y) 的全微分 (1) 求 f(x)； (2)求 u(x，y)的一般表达式28 设函数 z=z(x，y)由方程 x 2 一 6xy+10y2 一
8、2yzz2+32=0 确定，讨论函数 z(x，y)的极大值与极小值29 求函数 f(x，y)=x 2+y2 一 12x+16y 在区域 D=(x，y)|x 2+y225上的最大值和最小值30 已知矩形的周长为 2p，将它绕其中一边旋转一周构成一旋转体(圆柱体)，求该圆柱体的半径与高各为多少时，该圆柱体体积最大?考研数学三（二重积分）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 二元函数的连续性与偏导数之间没有必然的联系设在(x 0，y 0)的某邻域 U 内，对于任意(x，y) U 有|f x(x，y)|M，|f y(x，
9、y)|M(M 为正常数) 由微分中值定理， |f(x，y) 一 f(x0，y 0)|f(x，y)一 f(x，y 0)|+|f(x，y 0)一 f(x0，y 0)| =|fy(x，y 0+1y).y|+|fx(x0+2x，y 0).x| M(|x|+|y|) 这里 x=xx0，y=yy0，0 1， 21当 ，有x0， y0，必有|f(x，y)一 f(x0，y 0)|M(|x|+|y|)0 ，故 f(x，y) 在点(x 0，y 0)处连续【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 依题意有【知识模块】 微积分二、填空题3 【正确答案】 2；一 2；x 2y3 一 y2sin x+y+C，
10、其中 C 是任意常数【试题解析】 由题设条件知， =axy2 一 y2cosx, =1+bysin x+3x2y2，于是有即 3axy 2 一 2ycos x=6xy2+bycos x，所以 a=2，b=一 2于是 du(x， y)=(2xy3 一 y2cos x)dx+(1-2ysin x+3x2y2)dy =(2xy3dx+3x2y2dy)一(y 2cosxdx+2ysin xdy)+dy =d(x2y3)-d(y2sin x)+dy =d(x2y3 一 y2sin x+y)，所以 u(x，y)=x 2y3 一 y2sin x+y+C(C 是任意常数)【知识模块】 微积分4 【正确答案】
11、【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 在 (t)=ft，f(t，t 2)中令 u=t，v=f(t，t 2)，则 (t)=f(u，v)，于是(t)=f1(u，v). =f1(u，v).1+f 2(u，v).f 1(t，t 2).1+f2(t，t 2).2t =f1t，f(t，t 2)+f2t，f(t ， t2).f1(t，t 2)+f2(t，t 2).2t，所以 (0)=f 1(0，0)+f2(0，0)f 1(0，0)+f 2(0，0).2.0 =a+b(a+0)=a(1+b)【知识模块】 微积分6 【正确答案】 令 u=xy，v=
12、c+y，则 由于 f 及 二阶可微，而u=xy， v=x+y 均为初等函数，故满足 这里先求 较为简便一些由复合函数的求导法则，得【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 由 z=f(u),可得 在方程 u=(u)+yxP(t)dt两边分别对 x，y 求偏导数，得【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 (1)(2)求可降阶的二阶线性微分方程的通解和特解在方程 )中，令 f(u)=g(u)，则 f“(u)=g(u)，方程变为 这是可分离变量微分方程，解得由初值条件 f(1)=1 得 C1=1，所以， ，两边积分得 f(u)=
13、lnu+C2由初值条件 f(1)=0 得 C2=0，所以 f(u)=lnu【知识模块】 微积分11 【正确答案】 将， ，式代入 中并整理得 所以 a=1【知识模块】 微积分12 【正确答案】 由方程组 得线段 x=0(0y6)，点(4， 0)，(2，1)而点(4，0)及线段 x=0(0y6)在 D 的边界上，只有点(2，1)在D 内部，可能是极值点又 f xx“=8y 一 6xy 一 2y2，f xy“=8x 一 3x2-4xy，f yy“=一2x2 在点(2，1) 处，有 因为B2 一 AC=一 320，且 A0，所以点(2，1)是 z=f(x，y)的极大值点，极大值f(2，1)=4 在
14、D 的边界 x=0(0y6)及 y=0(0x6)上，f(x，y)=0 在边界 x+y=6上，y=6-x代入 f(x，y)中得 z=2x3-12x2(0x6) 由 z=6x2 一 24x=0 得 x=0 或x=4在边界 x+y=6 上对应 x=0，4，6 处 z 的值分别为：z| x=0=(2x3 一 12x2)|x=0=0，z| x=4=(2x3 一 12x2)|x=4=一 64，z| x=6=(2x312x2)|x=6=0I 因此知 z=f(x，y)在边界上的最大值为 0，最小值为 f(4，2)= 一 64将边界上最大值和最小值与驻点(2，1)处的值比较得， z=f(x，y)在闭区域 D 上
15、的最大值为 f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一 64【知识模块】 微积分13 【正确答案】 (1)利润函数为 z=f(x1，x 2)=15+14x1+32x28x1x22x12 一 10x22 一(x1+x2) =15+13x1+31x28x1x22x12 一 10x22函数 z=f(x1，x 2)在点(075，125)处的二阶导数为 由于 B2 一AC=6480=一 160，A=一 40，所以函数 z=f(x1，x 2)在(075，125)处达到极大值，也即最大值所以投入电台广告费 075 万元，报纸广告费 125 万元时，利润最大 (2)若广告费用为 15 万元，则需求利润函数 z
16、=f(x1，x 2)在x1+x2=15 时的条件极值 构造拉格朗日函数 F(x 1，x 2，)=15+13x 1+31x2-8x1x22x12 一 10x22+(x1+x215) ，由方程组 得x1=0， x2=1 5，即将广告费 15 万元全部用于报纸广告，可使利润最大【知识模块】 微积分14 【正确答案】 这是闭区域上求最值的问题由于函数 f(x，y)=x+xy 一 x2-y2 在闭区域 D 上连续，所以一定存在最大值和最小值 首先求 f(x，y)=x+xy 一 x2 一y2 在闭区域 D 内部的极值：解方程组 得区域 D 内部唯一的驻点为 由 g(x，y)=(f xy“)2 一 fxx“
17、fyy“=一 3， fxx“=一 2，得 f(x，y)=x+xyx 2一 y2 在闭区域 D 内部的极大值 再求 f(x，y)在闭区域 D 边界上的最大值与最小值：这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件在 z 轴上约束条件为 y=0(0x1)，于是拉格朗日函数为 F(x，y，)=x+xy 一 x2 一 y2+y，在下边界的端点(0 ，0) ，(1，0)处 f(0，0)=0 ，f(1 ，0)=0，所以下边界的最大值为 最小值为 0 同理可求出：在上边界上的最大值为一 2，最小值为一 4；在左边界上的最大值为 0，最小值为一 4；在右边界上的最大值为 ，最小值为一 2比较以上各值，可知函数 f
18、(x，y)=x+xy 一 x2 一 y 在 2 闭区域 D 上的最大值为 最小值为一4【知识模块】 微积分15 【正确答案】 由于 x2+y21 是有界闭区域，z=x 2+y2+2x+y 在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值函数在区域内部无偏导数不存在的点 再求函数在边界上的最大值点与最小值点，即求z=x2+y2+2x+y 满足约束条件 x2+y2=1 的条件极值点此时， z=1+2x+y 用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数 L(x，y，)=1+2x+y+(x 2+y2-1)，所有可疑点仅有两个，由于所以 z 的最小值 m=【知识模块】 微积分16 【正确答案】 设该内接长方体体积为 v
19、，P(x， y，z)(x0，y0，z0)是长方体的一个顶点，且位于椭球面上，由于椭球面关于三个坐标平面对称，所以v=8xyz，x0，y0，z0 且满足条件 因此，需要求出 v=8xyz在约束条件 下的极值，分别乘以 x，y，z，有 得或 =0(=0 时，8xyz=0，不合题意，舍去)把 由题意知，内接于椭球面的长方体的体积没有最小值，而存在最大值，因而以点 为顶点所作对称于坐标平面的长方体即为所求的体积最大的长方体，体积为【知识模块】 微积分17 【正确答案】 椭圆上任意一点(x ，y) 处的法线方程为 原点到该法线的距离为 记 f(x，y)= ，x0，y0，约束条件为 g(x，y)= ，构造
20、拉格朗日函数 h(x，y，)=f(x ，y)+g(x，y) 根据条件极值的求解方法，先求根据问题的实际意义，到原点距离最大的法线是存在的，驻点只有一个，所得即所求，故可得出所求的点为【知识模块】 微积分18 【正确答案】 (1) 按定义易知 fx(0，0)=0，f y(0，0)=0，故 f(x，y)在点(0，0)处偏导数存在当(x， y)(0 ，0)时，|f(x，y)一 f(0，0)|=，所以 f(x，y)在点(0，0)处连续 f=f(0+x，0+y)-f(0，0)= 按可微定义，若可微，则但上式并不成立(例如取y=k x，上式左边为 )，故不可微(2)以下直接证明成立，由此可推知，均成立事实
21、上，按可微的定义知，g(x，y)在点(0，0) 处可微【知识模块】 微积分19 【正确答案】 再令a= +b，b0，于是上式可改写为由 f(x，y)的连续性，有 另一方面，由 知，存在点(0，0)的去心邻域 ，当(x，y) 时，有| 故在 内，f(x，y)0所以 f(0，0)是 f(x，y) 的极小值【知识模块】 微积分20 【正确答案】 先求 f(x，y)在 D 内部的驻点由 f x(x，y)=2x 一2xy2=0，f y(x，y)=4y 一 2x2y=0，解得 x=0 或 y=1； 或 y=0经配对之后，位于区域 D 内部的点为 经计算，有再考虑区域 D 边界上的 f(x，y)在 y=0
22、上，f(x，0)=x2，最大值 f(2，0)=4，最小值 f(0，0)=0又在 x2+y2=4(y0)上，=x2+2(4 一 x2)一 x2(4 一 x2)=x4 一 5x2+8 g(x)(一 2x2)令 g(x)=4x3 一 10x=0，得 x=0 或 比较所得函数值的大小，有【知识模块】 微积分21 【正确答案】 u x=yzh(xyz)，u xy“=zh(xyz)+xyz2h“(xyz)， u xyz“=h(xyz)+xyzh“(xyz)+2xyzh“(xyz)+x2y2z2h“(xyz)，由题可得 3xyzh“(xyz)+h(xyz)=0，令xyz=t，得 3th“(t)+h(t)=0
23、设 v=h(t)，得 3tv+v=0，分离变量，得又 f(x，0)=0 ，则易知 fx(0，0)=0，当(x，y)(0 ，0)时，有 于是 fx(0，y)=一 y，所以 fxy“(0，0)=一 1，由对称性知 fyx“(0，0)=1，所以 h(1)=一 1，h(1)=1 ，从而 故 h(t)=【知识模块】 微积分22 【正确答案】 因为 f(x，y)在全平面连续， 为有界闭区域，故f(x，y)在此约束条件下必有最大值和最小值 设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)分别为最大值点和最小值点，令 L(x，y， )=Ax2+2Bxy+Cy2+ 则(x 1，y 1)，(x 2，y 2)应满足方程 记
24、相应 为 1， 2，则(x 1，y 1， 1)满足 解得1=Ax12+2Bx1y1+Cy12同理 2=Ax22+2Bx2y2+Cy22 即 1， 2 是 f(x，y)在椭圆上的最大值和最小值又方程组和 有非零解，系数行列式为 0，即 化简得 2 一(Aa 2+Cb2)+(ACB2)a2b2=0，所以1， 2 是上述方程(即题目所给方程)的根【知识模块】 微积分23 【正确答案】 收益函数 R=p1q1+p2q2=2p1 一 ap12+p2 一 cp22+(b+d)p1p2 利润函数L=RC=R3+k(q1+q2)=2p1 一 ap12+p2 一 cp22+(b+d)p1p23 一 k(3 一
25、ap1+bp2 一cp2+dp1) 此时(由实际情况)获得的利润最大【知识模块】 微积分24 【正确答案】 费用 c=p1x1+p2x2，条件：12=2x 1x2 构造拉格朗日函数：F(x1，x 2，)=p 1x1+p2x2+(122x1x2)于是，有此时投入总费用最小【知识模块】 微积分25 【正确答案】 令 F(x，y，)=ln(lx y)+(S 一 ax 一 by)=ln l+ln x+ln y+(Saxby)，则 此时产量 Q 最大，即【知识模块】 微积分26 【正确答案】 因 (1)=f(1,f(1，2)=f(1，2)=2，(x)=f 1(x，f(x，2x)+f2(x，f(x，2x)
26、 =f1(x，f(x，2x)+f 2(x，f(x，2x)f 1(x，2x)+2f 2(x，2x)，(1)=f 1(1，f(1 ，2)+f 2(1，f(1 ，2)f 1(1，2)+2f 2(1，2) =f 1(1，2)+f 2(1，2)f1(1，2)+2f 2(1，2)=3+4(3+8)=47，故 =32(1)(1)=32247=564【知识模块】 微积分27 【正确答案】 (1)由题意知， du=xy(1+y)一 f(x)ydx+f(x)+x2ydy，即=xy(1+y)一 f(x)y， =f(x)+x2y由于 f(x)具有一阶连续导数，所以 u 的二阶混合偏导数连续，所以有 即有 x(1+2y
27、)一 f(x)=f(x)+2xy， f(x)+f(x)=x又f(0)=0，可求得 f(x)=x 一 1+e-x(2) 由(1)知 du=(xy2+yye-x)dx+(x 一 1+e-x+x2y)dy求 u(x，y) 有多种方法du=(xy 2+y-ye-x)dx+(x-1+e-x+x2y)dy =xy(ydx+xdy)+(ydx+xdy)+(一 ye-xdx+e-xdy)一 dy= 所以 u(x，y)= +xy+ye-x 一 y+C(C 为任意常数)【知识模块】 微积分28 【正确答案】 将 x26xy+10y2 一 2yzz2+32=0 两边分别对 x、对 y 求偏导数，有 为求驻点，令 联
28、立方程得 再与原设方程 x26xy+10y2 一2yz-z2+32=0 联立解得点(12，4，4) 1 与(一 12，一 4，-4) 2再将(*)与(*)对 x、对y 求偏导数，得 再将点(12，4，4) 1 代入得所以 z=4 为极小值所以 z=-4 为极大值【知识模块】 微积分29 【正确答案】 因为点(6，一 8)不在区域 D 内，所以在 D 内无极值点又闭区域上的连续函数必有最大值和最小值，因此，最大值和最小值只能在边界 x2+y2=25 上取得 在边界 x2+y2=25 上，f(x，y)=2512x+16y 设 L(x，y，)=2512x+16y+(x 2+y2 一 25)，令比较大小可知，f(x，y)在点(3，一 4)处有最小值 f(3，一 4)=一 75，在点(一 3，4)处有最大值 f(一 3，4)=125【知识模块】 微积分30 【正确答案】 设该旋转体的半径为 x，高为 y，则 x+y=p，该圆柱体体积V=yz2用拉格朗日乘数法令 F(x，y，)=yx 2+(x+y 一 p)，由有 2xy+=0，x 2+=0，x+yp=0容易解得 由于存在最大值，故当半径为 高为 时，该旋转体体积最大【知识模块】 微积分
